第1讲实数

而太阳的中心的温度达到了 19200000℃，用科学记数法可将
19200000 表示为( C )
A．1.92×106
B．1.92×107
C．19.2×106
D．0.192×107
5．(2012·丽水)如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A，B 表
示的数的绝对值相等，那么点 A 表示的数是( B )
A．－4 B．－2 C．0 D．4
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1 C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2 (2)(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a， b分别是( A ) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几 种方法来进行．
实数的大小比较
3．(1)近似数2.5万精确到__千__位．
(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，
这个数据用科学记数法表示为( C )
A．4×106
B．4×10－6
C．4×10－5 D．4×105
与实数相关的概念
【例4】 (1)(2014·河北)－2是2的( B )
A．倒数
B．相反数
C．绝对值
数形结合思想 数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的 一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使 问题化难为易、化繁为简． 分类讨论思想 分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注 意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．
实数
分数
正分数
有限小数或无
负实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数零
负实数
3．零指数幂，负整数指数幂 任何非零数的零次幂都等于 1，即__a0＝1(a≠0)__；
任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数 p 次幂 的倒数，即__a－p＝a1p(a≠0，p 为正整数)__． 4．实数的运算 实数的运算顺序是先算乘方和开方， 再算乘除，最后算加减，如果有括号， 先算小括号，再算中括号，最后算大括号， 同级运算应从左到右依次进行．
A．1＋ 3 C．2 3－1
B．2＋ 3 D．2 3＋1
(2)(2014·宁夏)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示， 以下说法正确的是( D )
A．a＋b＝0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|
实数的大小比较
【例6】 (1)(2014·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下 列判断正确的是( A )
1．(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－3 8，0.131131113…，
－π， 25，－17无理数的个数有( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
(2)(2012·河北)下列各数中，为负数的是( B )
A．0
B．－2
C．1
1 D.2
【点评】 实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运 算，注意符号和顺序是非常重要的．
数轴
【点评】 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找 到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴 上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减 小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来 确定数的运算后的符号．
5．(1)(2012·聊城)在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称， A，B 两点对应的实数分别是 3和－1，则点 C 所对应的实数是( D )
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的__距离__，
叫做这个数的绝对值．
|a|＝
a ，（a＞0） 0 ，（a＝0） －a ，（a＜0）
|a|是一个非负数，即|a|__≥0__．
(5)科学记数法，近似数：
科学记数法就是把一个数表示成__±a×10n__(1≤a＜10，n 是整数)
的形式；一个近似数，__四舍五入__到哪一位，就说这个数精确到
6．(1)(2014·珠海)比较大小：－2__＞__－3. (2)比较 2.5，－3， 7的大小，正确的是( A ) A．－3＜2.5＜ 7 B．2.5＜－3＜ 7 C．－3＜ 7＜2.5 D. 7＜2.5＜－3
哪一位．
(6)平方根，算术平方根，立方根： 如果 x2＝a，那么 x 叫做 a 的平方根，记作__x＝± a__；正数 a 的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果 x3＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记作 x＝3 a．
2．实数的分类 按实数的定义分类：
整数
正整数 自然数
零
有理数
负整数
实数的分类
【例 1】
A．π
(2013·湖州)实数π，15，0，－1 中，无理数是( A )
1 B.5
C．0
D．－1
【点评】 判断一个数是不是无理数，关键就看它能 否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种 类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不 尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见 无理数类型有助于识别无理数．
第一章 数与式 第1讲 实数及其运算
• 1．实数的有关概念 • (1)数轴：规定了 原点， 正方向 和 单位长的度直
线叫做数轴，数轴上所有的点与全体 实数一一对 应．
• (2)相反数：只有 符号不同，而 绝对值相同的两个 数称为互为相反数．a，b互为相反数 a＋b＝0 ．
• (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商， 叫做这个数的倒数．a，b互为倒数 ab＝ 1 ．
A．－3
B．3
1 C.2
D．－13
2．(2013·宁波)－5 的绝对值为( B )
A．－5
B．5
C．－15
1 D.5
3．(2013·丽水)在数 0，2，－3，－1.2 中属于负整数的是( B )
A．0 B．2 C．－3 D．－1.2
4．(2014·绍兴)太阳的温度很高，其表面温度大概有 6000℃，
b＝－4－2＝－6，或a－b＝－4－(－2)＝－2，－6＋(
－2)＝－8，a－b所有值的和是－8
与实数相关的概念
【点评】 (1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的 绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝 对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等 于0.
与实数相关的概念
4．(1)(2012·凉山)若 x 是 2 的相反数，|y|＝3，则 x－y 的值是( D ) A．－5 B．1 C．－1 或 5 D．1 或－5 (2)计算：－(－12)＝__12__；|－12|＝__12__； (－12)0＝__1__；(－12)－1＝__－2__． (3)若 ab＞0，则|aa|＋|bb|－|aabb|的值等于__1 或－3__．
2．(2014·东营)计算：
(－1)2014＋(sin30°)－1＋(5－3
)0－|3－ 2
18|＋83×(－0.125)3.
解：原式＝1＋2＋1－3 2＋3－1＝6－3 2
【例3】 (1)(2014·资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之 不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮 食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( A )
(3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜ b.
(4)倒数比较法：若1a＞1b，a＞0，b＞0，则 a＜b. (5)平方比较法：∵由 a＞b＞0，可得 a＞ b，∴可
以把 a与 b的大小问题转化成比较 a 和 b 的大小
问题．
1．(2014·湖州)－3 的倒数是( D )
D．平方根
(2)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b
－c＝__2或0____．
(3)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所
有值的和．
解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又|a＋b|＝
－(a＋b)≥0，∴a＋b≤0，可知a＝－4，b＝±2，所以a－
化归思想 化归也称转化，是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已 知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想，关键是确定合 理、可行的转化目标，掌握基本的方法步骤．
五种大小比较方法 实数的大小比较常用以下五种方法： (1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表 示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数， 绝对值大的数反而小．
A．5×1010千克 B．50×109千克 C．5×109千克 D．0.5×1011千克 (2)下列近似数中精确到千位的是( C ) A．90200 B．3.450×102 C．3.4×104 D．3.4×102
【点评】 (1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细； (2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验；(3)用有效数字表示的数， 在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断．