(部编版)2020高中数学2.2.2直线方程的几种形式知识导学案新人教B版必修83

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
2.2.2 直线方程的几种形式
知识梳理
1.直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角α:
当直线l 与x 轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和l 重合时所转过的最小角,即为α； 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α=0，故α的取值范围是0≤α＜π. (2)斜率k:
k=tan α，当α=0时，k=0；当0＜α＜
2π时，k ＞0；当α=2π时，k 不存在；当α＞2
π
时，k ＜０. (3)两点斜率公式——直线方向坐标化:
已知直线上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k=1
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2x x y y --(x 1≠x 2).
2.直线方程的几种形式
直线方程都是关于x 、y 的一次方程，关于x 、y 的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 平行于x 轴的直线方程为y=a;
平行于y 轴的直线方程为x=b(平行于y 轴的直线的斜率不存在); 过原点的直线方程为y=kx; x 轴的方程是y=0;
y 轴的方程是x=0(y 轴的斜率不存在). 知识导学
要学好本节内容，应突破已知直线的斜率求直线倾斜角的难点,主要在于对直线倾斜角范围的认识,特别是斜率为负值且不是特殊角的情况,要注意钝角和负角的区别.根据直线的斜率取值范围求倾斜角的取值范围也是本节的难点,特别是斜率既有负值又有正值的情况是比较容易混淆的,这类问题可以结合正切函数的图象写出结果.
根据实际问题认清直线方程的五种形式各有自己的特点,解题时作出灵活选择与判断.实际上,我们用的最多的还是点斜式和斜截式的方程,在设出这些方程的时候一定要根据实际的图形来判断斜率不存在的情况,在使用截距式方程时还要讨论过原点的情况,特别是在问题中出现“在两坐标轴上的截距(或者截距的绝对值)相等”这一类的问题.
已知斜率的范围求倾斜角的范围的记忆口诀:斜率有正负,图象来定位. 疑难突破
1.方程y=kx+b(k≠0)能表示所有直线吗？
剖析:方程y=kx+b(k≠0)是直线方程的一种形式——斜截式，由于直线按斜率分类可以分为两类：一类是存在斜率
的直线，另一类是不存在斜率的直线.故方程y=kx+b(k≠0)只能表示斜率存在的直线，而斜率不存在的直线用方程y=kx+b(k≠0)是不能表示的.所以方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线.
由方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线，我们可以得出一般性的结论：平面直角坐标系中，凡是根据直线的斜率推导出来的直线方程都不能表示所有的直线.如：点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示所有直线. 2.在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中有三个不同参数A 、B 、C,为什么可由两个独立条件确定一条直线？
剖析:根据等式的基本性质：在等式两边同时乘以(或除以)一个非零的数(或式子)，等式仍然成立.由于在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中已经给出了一个已知条件“A、B 不同时为零”，所以从形式上看有三个不同参数，而实际上我们可以把它转化成只含有两个不同参数的方程，即在方程Ax+By+C=0的两边同时除以A(或B)，则原方程可转化为x+
A B y+A C =0(或B A x+y+B
C
=0),也就是说，在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中,形式上尽管有三个不同参数A 、B 、C,但却可由其中的两个独立条件确定一条直线.
根据条件“A、B 不同时为零”进行分类讨论：
(1)当A=0，B≠0时，方程Ax+By+C=0即为By+C=0，也就是y=-B
C
，这是一条与x 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.
(2)当B=0，A≠0时，方程Ax+By+C=0即为Ax+C=0，也就是x=-A
C
，这是一条与y 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.
(3)当A≠0且B≠0时，方程Ax+By+C=0可转化为x+
A B y+A C =0(或B A x+y+B
C
=0),即原方程可转化为只含有两个待定系数的方程.当然可以由两个独立条件确定.
3.利用斜率相等你可以得到哪些结论？
剖析:斜率公式的应用非常广泛，在利用斜率公式时应注意：(1)直线的倾斜角和斜率是直线本身的属性，它们重视与三角函数的渗透和对字母参数的讨论;(2)斜率与倾斜角是数与形的有机结合.
不同的两条直线斜率相等时,它们的倾斜角也相等，所以这两条直线平行.在三点两两相连确定的直线中，如果经过同一点的两直线斜率相等，则这三点共线.
4.研究直线的方程的基础是什么？在学习直线的斜率公式k=
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2x x y y --(x 1≠x 2)时需要注意什么？
剖析:斜率公式表明直线对于x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而使用比较方便.
斜率(公式)是研究直线方程的各种形式的基础，必须熟记并灵活运用.斜率公式与选取两点的顺序与位置无关.当x 1≠x 2,即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立；当x 1=x 2时，倾斜角α=2
π
，而没有斜率，故斜率公式不成立.。