2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高二下学期期末教学质量抽测数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，
，
，则
等于( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末教学质量抽测
数学试题
( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限3.算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子简称上珠代表5，下面一粒珠子简称下珠代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件
“表示的四位数为偶数”，事件
“表示的四位数大于5050”，则
( )
A. B. C. D.
4.是定义在R 上的奇函数，且单调递减，若
，则a 的取值范围是( )
A. B. C. D. 5.随机变量，且，则( )
A. 64
B. 128
C. 256
D. 32
6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱
，
平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为，该刍甍的体积为
( )
A. B. C. 9 D. 6
7.如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，则从正方
形ABCD开始，连续15个正方形的面积之和等于( )
A. B. C. D.
8.下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布，则
②已知随机变量X服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，
事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；
A. ①②③
B. ②③④
C. ②③
D. ①③
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中正确的是( )
A. 分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的
B. 正态分布在区间和上取值的概率相等
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
D. 若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
10.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. 第3项
B. 第4项
C. 第5项
D. 第6项
11.已知随机变量，若使的值最大，则k等于( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
12.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 函数在区间内单调递增
B. 当时，函数取得极小值
C. 函数在区间内单调递增
D. 当时，函数有极小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量，，若，则__________.
14.已知，则n的值为__________.
15.某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，__________填“有”或“没有”以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
参考公式与数据：，其中
16.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，，现在对自然人群进行普查，设被
试验的人患有癌症的概率为，即，则__________精确到
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分
已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前n项和为
求数列，的通项公式；
设_____，求数列的前n项和为
①，②，③从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题.
18.本小题12分
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求；
若，的面积为2，求
19.本小题12分
四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，以AC的中点O 为球心AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点
求证：平面平面PCD；
求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
20.本小题12分
根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量百千克与某种液体肥料每亩使用量千克之间的对应
数据的散点图，如图所示．
依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合；
求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？附：相关系数公式，
参考数据：，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
21.本小题12分
已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为
求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
22.本小题12分
已知函数
若函数有两个零点，求m的取值范围；
证明：当时，关于x的不等式在上恒成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集、并集及其运算，属于基础题．
直接利用交集、并集运算得答案．
【解答】
解：，，
，
又，
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标，进而得答案．
【解答】
解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于中档题.
根据题意，列举出所有基本事件，进而求出，，再利用条件概率公式求解即可．
【解答】
解：算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．基本事件为：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，则，
事件“表示的四位数大于5050”，则，
所以
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于基础题．
先利用是定义在R上的奇函数，可得，再利用在R上单调递减，即可确定a
的取值范围．
【解答】
解：是定义在R上的奇函数，
，
，
在R上单调递减，
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项分布期望与方差的求法，是基础题．利用二项分布期望公式易求得p，继而求得方差，再利用方差的性质求解．
【解答】
解：由于，且，则，得，
，
故选：
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力
和运算求解能力，是中档题．
作，，则多面体被分割为棱柱与棱锥两部分，由此能求出该刍甍的体积．
【解答】
解：如图，作，，分别交AB，CD于点N，
则多面体被分割为棱柱与棱锥两部分，
所以该刍甍的体积为：
故选：
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列前n项求和的应用，涉及归纳推理的应用，属于中等题．
设第个正方形的面积为，其边长为，分析数列的通项公式，由此可得数列的通
项公式，进而求出的前15项的和，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设第个正方形的面积为，其边长为，则第n个正方形的对角线长为，
分析可得第个正方形的边长为，变形可得，
故数列是首项为，公比为的等比数列，则，
故，
当时，，又，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则
即连续15个正方形的面积之和等于
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正态分布、二项分布及条件概率的求法，是较易题．
由二项分布的概率公式求得概率判断①；由正态分布的对称性求得概率判断②；利用条件概率计算公式求
得概率判断③；由期望与方差的计算公式判断④．
【解答】
解：①设随机变量X服从二项分布，则，故①正确；
②服从正态分布，正态曲线的对称轴是，，
，，则，故②正确；
③，，
，故③正确；
④，，故④不正确．
故选：
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查分层随机抽样，正态分布，样本相关系数，平均数，以及众数、中位数的定义，属于基础题．对于A，结合分层抽样的定义，即可求解；
对于B，结合正态分布的对称性，即可求解；
对于C，结合相关系数的定义，即可求解；
对于D，结合平均数公式，以及众数、中位数的定义，即可求解．
【解答】
解：对于A，根据分层抽样的定义可知，对每个个体被抽取到的概率都是相同的，故A错误；
对于B，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1，C错误；
对于D，一组数据1、a、2、3的平均数是2，
则，解得，故该组数据的众数和中位数均为2，D正确．
故选：
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的运用；注意区分二项式系数与项的系数；本题的二项式系数与项的系数相等.
由已知展开式中第3项与第8项的系数相等求二项式指数，然后求二项式系数最大项．
【解答】
解：的展开式中第3项与第8项的系数相等，
；
所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；
故选：
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查二项分布的概率公式，属于中档题．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】
解：，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以和的值最大．
故选：
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性以及极值问题，属于中档题．
利用导函数的正负性与函数的单调性关联，然后分别对各选项进行逐一判定即可.【解答】
解：由图得，
对于A，导函数在区间有正有负，
则函数在区间内有增有减，
故选项A不正确；
对于B，当时，有，
当时，，
则当时，函数取得极小值，
故选项B正确；
对于C，当时，恒有，
则函数在区间内单调递增，
故选项C正确；
对于D，当时，有，
当时，，
则不是函数有极值；
故选项D不正确；
故选
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．
根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．
【解答】
解：向量，，若，
则，
则
故答案为：
14.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查组合及组合数公式，考查二项式定理的应用，是基础题．
由已知等式结合二项式定理即可求解n值．
【解答】
解：由，
得，
则，即，
解得：
故答案为：
15.【答案】有
【解析】【分析】
本题考查独立性检验，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
先列出列联表，再根据公式计算出的观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．【解答】
解：由题填写列联表如下，
乐观不乐观总计
国内代表 60 40 100
国外代表 40 60 100
总计 100 100 200
，
所以有以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．
故答案为：有．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查贝叶斯公式的应用，考查条件概率以及对立事件问题．
根据贝叶斯公式可得，进而得解．【解答】
解：由题设，有，，由贝叶斯公式得：
故答案为：
17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，
则，
当时，，解得，
，，
当时，，
即，解得，
，
方案一：选择条件①
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
方案二：选择条件②
由可得，，
则
方案三：选择条件③
由可得，，
则
【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，属中档题．
先设等差数列的公差为d，再根据等差数列与等比数列的通项公式写出数列，的表达式，然后将代入数列的前n项和的表达式可推导出数列的首项的值，即可计算出等比数列的通项公式，再将代入数列的前n项和的表达式可推导出公差d的值，即可计算出等差数列的通项公式；
在选择条件①的情况下，先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计
算出前n项和；在选择条件②的情况下，先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂
项相消法即可计算出前n项和；在选择条件③的情况下，先根据第题的结果计算出数列的通项
公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出前n项和
18.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
；
由可知，
，
，
，
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，降幂公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题.
利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出
由可得，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出
19.【答案】解：证明：因为底面ABCD是矩形，则，
又因为平面ABCD，平面PAD，
所以平面平面ABCD，
又平面平面，平面ABCD，
所以平面PAD，又平面PAD，
所以，
因为AC的中点O为球心AC为直径的球面交PD于点M，
可知，又，平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，
又平面ABM，
可证得平面平面PCD；
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由勾股定理得，
由可得，因为，所以，
作交于E，因为平面PCD，平面ACM，
所以平面平面PCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ACM，
则为CD与平面ACM所成的角，
所以，
在中，，，，且
，
可得，
所以
所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为
【解析】本题考查面面垂直的证法及线面角的求法，属于中档题．
由题意可证得，面PAD，进而可证得，再由线面垂直的条件可证得结
平面PCD，进而可证得结论；
作交于E，可证得为CD与平面ACM所成的角，由题意可得的值．20.【答案】解：由已知数据可得，
，
，
，
相关系数
，可用线性回归模型拟合y与x的关系;
，
回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为百千克.
【解析】本题考查相关关系强弱的判定，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．由已知表格中的数据求得相关系数，结合，可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；
求出与的值，得到线性回归方程，取求得y值即可．
21.【答案】Ⅰ证明：设直线，
，，
将代入
得，
故，
于是直线OM的斜率，
即
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
Ⅱ解：四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，
所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是，
由Ⅰ得OM的方程为
设点P的横坐标为
由
得，
即
将点的坐标代入l的方程得，
因此
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，
即
于是，
解得，
因为，，，2，
所以当l的斜率为或时，
四边形OAPB为平行四边形．
【解析】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大
联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即，建立方程关系即可得到结论．
22.【答案】解：令，，，
令，，
时，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
且时，，时，，
要使函数有两个零点，则即可，
的取值范围的取值范围为：
证：要证，，
设，，
，设，，
在上单调递增，而，，
，使得，即，，
且时，则；时，则
在单调递增，在单调递减，
，
，，
时，关于x的不等式在上恒成立．
【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
可得，令，可得在单调递增，在单调递减，则
即可；
，可得，设，，利用导数研究函数的最值，即可得出结论．。