《§42 三角不等式》教学课件

24
4
B.( ， )
42
D.(4
， )
2
( ，5 )
4
(3 ， )
4
二、常见的高频三角不等式：
sin x cos x
①若 sin x 0 ,则 x ②若 cos x 0 ,则 x
sin x＞cosx
③若 tan x 0 ,则 x
sin x＜cosx
④若 sin x cos x ,则 x
⑤若 sin x tan x ,则 x
点P处切线的倾斜角为α,则α∈ 【B】
A.
0,
2
C. [3 , ) 4
B. [0, ) [3，)
24
D. ( , 3] 24
析：因 f /(x)= 3x2－1 ≥ －1
即 k = tan α ≥ －1 故 α∈ [0, ) [3，)
24
(5)(2008年全国Ⅱ简化)判定 f (x) sin x 的单调性 cos x 2
§42 三角不等式
一、有关概念： 二、常见的高频三角不等式： 三、三角不等式的解法：
1.形法：三法画图象 “代表”+kT 2.数法：一般的，只限于：
一全二正 三切四余
y = sinx的图像及常用的3个代表
研究单调性用此代表较佳
3
2
2
2
2
2
研究正负值用此代表较佳
3
2
2
2
y = cosx的图像及常用的3个代表
sin x＞tanx sin x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
(3) (2008年江西)函数 y tan x sin x tan x sin x
在区间 ( ，3 ) 内的图象大致是
22
A
B
C
D
析：y
2 tan
2
sin
x, x,
当tan x 当tan x
sin sin
预习：
解三角形及正余弦定理
x时 x时
……
二、常见的高频三角不等式：
sin x cos x
①若 sin x 0 ,则 x ②若 cos x 0 ,则 x
sin x＞cosx
③若 tan x 0 ,则 x
sin x＜cosx
④若 sin x cos x ,则 x
⑤若 sin x tan x ,则 x
⑥若x为锐角，则
3
3
小结 三角不等式
一、有关概念： 二、常见的高频三角不等式： 三、三角不等式的解法：
1.形法：三法画图象 “代表”+kT 2.数法：一般的，只限于：
一全二正 三切四余
常见的高频三角不等式
sin x cos x
①若 sin x 0 ,则 x ②若 cos x 0 ,则 x
sin x＞cosx
一、有关概念：
1.含有三角式的方程(不等式) 称之为三角方程(不等式)
2.三角方程(不等式)的通解与特解：……
由于三角函数具有周期性 所以三角方程(不等式)的解 通常情况下，所有的解，会有无数个 即所谓的通解……
一般情况下，只研究“人为定义域”内的解 即所谓的特解……
二、常见的高频三角不等式：
①若 sin x 0 ,则 x ②若 cos x 0 ,则 x ③若 tan x 0 ,则 x
(2)先伸缩后平移
1
f (x)
横坐标变为原来的 |
倍 |
f
(x)
横向平移 个单位
f (x )
(3)对称变换引申
f (x) 先横向平移|a|个单位，再以x=a为轴作对称变换 f (a x)
| x a |)
描点法(周期五点法)作和谐函数的图像
……
……
渐近性
……
1.描点法(周期五点法)作图 2.变换法作图：
(1)单式变换法：
①平移 (1)横向(2)纵向(3)周期性(4)向量 ②伸缩 (5)横向(6)纵向 ③对称 (7)奇偶性及其推广（原点，y轴…）
(8)x轴 (9)反函数 y=x ④翻折 (10)横向(11)纵向 ⑤旋转 (12) 极坐标
研究单调性用此代表较佳
2
2
3
2
2
2
研究正负值用此代表较佳
3
2
2
2
y=tanx的图象及常用的代表
有图y就 s有in x一切 y 两co域s x五性特y 殊tan点x
定义域 值域
R
[-1,1]
R
[-1,1]
x k (k Z )
2
R
周期性
T 2
T 2
T
对 奇偶性 称 点对称 性 轴对称
先画图象后画轴 头为负比尾加T
注1.“头”的含义
①正弦式：当 Aω＞0时，“头”是距原点最近的上升平衡点
当 Aω＜0时，“头”是距原点最近的下降平衡点
②余弦式：当 A＞0时，“头”是距原点最近的最高点
当 A＜0时，“头”是距原点最近的最低点
③正切式：“头”是距原点最近的平衡点
注2.头为负比：x1
注3.尾加T：弦式 x5 x1 T
法1.有图就有一切 上大下小中为0
法2.一全二正 三切四余
sinx
法3.记忆图
法4.定义法 法5.单位圆
tanx
cosx
练习1.常见的高频三角不等式 (1).《名师伴你行》P：63 右中 Ex1
二、常见的高频三角不等式：
①若 sin x 0 ,则 x ②若 cos x 0 ,则 x
sin x cos x
sin x＞cosx
③若 tan x 0 ,则 x
sin x＜cosx
④若 sin x cos x ,则 x
(2)(1998年全国)已知点P（sinα－cosα，tanα）在 第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是 【B】
A.( ，3 ) (5 ，3 )
24 4 2
C. ( ，3 ) ( ，5 )
sin x＜x＜tanx
sin x＞tanx sin x＜tanx sin x＜tanx sin x＞tanx
一、有关概念：
二、常见的高频三角不等式：
三、三角不等式的解法：
1.形法： 三法画图象 “代
2.数表法”：+kT 一般的，只限于： 一全二正 三切四余
练习2.形法解三角不等式
(4).点P是曲线f(x)=x3－x+1上的动点，设在
③若 tan x 0 ,则 x
sin x＜cosx
④若 sin x cos x ,则 x
⑤若 sin x tan x ,则 x
⑥若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＞tanx sin x＜tanx sin x＜tanx sin x＞tanx
针对训练：
1.《名师伴你行》P：66 左中 Ex5 2.《练出好成绩》P：323 Ex5
注4.正弦式： 当A＞0,ω＞0时，y1=y3=y5=B，y2=B+A，y4=B-A
注5.y 轴的位置：找到原点O即可
和谐函数的性质
1.内容：两域五性特殊点
①定义域②值 域③周期性④单调性 ⑤对称性(奇偶性的推广)⑥凸凹性⑦渐近性
2.方法：
法1：数形结合 看图说话 三法作图 有图就有一切
法2：整体换元
将“ωx+φ”看成是一个整体
结合复合函数的性质 类比三角函数可得性质
三角方程的求解方法
1.形法：
三法画图象 “代表”＋ kT
2.同名型三角方程：
①若 sin f (x) sin g(x) 1 则 f (x) k (1)k g(x)
注：求特解时，一般是“非等即补”
(k Z)
②若cos f (x) cos g(x) 1 则 f (x) 2k g(x) (k Z)
注：求特解时，一般是“非等即反”
③若 tan f (x) tan g(x) 则 f (x) k g(x) (k Z)
3.通解公式：待大学……
§42 三角不等式
一、有关概念： 二、常见的高频三角不等式： 三、三角不等式的解法：
1.形法：三法画图象 “代表”+kT 2.数法：一般的，只限于：
一全二正 三切四余
解：因 f /(x)=
cos x(cos x 2) sin x(sin x) (cos x 2)2
2 cos (cos x
x 1 2)2
解f /(x)＞0 得 f(x)在 [2k 2 , 2k 2 ] (k Z ) 上↗
3
3
解f /(x)＜0 得 f(x)在 [2k 2 , 2k 4 ] (k Z ) 上↘
＋－平移×伸缩 变号变位为对称 横横纵纵绝对翻 运算主体纯字母
(2)复式变换法：
注⑤：图象变换的基础是点的变换，故应该用“图象上 所有点”来描述变换，但实际操作时，可简化。 可模仿注⑥的书写格式
注⑥：书写格式
(1)先平移后伸缩
1
f (x)
横向平移|φ|个单位
f
(
x
)
横坐标变为原来的 |
倍
|f
(x
)
奇函数 平衡点 过最值点
偶函数 平衡点 过最值点
奇函数 平衡点及间断点
单
[2k ,2k ](k Z ) [(2k 1) ,2k ](k Z) (k , k )(k Z )
2
2
2
2
调
性
[2k ,2k 3 ](k Z ) [2k , (2k 1) ](k Z)
2
2
凸凹性
……