《探索与表达规律》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (2)

第三章整式及其加减 5 探索与表达规律第2课时教学重点与难点
教学重点：探索发现数学规律，进一步体会字母表示数在生活中的应用．
教学难点：探索实际问题中蕴涵的数学规律，并寻求表示规律的不同方法．
学情分析
认知根底：本节课是“探索规律〞的第二课时，本节课前，学生已经学习了《字母表示数》，并体会到了用字母表示数带来的方便，同时已经初步地进行了对简单图形规律的探索．通过上一节课的学习，学生的头脑中已经根本形成了探索规律的方法与技巧．这些均为本节课的顺利完成作好了铺垫．
活动经验根底：在上一节的学习过程中，学生通过实际操作已初步掌握了许多活动技巧，获得了初步的数学活动经验和体验，为本节课抽象数字规律进行探索，感受数学的生活变化创造了有利条件．
教学目标
1．通过探索数字之间的关系，运用符号表示规律，运算验证规律的过程，使学生进一步理解掌握探索规律的步骤．
2．会用代数式表示简单的数量关系，在探究知识的过程中培养学生的创新能力．
3．通过活动，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而调动学生学习数学知识的积极性，使学生自主地发现知识，创造性地解决问题．
教学方法
采取游戏式的方法，充分利用学生小组讨论积累的经验，更好的发挥小组优势，给予学生充分讨论与验证的时间，使学生在学会探索规律的同时，进一步培养合作精神与集体荣誉感，从而为本节课的学习画上一个圆满的句号．
教学过程
一、创设情境，引入新课
小强和小亮做游戏，小强说：“小亮，你在心里想好一个数，将这个数乘5，然后加7，再将所得的新数乘2，最后将得到的数减14.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数是多少．〞
小亮说：“60〞，小强说：“你心里想的数是6.〞
小亮说：“130〞，小强说：“你心里想的数是13.〞
小亮说：“你太厉害了，都答对了．〞
你知道小强是怎么算出来的吗？
教学说明
本节课以猜数游戏引入，一开始就激发了学生的学习兴趣和探究欲望，教师要给学生充足的讨论时间，发挥学生的主观能动性，将学生置于合作探究的气氛之中，通过一个小小的游戏，让学生在解决问题过程中形成认知冲突，为本节课的学习作一个好的铺垫．
二、讲授新课
通过上面的游戏，学生大多通过组内讨论知道用设未知数来表示出代数式，从而揭示出游戏的秘密．
探索规律：数字游戏．
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．
“我的结果是93”．
小明说：“你心里想的数是78〞．
“我的结果是27”．
小明说：“你心里想的数是12〞．
你知道小明是怎样算出来的吗？
问题1：上题中我们需设几个辅助的未知数来帮助列代数式．
问题2：运用你所设的未知数列出代数式．
问题3：当代数式的值为93时，所设未知数有几组适宜的值？代数式的值为78时呢？
问题4：你来试一试吧！
答案：问题1：设十位数字为x，个位数字为y，共设两个未知数，那么这个两位数表示为10x＋y.
问题2：(2x＋3)×5＋y＝10x＋15＋y.
问题3：当10x＋15＋y＝93时，10x＋y＝78，即这个十位数为78.
当10x＋15＋y＝27时，10x＋y＝12，即这个十位数为12.
问题4：重在激起学生的学习积极性，可将问题进一步提升为：你发现了什么规律？(结果减去15就是心里想的数)．
设计说明
本环节对学生来说有点难，但在引例游戏中设一个未知数的根底上再引出此处需设两个未知数，学生可能较易接受．教师要给学生充分探究的时间和空间．同时，本局部内容设计了许多小问题，让学生带着任务去思考其中的规律，整个题目设计的层次性也根本反映了探索规律的根本过程．
三、演练场
有三堆棋子，数目相等，每堆至少4枚．从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时，中堆的棋子数是多少？
解：因为三堆棋子数目相等，可设每堆棋子均为x枚．
左堆中堆右堆原有m m m 改变一次后m－3m＋3m
改变两次后m－3m＋3＋4m－4
改变三次后2(m－3)＝2m－6m＋3＋4－(m－3)＝10m－4
由表格可以看出，中堆的棋子为10枚，与原来每堆棋子数目无关．
四、积累与总结
1．核心知识：用代数式表示规律．
关键：设出题中未知量，从而用未知量表示出变化过程的代数式，然后进一步化简整理，从中找出规律．
2．对自己本节课的学习情况进行评价．(包括所学习到的探索规律的一般方法；探索过程中怎样设出未知量；探索规律的一般过程等)．
评价与反思
本节课的问题设计符合学生认知特点，开放性的问题设计有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维能力．本节课通过学生自主探索，进一步体会字母表示数的作用及从变化中发现不变．以后还需注意合作学习中全体学生的积极参与，融入学生之间，共同寻找探索规律的方法．
第五章反比例函数
一、学生知识状况分析
通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。

本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。

通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.
教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.
二、教学任务分析
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此根底上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。

教学目标
(一)知识与能力
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念.
2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.
3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.
(二)过程与方法
1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.
2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.
3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力.
4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.
(三)情感与价值观
通过本章内容的回忆与思考，开展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，开展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点
本章知识的网络结构体系.
反比例函数的概念.
会作反比例函数的图象，并掌握其性质.
反比例函数的相关应用.
教学难点
利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质.
反比例函数的相关应用.
教学方法
自主探究、合作交流.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，稳固新知；第四环节：交流探讨、收获小结；第五环节：课后作业
第一环节：复习提问，引人入胜
活动目的给学生设置疑问，激发学生的思考和回忆，明确本节课的学习任务。

活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?
学生答复预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。

. 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。

.
第二环节：知识串联，形成体系
活动目的：引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系，将根底知识网络化，形本钱章知识的框架结构体系。

活动过程：
〔一〕本章知识结构
引导学生构造本章知识结构图。

(可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)
本章内容框架
活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.
考前须知：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导； 2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。

（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念. 学生答复预设：
例：当三角形的面积是16 cm 2
时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数. 解：a ＝
h
32. 在上式中，任意给定h 一个值，相应地就确定了一个a 的值.因此a 是h 的函数。

所以一般地，如果两变量x ，y 之间的关系可以表示成y=x
k
(k 是常数，k ≠0)的形式,那么称y 是 x 的反比例函数.
〔三〕说说函数y ＝
x 2和y ＝-x
2
的图象的联系和区别. 联系：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形. (4)虽然y ＝
x 2和y=-x
2
的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2. 区别：(1)它们所在的象限不同，y=x 2的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-x
2
的两支曲线在第二象限和第四象限.
(2)y ＝
x 2的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小；y=-x
2
的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大.
〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质
画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.
反比例函数图象的性质有〔课件演示〕： 1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.
2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y 随x 的增大而增大.
4.因为在y=
x
k
(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.
5.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P ，Q 分别作x 、轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2那么S 1＝S 2
6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
第三环节：例题精练，稳固新知
活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。

活动过程：课件展示
例一
1.以下函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的是哪些 ( )
(1)y=x 31 (3)y=x 2.0 (2)y= x
10 (4)y=-x 1007
2.在函数y ＝x
3
的图象上任取一点P ，过P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形
面积是多少?
分析：根据反比例函数图象的性质，当k ＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y ＝
x
31
中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=x
31
的形式。

答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有(3)(4).
2. S=｜k ｜=
3. 例二
4
1
，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa ，倒过来放，对桌面的压强是多少? 2
，当体积v ＝5米3ρ＝1.98千克／米3，求(1)ρ与v 的函数关系式；(2)当v=9米3
时，CO 2
的密度.
分析：压强p 、受力面积S 、压力F 三者之间的关系为p=S
F
，因为是同一物体，所以F 是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同. 质量m 、密度ρ、体积v 三者之间的关系为：ρ=
v
m ，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3
,可知质量m ，实际代表反比例函数中的k ，求出m ，就确定了反比例函数的关系式. 答案：
解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p 1＝S
F
＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p 2＝
S F
S F 44
1
＝800Pa. 2
的质量为m 千克，将v=5米3
，ρ=1.98千克／米3
代入公式ρ＝
v
m
中，得m=9.9千克. 故所求ρ与v 间的函数关系式为ρ＝
v
9.9. (2)当v ＝9米3
时，ρ=
v
9.9＝1.1(千克／米3
)。

课堂练习 课件演示： 1.对于函数y=
x 2，当x>0时，y_______0，这局部图象在第______象限；对于y ＝-x
2，当x<0时，y____0，这局部图象在第_____象限.
2.函数y=
x
10
的图象在第____象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而______.
3.根据以下条件，分别确定函数y ＝x
k
的表达式 (1)当x=2时，y ＝-3； (2)点(-
3
1,21-)在双曲线y ＝x k
上.
答案：1.> 一、三 < 二、四 2.一、三 减小 3.(1)y=
x
6
- (2)y=x 61；
考前须知：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，防止替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：交流探讨 收获小结
活动内容： 教师引导学生进行回忆和整理，然后通过师生交流和生生交流，答复以下问题：本节课我们都一起回忆和复习了哪些内容？
交流预设： 1.反比例函数概念
2.反比例函数图像的做法及性质
3.反比例函数在生活中的应用
4.做题时要注意数形结合
5.具体题目的解题思路
活动目的：使学生通过再次的回忆和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。

第五环节：课后作业 〔一〕复习题 〔二〕活动与探究
反比例函数图象与矩形的面积 假设点A 是反比例函数y=
x
k
(k ≠0)图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C,那么矩形面积S ABOC =｜k ｜.如图(1).
1.如图(2)，P 是反比例函数)y=
x
k
(k ≠O)图象上的一点，由P 点分别向x 轴，y 轴引垂线，得阴影局部(矩形)的面积为3，那么 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图〔3〕过双曲线y=
x
2
上两点A 、B 分别作x 轴，y 轴的垂线，假设矩形ADDC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1,S 2,那么S 1与S 2的关系是_____.
答案：
1.解：由题意得｜k ｜=3.
又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k ＝-3. ∴k=
x
3-. 2.解：由题意得 S 1=S 2=｜k ｜=2.
〔三〕补充练习(课件展示〕
〔四〕反比例函数与正比例函数图象性质比拟分析
正比例函数y=kx(k ≠0) x
k
y =
(k 为常数，且k ≠0) 关系式
K ＞0
K ＜0
K ＞0
K ＜0
图象
x
y
x
y
性质 图象经过点 ，与第 象限。

y 随着x 的增大而 。

图象经过点 ，与第 象限。

y 随着x 的增大而 。

双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x 的增大而 。

双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x
的增大而 。

四、板书设计
回忆与思考
一、本章知识结构
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
五、教学反思
本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。