正余弦定理典型例题及解析

正余弦定理的应用的典型例题 五大命题热点：五大命题热点：
（1）求解斜三角形中的基本元素）求解斜三角形中的基本元素
例1(2005年全国高考湖北卷) 在 ΔABC 中，已知6
6
cos ,3
64=
=B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．的值．
（2）判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2(2005年北京春季高考题)在ABC D 中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC D 一
定是（定是（ ） A ．直角三角形．直角三角形 B ．等腰三角形．等腰三角形 C ．等腰直角三角形．等腰直角三角形 D ．正三角形．正三角形
（3）解决与面积有关问题）解决与面积有关问题
例3(2005年全国高考上海卷) 在ABC D 中，若120A Ð= ，5AB =，7BC =，
则ABC D 的面积S ＝_________
（4）求值问题）求值问题
例4(2005年全国高考天津卷) 在ABC D 中，C B A ÐÐÐ、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件2
22a bc c b =-+和32
1+=b c ，求A Ð和B tan 的值．的值．
（5）正余弦定理解三角形的实际应用）正余弦定理解三角形的实际应用 ①测量问题；测量问题；
例5 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

，求河的宽度。

图1 
A B 
C 
D 
②遇险问题遇险问题
例6某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
③追击问题追击问题
例7 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°
方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航的速度航 行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？能尽快追上乙船？
答案：答案： 例1 
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin 
A ． 西
北 南
东 A B 
C 
30° 15°
图2 
图3 
A 
B C 
北 45°
15°
解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36
221
=
=
AB DE ，设BE ＝x
在 ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22
2
2
×-+=， x x 6
6
36223852
´
´++=，解得1=x ，37
-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 22
2
2
=×-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630
sin =B ，
故221
23sin 30
6
A =，1470
sin =A 例2 
解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．
解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =
，再由余弦定理，得cos B ＝222
2a c b ac
+-． ∴ 2222a c b ac
+-＝2c a ，即a 2＝b 2
，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 例3 
解：分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝
2
1
AB •AC sin A 即可解决．
由余弦定理，得cos A ＝2
2
2
2
25491
2102
AB AC BC AC AB AC AC +
-
+
-
==-··，解得AC ＝3．
∴ S ＝
21AB •AC sin A ＝4
315．∴．∴ 21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝
22
3，故选(A)．
例4
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理2
12cos 222=-+=bc a c b A ，因此，°=Ð60A
在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B. 
由已知条件，应用正弦定理B
B B
C b c sin )
120sin(sin sin 321
-°=
==+ ,2
1cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=
°-°=B B B B 解得,2cot =B 从而
.21tan =B 例5 
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。

，这个三角形可确定。

解析：由正弦定理得sin sin AC
AB
CBA ACB
=
ÐÐ，∴AC=AB=120m ，又
∵
1
1sin 22
ABC
S
AB AC CAB AB CD
=
×Ð=× ，解得CD=60m 。

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。

例6 
解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，
测得S 在东30°北的方向上。

在△ABC 中，可知AB=30×AB=30×0.5=150.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°SC=15sin30°=7.5
=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

礁的危险。

例7 
解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

处相遇。

在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，
设∠ABC= 
α，∠BAC= β。

∴α=180°－45°－15°15°=120°
=120°。

根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC a =+-×， ()()2212881202920()2t t t =+-´´´-，2
12860270t t --=，
（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932
（舍）（舍）
∴AC=28×
34
=21 n mile ，BC=20×
3
4=15 n mile 。

根据正弦定理，得3
15
sin 532sin 2114
BC AC
a
b ´
=
==，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin
5314，又5314＜7214＜2
2
，∴arcsin 5314＜4p ，
∴甲船沿南偏东4
p
－arcsin
53
14
的方向用34h 可以追上乙船。

可以追上乙船。