2020年湖南省长沙市耀华中学高一数学文月考试卷含解析

2020年湖南省长沙市耀华中学高一数学文月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线与互相垂直，
则的值是（）
A． B．1 C．0或 D．1或
参考答案：
D
2. （3分）函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）
A．﹣1 B．0 C． 1 D．2
参考答案：
B
考点：对数函数的值域与最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：先分析函数f（x）=log2x的单调性，进而可得函数f（x）=log2x在区间上的最小值．
解答：解：∵函数f（x）=log2x在区间上为增函数，
∴当x=1时，函数f（x）取最小值0，
故选：B
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键．
3. 边长分别为，则∠B等于（）
A． B． C．
D．
参考答案：
由余弦定得：得∠B=，选C.
4. 下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（）
A.1
B.2
C.3
D.0
参考答案：
B
略
5. 在△ABC中，，点D在边AC上，，E为垂足．若，则()
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
先在△ADE中,得BD＝AD＝，再解△BCD,,即得cosA的值. 【详解】依题意得，BD＝AD＝，∠BDC＝2A.在△BCD中，
，即，解得cos A＝.
故答案为：C
【点睛】本题主要考查解三角形，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌
握水平和分析推理能力.
6. (7)函数是 ( )
(A) 周期为的奇函数 (B) 周期为的偶函数
(C) 周期为2的奇函数 (D) 周期为2的偶函数
参考答案：
A
略
7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A解析：对称轴
8. 设向量，且，则实数的值为（）
A．-1 B．1 C. 2 D．3
参考答案：
D
解得
故选D.
9. 已知实数满足，则由点构成的区域面积为（）
A． B． C．1 D． 2
参考答案：
C
略
10. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底==10，
S后=，
S右==10，
S左==6．
几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．
故选：B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则?的取值范围是．
参考答案：
[-5,5]
考点：平面向量数量积的运算．
分析：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，求得AP=2AM=10sinθ，可得=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ，由此求得?的取值范围．
解答：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，
∴sinθ=，AM=5sinθ，AP=2AM=10sinθ．
∴=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈，
故答案为：．
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性，属于中档题．
12. 等比数列{a n}中，a1=1，a4=8，则a7= _________ ．
参考答案：
64
13. 若关于x的不等式的解集为，则实数m=____________.
参考答案：
试题分析：由题意得：1为的根，所以，从而
考点：一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系
14. 袋子里有2颗白球，3颗黑球，由甲、乙两人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙两人所得之球颜色互异的概率是_________．
参考答案：
略
15. 直线与函数图像的交点有个。

参考答案：
4
16. 等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的正整数n的值是，使前n项和S n＞0的正整数n的最大值是．
参考答案：
5或6,10.
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由题意，公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，|a3|=|a9|，即a3=﹣a9，可得
a3+a9=0，即可前n项和S n取得最大值的正整数n的值和前n项和S n＞0的正整数n的值．【解答】解：由题意，公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，|a3|=|a9|，即a3=﹣a9，可得a3+a9=0，
∵a3+a9=2a6，
∴a6=0，
∴等差数列{a n}的前5项是正项，第6项为0．
则前n项和S n取得最大值的正整数n的值为：5或6．
又∵=0，
∴使前n项和S n＞0的正整数n的最大值是：10．
17. 已知,则的值
为
参考答案：
-1
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （10分）已知函数f(t)=log t ,t[,8]
(1) 求f(t)值域G
(2)若对于G内所有实数x，函数g(x)=-2x-有最小值-2，求m
参考答案：
19. 设二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）
（1）当b=+1时，求函数f（x）在上的最小值g（a）的表达式．
（2）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|≤．
参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；
（2）设m＜x1＜x2＜m+1，m为整数．分类讨论k的存在性，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，
当a≤﹣2时，函数f（x）在上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；
当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；
当a＞2时，函数f（x）在上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．
综上可得，g（a）=…
（2）设m＜x1＜x2＜m+1，m为整数．
则△=a2﹣4b＞0，即b＜，
①当﹣∈（m，m+]，即﹣1≤a+2m＜0时，
f（m）=m2+am+b＜m2+am+=（m+）2≤；
②当﹣∈（m+，m+1），即﹣2＜a+2m＜﹣1时，
f（m+1）=（m+1）2+a（m+1）+b＜（m+2）2+a（m+1）+=（m+1+）2≤；
综上，存在整数k，使得|f（k）|≤．…
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20. 已知函数f（x）=（x≠1）．
（Ⅰ）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）令g（x）=lnf（x），试讨论g（x）=lnf（x）的奇偶性．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；函数思想；作差法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用单调性的定义证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（Ⅱ）先判断函数的奇偶性，再求出函数的定义域、g（﹣x），化简后利用函数奇偶性的定义进行判断．
【解答】证明：（Ⅰ）设1＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）=﹣
==，…3分
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；…6分
解：（Ⅱ）g（x）是偶函数，原因如下：
g（x）=lnf（x）=，
由得（x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，
∴函数g（x）的定义域是{x|x＞1或x＜﹣1}，关于原点对称，…8分
∵g（﹣x）===﹣=﹣g（x），
∴函数g（x）是偶函数…12分
【点评】本题考查函数单调性的证明及奇偶性的判断，对数函数的运算，掌握单调性的定义证题步骤是关键，考查化简、变形能力，属于中档题．
21. 已知定义在R上的函数是奇函数
（1）求的值；
（2）判断在R上的单调性并用定义证明．
参考答案：
略
22. 为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成[1,3),[3,5),[5,7)[7,9),[9,11]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；
（2）若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率．
参考答案：
（1）、；
（2）.
（Ⅰ）由题意可知，
解得.所以此次测试总人数为． ..............4分
答：此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为人．
（Ⅱ）设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取名学生自不同组的事件为：由已知，测试成绩在有人，
记为，；在有人，记为．..................6分
从这人中随机抽取人有
，共种情况．
事件包括共种情况． ...............10分
所以．
答：随机抽取的名学生自不同组的概率为. .................12分。