高中必修一数学1.3.1函数的单调性和最大小值 ppt课件-人教版
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②必须是对于区间I内的任意两个自变
x2； ③函数的单调性是相对某个区间而言 不能直接说某函数是增函数或减函数
高中数学
下列说法是否正确？请画图说明理由
（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意 有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单 调递增。
（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的 x1,x2,x3,当 ax1x2时，x3b 有 f( a ) f( x 1 ) f( x 2 ) f( x 3 ) f( b ) 则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。
f（x1）－f（x2）＜0 f（x1）＜ f（x2）
函f数 (x)3x2在 R上是增 . 函
高中数学
练习：判断函数 f (x)x2 2的x单调区间
y
单调递减区
f(x)x22x (,
单调递增区
1
o
2x
[1,
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三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证 函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时 注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
y=f(x)
0
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f(x1)
x1
x
图1
2．减函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I
果对于定义域I内的某个区间D内的任意 自变量x1，x2 ，当x1<x2时，都有f(x1)> ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图
y y=f(x)
0
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f(x1) f(
x1
x2
图2
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个 间上的性质，是函数的局部性质；
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四、作业布置 书面作业：课本P39 A组：第2题 2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上
增函数.
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例2 物理学中的玻意定律 p k
V
(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体
小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.
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二、新课教学 （一）函数单调性定义
是减函数.
y
f (x)
-2
-5
1
3
x 5
图6
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[例1证 ] 明函 f(x数 )2x1在 （， ）上是增
高中数学
用定义证明函数单调性的步骤是：
（1）取值
即取 x 1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x
（2）作差变形
即求 f(x1)-f(x2) ，通过因式分解、配方
理化等方法
（3）定号
即根据给定的区间和
般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调
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Байду номын сангаас
例2.证明函f数 (x)2x1在区间 （， ）上是增函数
证明：设 x 1,x2是区 (, 间 ) 内任 两个实数x， 1 x且 2。（取值） f(x1)f(x2)(2x11)(2x21) （作差） 2(x1x2)
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y
y x2
f (x1)
O x1
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y
y x2
f (x1)
O
x1
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y
y x2
f (x1)
O
x1
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函数单调性的概念：
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
果对于定义域I内的某个区间D内的任意 个自变量x1，x2，当x1<x2时，都 f数(x,1如)<图f(x12.)，那么就说f(x)在区间y D上是增
------函数的单调性
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一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反
应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
1 -1
-1
1
x
-1
-1
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知识探究（一）
考察下列两个函数: f(x)f(x)20) （1） f (x) = x ； (2)f (x) = x2
y
y
5
o
x
-5 o
x 1x 2, x 1x 20 f(x 1)f(x2)0 （
即 f(x1)f(x2)
则函 f(x )2 数 x 1 在( 区 , 间 ) 是增函数。 （下结论）
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练2.习 证明f(函 x)3 数 x2在 R 上
证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋ ＝3（x1－x2） 由x1＜x2，得 x1－x2＜0
f(x1)-f(x2) 的符号
x 2 - x 1 的符号的确
（4）判断
根据单调性的定义得结论
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练2.习 证明f(函 x)3 数 x2在 R 上
证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋ ＝3（x1－x2） 由x1＜x2，得 x1－x2＜0
1．增函数 一般地，设函数y=f (x)的定义域为I，如果对于定
内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2 ，当x 时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是
（increasing function）．
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3．证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性
例3.函数 f(x) 1在(0, )上是增函 x
5x
-5
思考1:说说随着X的增大，图像从左到右的升
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y
y x2
f (x1)
x1 O
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y
y x2
f (x1)
x1 O
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y
y x2
f (x1)
x1 O
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y
y x2
f (x1)
x 1O
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y
y x2
f (x1)
Ox 1
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y
y x2
f (x1)
O x1
f（x1）－f（x2）＜0 f（x1）＜ f（x2）
函f数 (x)3x2在 R上是增 . 函
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探究：P30 画出反比例函数 y 1 的图象． ①这个函数的定义域是什么？ x
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论
思考3：反比例函数 y k (k 0) 的单调性 x
单调区间：
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2．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增 或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一
具有（严格的）单调性，区间D叫做y=
单调区间。
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（二）典型例题
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函
y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调
以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函
x2； ③函数的单调性是相对某个区间而言 不能直接说某函数是增函数或减函数
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下列说法是否正确？请画图说明理由
（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意 有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单 调递增。
（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的 x1,x2,x3,当 ax1x2时，x3b 有 f( a ) f( x 1 ) f( x 2 ) f( x 3 ) f( b ) 则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。
f（x1）－f（x2）＜0 f（x1）＜ f（x2）
函f数 (x)3x2在 R上是增 . 函
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练习：判断函数 f (x)x2 2的x单调区间
y
单调递减区
f(x)x22x (,
单调递增区
1
o
2x
[1,
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三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证 函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时 注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
y=f(x)
0
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f(x1)
x1
x
图1
2．减函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I
果对于定义域I内的某个区间D内的任意 自变量x1，x2 ，当x1<x2时，都有f(x1)> ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图
y y=f(x)
0
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f(x1) f(
x1
x2
图2
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个 间上的性质，是函数的局部性质；
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四、作业布置 书面作业：课本P39 A组：第2题 2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上
增函数.
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例2 物理学中的玻意定律 p k
V
(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体
小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.
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二、新课教学 （一）函数单调性定义
是减函数.
y
f (x)
-2
-5
1
3
x 5
图6
高中数学
[例1证 ] 明函 f(x数 )2x1在 （， ）上是增
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用定义证明函数单调性的步骤是：
（1）取值
即取 x 1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x
（2）作差变形
即求 f(x1)-f(x2) ，通过因式分解、配方
理化等方法
（3）定号
即根据给定的区间和
般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调
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例2.证明函f数 (x)2x1在区间 （， ）上是增函数
证明：设 x 1,x2是区 (, 间 ) 内任 两个实数x， 1 x且 2。（取值） f(x1)f(x2)(2x11)(2x21) （作差） 2(x1x2)
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y
y x2
f (x1)
O x1
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y
y x2
f (x1)
O
x1
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y
y x2
f (x1)
O
x1
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函数单调性的概念：
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
果对于定义域I内的某个区间D内的任意 个自变量x1，x2，当x1<x2时，都 f数(x,1如)<图f(x12.)，那么就说f(x)在区间y D上是增
------函数的单调性
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一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反
应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
1 -1
-1
1
x
-1
-1
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知识探究（一）
考察下列两个函数: f(x)f(x)20) （1） f (x) = x ； (2)f (x) = x2
y
y
5
o
x
-5 o
x 1x 2, x 1x 20 f(x 1)f(x2)0 （
即 f(x1)f(x2)
则函 f(x )2 数 x 1 在( 区 , 间 ) 是增函数。 （下结论）
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练2.习 证明f(函 x)3 数 x2在 R 上
证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋ ＝3（x1－x2） 由x1＜x2，得 x1－x2＜0
f(x1)-f(x2) 的符号
x 2 - x 1 的符号的确
（4）判断
根据单调性的定义得结论
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练2.习 证明f(函 x)3 数 x2在 R 上
证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋ ＝3（x1－x2） 由x1＜x2，得 x1－x2＜0
1．增函数 一般地，设函数y=f (x)的定义域为I，如果对于定
内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2 ，当x 时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是
（increasing function）．
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3．证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性
例3.函数 f(x) 1在(0, )上是增函 x
5x
-5
思考1:说说随着X的增大，图像从左到右的升
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y
y x2
f (x1)
x1 O
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y
y x2
f (x1)
x1 O
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y
y x2
f (x1)
x1 O
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y
y x2
f (x1)
x 1O
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y
y x2
f (x1)
Ox 1
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y
y x2
f (x1)
O x1
f（x1）－f（x2）＜0 f（x1）＜ f（x2）
函f数 (x)3x2在 R上是增 . 函
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探究：P30 画出反比例函数 y 1 的图象． ①这个函数的定义域是什么？ x
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论
思考3：反比例函数 y k (k 0) 的单调性 x
单调区间：
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2．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增 或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一
具有（严格的）单调性，区间D叫做y=
单调区间。
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（二）典型例题
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函
y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调
以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函