2021年全国中考数学真题分项汇编-专题24圆的有关性质(共54题)(解析版)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）
专题24圆的有关性质（共54题）
一、单选题
1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（ ）
A ．48︒
B ．24︒
C ．22︒
D ．21︒
【答案】D
【分析】
先证明,AB CD =再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】 解： 点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒， ,AB CD ∴=
114221,22
CED AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 故选：.D
【点睛】
本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．
2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A ．两人说的都对
B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C ．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】
根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交
AB 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16
海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．
A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分
【答案】A
【分析】
首先过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．
【详解】
解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，
⊙AC=1
2
AB=
1
2
×16=8（厘米），
在Rt⊙AOC中，6
OC===（厘米），
⊙CD=OC+OD=16（厘米），
⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
⊙16÷16=1（厘米/分）．
⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．
故选：A．
【点睛】
此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．
4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB⊙CAB＝30°，则⊙ABC的度数为（）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】C
【分析】
连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得⊙AOB＝90°，⊙ABO＝⊙BAO＝45°，根据圆周角定理可得⊙COB＝2⊙CAB＝60°，⊙OBC＝⊙OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，
⊙OA ＝OB ＝1，AB
⊙OA 2＋OB 2＝AB 2，
⊙⊙AOB ＝90°，
又⊙OA ＝OB ，
⊙⊙ABO ＝⊙BAO ＝45°，
⊙⊙CAB ＝30°，
⊙⊙COB ＝2⊙CAB ＝60°，
又⊙OC ＝OB ，
⊙⊙OBC ＝⊙OCB ＝60°，
⊙⊙ABC ＝⊙ABO ＋⊙OBC ＝105°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）
A ．20︒
B ．30
C ．40︒
D ．50︒
【答案】B
【分析】 根据画图过程，得到OD =OC ，由等边对等角与三角形内角和定理得到⊙ODC =⊙OCD =70︒，同理得到
⊙DOE =⊙DEO =40⊙，由⊙OCD 为⊙DCE 的外角，得到结果．
【详解】
解：⊙以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，
⊙OD =OC ，
⊙⊙ODC =⊙OCD ，
⊙⊙AOB =40⊙，
⊙⊙ODC =⊙OCD =118040702
⨯︒-︒=︒， ⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，
⊙DO =DE ，
⊙⊙DOE =⊙DEO =40⊙，
⊙⊙OCD 为⊙DCE 的外角，
⊙⊙OCD =⊙DEC +⊙CDE ，
⊙70⊙=40⊙+⊙CDE ，
⊙⊙CDE =30⊙，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）
A ．30
B ．35︒
C ．45︒
D ．60︒
【答案】A
【分析】 先根据圆内接四边形的性质可得60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理可得90BAE ∠=︒，然后根据角的和差即
可得．
【详解】 解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，
180BCD BAD ∴∠+∠=︒，
2BCD BAD ∠=∠，
1180603
BAD =⨯︒∴∠=︒， BE 是O 的直径，
90BAE ∴∠=︒，
906030DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦
CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（ ）
A ．18°
B ．21°
C ．22.5°
D ．30°
【答案】C
【分析】
根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．
【详解】
解：⊙AB 为O 的直径，
⊙90ACB AFB ∠=∠=︒，
⊙3BC AC =，
⊙=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，
⊙点H 是AG 的中点，
⊙CE AH =，
⊙CAH ACH ∠=∠，
⊙CD AB ⊥，
⊙AEC GCA ∽，
又⊙,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，
⊙AEC GCA GFB ∽∽，
⊙90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，
⊙ABE ABC ∠=∠，
⊙AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，
⊙22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，
⊙=22.5CBF ∠︒，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．
8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD ∠的度数为（ ）
A ．15︒
B ．22.5︒
C ．30
D ．45︒
【答案】B
【分析】 连接OD ，根据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．
解：连接OD ，
⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，
⊙CD =2DE ，
⊙2CD OE =，
⊙DE =OE ，
⊙ODE 是等腰直角三角形，即⊙BOD =45°，
⊙BCD ∠=
12
⊙BOD =22.5°， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．
9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A ．6π-
B ．6π-
C ．12π-
D ．12π-
【答案】D
【分析】 作OC ⊙AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊙A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．
解：作OC ⊙AB 于C ，如图，
则AC =BC ，
⊙OA =OB ，
⊙⊙A =⊙B =12
（180°-⊙AOB ）=30°， 在Rt ⊙AOC 中，OC =
12OA =9，
AC ，
⊙AB =2AC =
又⊙12018180
AB π⨯⨯==12π，
⊙走便民路比走观赏路少走12π-米，
故选D ．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）
A ．70°
B ．90°
C ．40°
D ．60°
【答案】A
直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．
【详解】
⊙AB 是⊙O 的直径，
⊙⊙ACB =90°，
⊙在Rt ⊙ABC 中，⊙B =90°-⊙A =70°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．
11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．tan OE m α=⋅
B ．2sin CD m α=⋅
C ．cos AE m α=⋅
D ．2sin COD S m α=⋅
【答案】B
【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
【详解】
解：⊙AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊙12
DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊙tan =DE OE
α ⊙=tan 2tan DE CD OE αα
=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE OD α=
⊙sin DE OD α=
⊙22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE OD
α= ⊙cos cos OE OD m αα==
⊙AO DO m ==
⊙cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；
⊙2sin CD m α=，cos OE m α= ⊙2112sin cos sin cos 22
COD S CD OE m m m αααα∆=
⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．48°
C ．45°
D ．36°
【答案】B
【分析】 连接AD ，由切线性质可得⊙ADB =⊙ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得⊙BAD =60°，易求得⊙ADE =72°，由AD=AE 可求得⊙DAE =36°，则⊙GAC =96°，根据圆周角定理即可求得⊙GFE 的度数．
【详解】
解：连接AD ，则AD =AG =3，
⊙BC 与圆A 相切于点D ，
⊙⊙ADB =⊙ADC =90°，
在Rt⊙ADB中，AB=6，则cos⊙BAD=AD
AB
=
1
2
，
⊙⊙BAD=60°，
⊙⊙CDE=18°，
⊙⊙ADE=90°﹣18°=72°，
⊙AD=AE，
⊙⊙ADE=⊙AED=72°，
⊙⊙DAE=180°﹣2×72°=36°，⊙⊙GAC=36°+60°=96°，
⊙⊙GFE=1
2
⊙GAC=48°，
故选：B．
【点睛】
本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得⊙BAD=60°是解答的关键．
13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则P
∠的度数为（）
A．30B．45︒C．60︒D．90︒
【答案】B
【分析】
连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．
【详解】
解：连接OB ，OC ，如图，
⊙正方形ABCD 内接于O ，
⊙90BOC ∠=° ⊙11904522
BPC BOC ∠=
∠=⨯︒=︒ 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm 【答案】B
【分析】
根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．
【详解】
解：如图所示，CD ⊙AB 于点P ．
根据题意，得
AB =10cm ，CD =6cm ．
⊙OC =5，CP =3
⊙CD ⊙AB ，
⊙CP =12
CD =3cm ．
根据勾股定理，得OP ．
故选B ．
【点睛】
此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，
5OB =，则CD 的长度是（ ）
A ．9.6
B ．
C ．
D ．19
【答案】A
【分析】 先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可
【详解】
解：连接OC
⊙AB ⊙CD , OE ⊙AC
⊙ AE =EC ，CF =FD
⊙OE =3，OB =5
⊙OB =OC =OA =5
⊙在Rt ⊙OAE 中
4AE ===
⊙AE =EC =4
设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-
22228(5)5x x -+=-
x =1.4
在Rt ⊙OFC 中， 4.8FC ==
⊙29.6CD FC ==
故选：A
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键
16．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）
A ．110︒
B ．120︒
C ．125︒
D ．130︒
【答案】C
【分析】
由切线的性质得出⊙OAP =⊙OBP =90°，利用四边形内角和可求⊙AOB =110°，再利用圆周角定理可求⊙ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求⊙ACB ．
【详解】
解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，
⊙AP 、BP 是切线，
⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，
⊙⊙AOB =360°-90°-90°-70°=110°，
⊙⊙ADB =55°，
又⊙圆内接四边形的对角互补，
⊙⊙ACB =180°-⊙ADB =180°-55°=125°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出⊙AOB ．
17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）
A ．3
B ．
C
D 【答案】D
【分析】 由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12
AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P
是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．
【详解】
解：222PA PC AC +=
∴90APC ∠=︒
取AC 中点O ，并以O 为圆心，12
AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短
AO PO CO ∴== 11
322
CO AC BC ==⨯==
BO ∴=
BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点
∴在Rt BCO ∆中，12
CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形
∴60ACP ∠=︒ ∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=
12APC S AP CP ∆∴=⨯==
【点睛】
本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．
18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，
点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）
A B ．2 C D ．4 【答案】A
【分析】
连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊙DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．
【详解】
解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB
⊙在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，
⊙AG =DG =EG
又⊙AG =FG
⊙点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径
⊙⊙DFE =90°
⊙在Rt ⊙ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，
⊙CF =BF =12BC =，FN =FM =52 又⊙FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，90BAC ∠=︒
⊙四边形NAMF 是正方形
⊙AN =AM =FN =52
又⊙90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒
⊙NFD MFE ∠=∠
⊙⊙NFD ⊙⊙MFE
⊙ME =DN =AN -AD =
12 ⊙AE =AM +ME =3
⊙在Rt ⊙DAE 中，DE
故选：A ．
【点睛】
本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
19．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A
，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴
正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）
A ．()0,5
B ．()5,0
C ．()6,0
D ．()0,6
【答案】D
【分析】 先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可
【详解】
解：由题意可知：AC =AB
⊙()8,0A ，()2,0C -
⊙OA =8，OC =2
⊙AC =AB =10
在Rt ⊙OAB 中，6OB ==
⊙B (0，6)
故选：D
【点睛】
本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
20．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（ ）
A B C ．2 D ．3
【答案】C
【分析】 根据圆周角定理求出⊙COB 的度数，再求出⊙OBD 的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．
【详解】
⊙ ⊙BAC =30°，
⊙⊙COB =60°，
⊙⊙ODB =90°，
⊙⊙OBD =30°，
⊙OB =4，
⊙OD =12OB =142
⨯=2． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
21．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（ ）
A ．15︒
B ．22.5︒
C ．30
D ．45︒
【答案】C
【分析】
连接OB ，由题意易得⊙BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】
解：连接OB ，如图所示：
⊙()2,0A ，()4,0D ，
⊙2,4OA OB OE OD ====， ⊙12
OA OB =， ⊙四边形OABC 是矩形，
⊙90OAB ∠=︒，
⊙30OBA ∠=︒，
⊙9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒， ⊙1302
BED BOD ∠=
∠=︒； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，
D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）
A ．85︒
B ．75︒
C ．70︒
D ．65︒
【答案】D
【分析】
先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．
【详解】
解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，
⊙⊙ACB =90°，
⊙⊙ABC =25°，
⊙⊙BAC =90°-25°=65°，
⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；
⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；
⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；
⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．
结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；
结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．
对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（ ）
A ．⊙和⊙都对
B ．⊙和⊙都不对
C．⊙不对⊙对D．⊙对⊙不对
【答案】D
【分析】
⊙、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；⊙、在确定点P的过程中，看⊙MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：⊙、如图所示．
⊙MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
⊙MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
⊙OM=ON，OE=OF．
⊙四边形MENF是平行四边形．
⊙线段MN是⊙O的直径，
⊙⊙MEN=90°．
⊙平行四边形MENF是矩形．
⊙结论⊙正确；
⊙、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
⊙AP=AB，
⊙AB AP
=．
⊙MN⊙AB，EF⊙AP，
⊙
11
22
AE AP AN AB ==
，．
⊙AE AN
=．
⊙
1
===20
2
AOE AON AOB
∠∠∠．
⊙40EON =∠．
⊙=40MOF EON =∠∠．
⊙扇形OFM 与扇形OAB 的半径、圆心角度数都分别相等，
⊙OFM OAB S S =扇形扇形．
如图3，当点P 在直线MN 右侧且BP =AB 时，
同理可证：FOM AOB S S =扇形扇形．
⊙结论⊙错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（ ）
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
【答案】A
【分析】 先根据垂径定理可得4=AD ，再利用勾股定理可得5OE OA ==，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】
解：,8OE AB AB ⊥=，
142AD AB ∴=
=， 3OD =，
5OA ∴=，
5OE ∴=，
OE AB ⊥，
90A ADO BC =︒∠∴∠=，
//OE FC ∴，
又OA OC =，
OE ∴是ACF 的中位线，
210FC OE ∴==，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）
A ．25︒
B ．30
C ．35︒
D ．40︒
【答案】B
【分析】
首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．
【详解】
解：⊙30BAC ∠=︒
⊙⊙BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，
⊙90AOC ∠=︒，
906030AOB AOC BOC ， 故选：B ．
【点睛】
考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．
26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）
A ．27︒
B ．108︒
C ．116︒
D ．128︒
【答案】B
【分析】 直接利用圆周角定理即可得．
【详解】
解：54BAC ∠=︒，
∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）
A ．21.922.3α︒<<︒
B ．22.322.7α︒<<︒
C ．22.723.1α︒<<︒
D ．23.123.5α︒<<︒
【答案】B
【分析】
将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC DC DE EB ===，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⊙B 的度数．
【详解】
解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．
⊙⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⊙ABC ，
⊙AC CD =．
同理：DE CD =．
又⊙F 是劣弧BD 的中点，
⊙DE BE =．
⊙AC DC DE EB ===．
⊙弧AC 的度数=180°÷4=45°．
⊙⊙B =12
×45°=22.5°． ⊙α所在的范围是22.322.7α︒<<︒；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
二、填空题
28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，
弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，
则O 的半径为_____．
【答案】5cm
【分析】
连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．
【详解】
解：连接BC ，如图所示：
⊙30ADC ∠=︒，
⊙30ABC ADC ∠=∠=︒，
⊙AB 是直径，
⊙90ACB ∠=︒，
⊙5cm AC =，
⊙210cm AB AC ==，
⊙O 的半径为5cm ；
故答案为5cm ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．
【分析】
先根据圆的半径相等及圆周角定理得出⊙ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可
【详解】
解：连接OB 、OC 、作OD ⊙AB
⊙60A ∠=︒
⊙⊙BOC =2⊙A =120°
⊙OB =OC
⊙⊙OBC =30°又75B ∠=︒
⊙⊙ABO =45°
在Rt ⊙OBD 中，OB =1
⊙BD ==2
⊙OD ⊙AB
⊙BD =AD =2
⊙AB
【点睛】
本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键
30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，
OB ，OC ，则BOD ∠=_________．
【答案】50︒
【分析】
圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．
【详解】
解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
12
A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，
OB OC =， BOC ∴为等腰三角形， 又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，
OD ∴为BOC ∠的角平分线，
50BO D ∴∠=︒，
故答案是：50︒．
【点睛】
本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．
-
【分析】
由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．
【详解】
如图： 以12
AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，
45ADB ∠=︒
90AOB ∠=︒∴
2AB =
1AN BN ==
AO ∴==112
ON OM AB ===,3BC =
OC ∴==
CO OD ∴-=
线段CD 长度的最小值为-
．
-
【点睛】
本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．
【答案】13︒
【分析】
如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：
,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：
()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．
【详解】
解：如图，连接,DC
B 是CD 的中点，
,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠
,DE DE =
,ABE ACD ∴∠=∠
,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠
90,32,ABC A ∠=︒∠=︒
()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠
45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
故答案为：13.︒
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．
33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．
【答案】5
【分析】
连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可
【详解】
解：连接OA ，
⊙C 是AB 的中点，
⊙OC AB ⊥ ⊙14cm 2
AD AB == 设O 的半径为R ，
⊙2cm CD =
⊙(2)cm OD OC CD R =-=-
在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，
解得，5R =
即O 的半径为5cm
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．
【答案】40︒
【分析】
连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数
【详解】
如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒
AD 为直径
90ABD ∴∠=︒
90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
故答案为40︒
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．
【答案】25
【分析】
连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】
解：连接OC ，
⊙OC =OB ，
⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，
⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，
⊙⊙AOC =100°+30°=130°，
⊙OC =OA ，
⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33
y x =
+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．
【答案】
【分析】
过O 作OE ⊙AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =3
，在Rt ⊙AOD 中，由勾
股定理AD =
，可证⊙OAC ⊙⊙DAO ，由相似三角形性质可求AC 即可． 【详解】 解：过O 作OE ⊙AB 于C ，
⊙AB 为弦，
⊙AC =BC =12
AB ，
⊙直线33
y x =+与O 相交于A ，B 两点，
⊙当y =0
时，
033
x +=，解得x =-2， ⊙OA =2， ⊙当x =0
时，y = ⊙OD
在Rt ⊙AOD
中，由勾股定理AD ===， ⊙⊙ACO =⊙AOD =90°，⊙CAO =⊙OAD ，
⊙⊙OAC ⊙⊙DAO ，
AC AO AO AD =
即2AO AC AD === ⊙AB =2AC
故答案为
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
⊙该弧所在圆的半径长为___________；
⊙ABC 面积的最大值为_________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，
3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=
． ⊙线段PB 长的最小值为_______；
⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．
【答案】（1）⊙2；2；（2）见解析；（3）；⊙4 【分析】
（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到⊙BOC =60°，证明⊙OBC 是等边三角形，可得半径；
⊙过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，⊙ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；
（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
（3）⊙根据4tan 3
DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；
⊙根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在⊙ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．
【详解】
解：（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，
⊙⊙BAC =30°，
⊙⊙BOC =60°，又OB =OC ，
⊙⊙OBC 是等边三角形，
⊙OB =OC =BC =2，即半径为2；
⊙⊙⊙ABC 以BC 为底边，BC =2，
⊙当点A 到BC 的距离最大时，⊙ABC 的面积最大，
如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，
⊙BE =CE =1，DO =BO =2，
⊙OE
⊙DE 2，
⊙⊙ABC 的最大面积为)
1222⨯⨯2；
（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，
⊙点D 在圆上，
⊙⊙BDC =⊙BAC ，
⊙⊙BA′C=⊙BDC+⊙A′CD，
⊙⊙BA′C＞⊙BDC，
⊙⊙BA′C＞⊙BAC，即⊙BA′C＞30°；
（3）⊙如图，当点P在BC上，且PC=3
2
时，
⊙⊙PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，
⊙tan⊙DPC=CD
PC
=
4
3
，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，1
2
PD为半径画圆，
⊙当点P在优弧CPD上时，tan⊙DPC=4
3
，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊙BE，垂足为E，⊙点Q是PD中点，
⊙点E为PC中点，即QE=1
2
CD=1，PE=CE=
1
2
PC=
3
4
，
⊙BE=BC-CE=3-3
4
=
9
4
，
⊙BQ，
⊙PD 5
2
，
⊙圆Q的半径为155 224⨯=，
⊙BP′=BQ-P′Q，即BP；
⊙⊙AD=3，CD=2，
2
3
PCD PAD
S S
=，
则
2
3 CD
AD
=，
⊙⊙P AD中AD边上的高=⊙PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在⊙ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊙PD，垂足为F，
⊙PD平分⊙ADC，
⊙⊙ADP=⊙CDP=45°，
⊙⊙CDF为等腰直角三角形，又CD=2，
⊙CF=DF
⊙tan⊙DPC=CF
PF
=
4
3
，
⊙PF
⊙PD=DF+PF=
4
．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹． 38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．
【答案】
32 【分析】
根据同弧所对的圆周角相等可得ABC ADC ∠=∠，再利用正切的定义求解即可．
【详解】
解：⊙ABC ADC ∠=∠， ⊙3tan =tan =
2ADC ABC ∠∠， 故答案为：
32． 【点睛】
本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
39．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，
AB =C 是⊙O 上的一个动点，且60ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．。