1.3 正方形的性质与判定 练习(含答案)

1．3正方形的性质与判定正方形的性质
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等
2．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E、G分别在AB、AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为()
A．1 B．2 C．3 D．3 2
3．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________．
5．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________.
6. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．
7．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；
(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．
8．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为()
A．6 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．不能确定
9．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结
论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S
△AOB ＝S
四边形DEOF
.其中正确的有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．
11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE＝EF.
12．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，
则∠DPE＝________度．
13.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证：AE=CG；
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.
14、如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°,求∠EGC的大小．
15.正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为BD上一点,延长AE到点N,使AE=EN,连接CN、CE．
（1）求证：AE=CE．
（2）求证：△CAN为直角三角形．
（3）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．
1. A
2. C
3. B
4. 45°
5. 7
6. 5
7. (1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．
(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，
则x2＋x2＝82.解得x＝42，∴BE＝2x＝82(cm)．
8. B
9. B
10. 7 2
11.
如图，取AB的中点H，连接EH，
∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠AEB ＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E 是BC 的中点，点H 是AB 的中点，∴BH ＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE ＝45°，∵CF 是∠DCG 的角平分线，
∴∠FCG ＝45°，∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，
在△AHE 和△ECF 中，⎩⎨⎧
∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，
∴△AHE ≌△ECF(ASA )，∴AE ＝EF.
12. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP ＝45°，
又∵CP ＝CP ，∴△BCP ≌△DCP(SAS )．
(2)证明：由(1)知，△BCP ≌△DCP ，∴∠CBP ＝∠CDP ，∵PE ＝PB ，∴∠CBP ＝∠E ，∴∠CDP ＝∠E ，
∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴180°－∠1－∠CDP ＝180°－∠2－∠E ，即∠DPE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DPE ＝∠ABC.
(3) 58°
13、（1）略；（2）AE ⊥CG ；
14、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC ，
∵BE ⊥BF ，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，
在△AEB 和△CFB 中，∴△AEB ≌△CFB （SAS ），∴AE=CF ．
（2）解：∵BE ⊥BF ，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF ，∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．
15、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB ，
在△ABE 和∠CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ；
（2）证明：∵AE=CE ，AE=EN ，∴∠EAC=∠ECA ，CE=EN ，∴∠ECN=∠N ，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，
∴△CAN 为直角三角形；
（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，
∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2
， ∵OA=OC ，AE=EN ，∴OE=CN=
，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．。