高考数学复习点拨 求直线方程易错点例析

求直线方程易错点例析
一、因概念不清而致错
例1 求过定点(21)P ，且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程． 误：设所求的直线方程为
1x y a b
+=． 直线过点(21)P ，， 211a b
∴+=，即2a b ab +=， ① 又由，可得142
ab =，即8ab =， ② 由①，②可得28a b ab ab +=⎧⎨=⎩，，
解得42a b ==，．
故所求直线方程为240x y +-=．
析：此题由于对截距的概念不清，混淆了“距离〞与“截距〞的概念，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作为距离使用而导致错误．事实上，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12a b 而不是12ab ．故应有142
a b =③，由①，③易得所求直线方程为24x y +=
，或1)1)40x y --=
，或1)1)40x y -+=．
二、因无视零截距而致错
例2 求过定点(23)P ，，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
误：设直线在两坐标轴上的截距为a ，故所求的直线方程为
1x y a a
+=，即x y a +=． 将点(23)P ，代入，得5a =．
故所求直线方程为5x y +=． 析：此题由于无视了“零截距〞而导致错误．事实上，当两截距均为零时也满足条件，所以应增加截距均为零的情况．当直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求的直线方程为32
y x =，即320x y -=．所以，所求直线方程为320x y -=或5x y +=． 事实上，当题中出现“截距相等〞、“截距的绝对值相等〞、“截距互为相反数〞，“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍〔0m >〕〞等条件时，假设采用截距式求直线方程，都要考虑“零截距〞的情况．当然此题可设直线方程为3(2)(0)y k x k -=-≠，分别令00x y ==，解得直线在两坐标轴上的截距，由其相等解得k ，从而得到直线方程．
三、因无视直线的斜率不存在而致错
例3 求过点(42)P -，且与x 轴的交点到(10)，的距离为5的直线方程．
误：设直线的斜率为k ，那么其方程为2(4)y k x -=+．
那么其与x 轴的交点为240k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
． 2415k ∴--
-=，解得15k =-． 故所求直线方程为560x y +-=．
析：此题由于只注意了直线的斜率存在的情况而无视了直线的斜率不存在的情况，即过点P 且垂直于x 轴的直线而导致错误．其实直线4x =-也适合题意．故所求直线方程为560x y +-=或4x =-．
四、因无视分类讨论而致错
例4 直线l 经过点(12)P ，，且点(23)(45)A B -，，，到l 的距离相等，求直线l 的方程． 误：因为A B ，两点到直线l 的距离相等，所以AB l ∥． 53442
AB k --==--， ∴由点斜式可得所求直线方程为24(1)y x -=--，即460x y +-=．
析：由于两点A
B ，到直线l 的距离相等，故应有点A B ，在直线的同侧或异侧两种情况，而此题只考虑了A
B ，两点在直线的同侧，无视了两点在直线的异侧的情况，从而导致错误．因此，应有当A B ，两点在直线的异侧时，直线l 经过AB 的中点(31)M -，．所以由两
点式得所求直线方程为211231
y x --=---，即3270x y +-=． 故所求直线方程为460x y +-=或3270x y +-=．
五、因无视题目的隐含条件而致错
例5 如果直线2
(2)(32)2m x m m y m ++++=+与y 轴平行，求m 的值．
误：直线与y 轴平行， 2320m m ∴++=．
解得1m =-或2m =-．
所以当1m =-或2m =-时直线与y 轴平行．
析：由于方程0Ax By C ++=表示直线，本身隐含着22
0A B +≠这一条件．当2m =-时，直线方程2
(2)(32)2m x m m y m ++++=+为000x y +=··，它不表示直线，应舍去．
m=-时直线与y轴平行．故当1。