山东省青岛第五十八中学-高二上学期期末模块考试数学试卷(含答案)

青岛第五十八中学 高二上学期期末模块考试
数学试卷
2024.1
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题，共60分：第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。

2.第1卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号(A 、B 、C 、D)涂在答题卡上。

第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔(0.5mm)写在答题纸上。

第Ⅰ卷
一. 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.双曲线C:x 24−y 2
3
=1与双曲线D:x 24−y 2
3
=−1具有相同的( )
A.焦点
B.实轴长
C.离心率
D.渐近线2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=5,S 5=2,则S 7= (
)A.7
B.-7
C.-10
D.10
3.已知函数f (x )=lnx−ax−2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为( )
A. [1
2,1]
B. (1
2,1)
C. (13,1
2)
D. (12,2
3)
4.已知数列{a n }满足a n =n
n +1，则a 1+a 2
22+a 3
32+…+a 2020
20202+a 2021
20212= ( )
A. 2020
2021
B. 2018
2019
C. 2019
2020
D. 2021
2022
5.已知圆C :(x−1)2+y 2=16,F(−1,0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为(
)
A. x
24
+y 2
3=1 B. x
2
4
+y 2=1 C. x
24
−y 2
3=1 D. x 25+y
2
4
=1
6.已知函数f(x)=x,x≤0
<x<4π
,则y=f(x)(x∈R)的图象上关于y轴对称的点共有( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
7.已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长，若直线4x+3y−20=0与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为(
A. 5
4B. 4
3
C. 5
3
D. 7
4
8.函数f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且x>1时x f′(x)ln x>f(x )，f(e2)=2，则不等式f(e x)<x的解集是( )
A. (−∞,2)
B. (2,+∞)
C. (1,2)
D. (0,2)
二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.若数列{a n}为等比数列, S n为数列{a n}的前n项和, 则下列数列一定成等比数列的有( )
A. 数列{2a n}
B. 数列{a n+1+a n}
C. S n,S2n−S n,S3n−S2n
D. 数列{a n∙a n+1}
10. 若曲线C:x2
a +y2
b
=1, 且a,b分别是1与9的等差中项与等比中项, 则下列描述正确的是
( )
A. 曲线C可以表示焦点在x轴的椭圆
B. 曲线C可以表示焦距是42的双曲线
C. 曲线C可以表示离心率是2
5
的椭圆
D. 曲线C可以表示渐近线方程是y=±3
5
x的双曲线
11. 已知函数f(x)=(x+1)ln x, 则( )
A. f(x)存在唯一的极值点
B. f(x)存在唯一的零点
C. 直线2x−y−2=0与f(x)的图像相切
D. 若f(ax)≥f(ln x), 则a≥1
e
12. 已知a>1, 函数f(x)=xa x−1,g(x)=x log a x−1, 若f(b)=g(c)=0(b,c>0), 则下列成立的是（）
A. b<1,c>1
B. bc=1
C. b+c=2
D. b+2c>3
第Ⅱ卷
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭
圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图
2）。

则椭圆C :x 2
5
+
y 2
4
=1的蒙日圆的半径为___________
14. 若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +1的切线, 也是曲线y =ln(x +2)的切线, 则 b =____________
15. 设数列 {b n } 满足 b 121+b 222+⋯+b n−12n−1+b
n
2n
=2n−1, 则 {b n } 的通项公式______________16. 已知双曲线C :x 2a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右顶点分别为A 、B ,E 是圆O :x 2+y 2=a 2上一点, 点A 关于E 的对称点D 恰好在双曲线上, 且|OD |=7|OA |, 则双曲线C 的离心率为___________四.解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题10分)
已知等差数列 {a n } 和等比数列 {b n } 满足a 1=1,b 3=8,a n =log 2b n , n ∈N ∗.(1) 求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2) 设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }, 记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 50.
18.(本小题12分)
已知点F(−1,0)为椭圆C :x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)的左焦点, 在C 上.
(1)求C 的方程;
(2) 已知两点A (m ,0)(|m |>a )与B (n ,0)(|n |<a ), 过点A 的直线l 与C 交于P ,Q 两点, 且 ∠PBA +∠QBA =π, 试判断 mn 是否为定值? 若是, 求出该值；若不是, 说明理由.
19.(本小题12分)
已知函数f (x )=ae 2x +(a−2)e x −x (1) 讨论f (x )的单调性;(2) 证明: 当a ≥1,f (x )≥0.
20.(本小题12分)
已知数列{a n}满足: a1=1,a n+1=n +n,n=2k+1
−2n,n=2k
,k∈N.
(1)设b n=a2n−2,n∈N∗, 求证数列{b n}是等比数列, 并求其通项公式；
(2)求数列{a n}前20项中所有奇数项的和.
21.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=4x,F为C的焦点, 直线l与C交于不同的两点A、B, 且点A位于第一象限.
(1)若直线l经过C的焦点F，且|AB|=6，求直线l的方程；
(2) 若直线l经过点E(2,0),O为坐标原点, 设△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S2, 求S1+S2的最小值.
22.(本小题12分)
设函数f(x)=x ln a,g(x)=a ln x
(1) a>1, 对∀x∈[4,+∞),f(x)≥g(x)恒成立, 求a的取值范围;
(2) 设G(x)=g(x+2)+1
2
x2−2x, 若方程G′(x)=0的两根为x1,x2, 且x1<x2，求证: x2+G(x2) >x1−G(−x1)
青岛第五十八中学 高二上学期期末模块考试
数学答案
一. 单项选择题
DBBD ADCD 二. 多项选择题9. AD 10. AB 11. BCD
12. ABD
三. 填空题13. 3
14. ln 2
15. b n =2,n =1
2n +1,n⩾2
16. 2
四. 解答题
17. 解: (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d , 等比数列 {b n } 的公比为 q ,由 a 1=1,b 3=8,a n =log 2 b n , 可得 b 1=2,a 3=3, 则 d =1,q =2,所以 a n =n ,b n =2n ,n ∈N ∗;(2) 由 (1) 知 b n =2n =a 2n
即 b n 是数列 {a n } 中的第 2n 项,
设数列 {a n } 的前 n 项和为 P n , 数列 {b n } 的前 n 项和为 Q n ,因为 b 5=a 32,b 6=a 64,
所以数列 {c n } 的前 50 项是由数列 {a n } 的前 55 项去掉数列 {b n } 的前 5 项后构成的厉以 S 50=P 55−Q 5=
(1+55)×552
−2×(1−25)
1−2
=1478.
18. (1) 由已知可得 c =1, 且 C 的另一焦点坐标为 (1,0), 设为 F 1,
所以有 2a =|MF |+|MF |=(2+1)2+64+(2−1)2+6
4=4,
所以 a =2, 所以 b 2=a 2−c 2=3, 所以 C 的方程为
x 24
+
y 23
=1.
(2)
设 l :x =ty +m , 代入 C 整理可得: (4+3t 2)y 2+6mty +3m 2−12=0,设 P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则 y 1+y 2=−6mt
3t 2+4 ①, y 1y 2=
3m 2−12
3t 2+4
②,由 ∠PBA +∠QBA =π, 可得 k BP +k BQ =0⇒y 1
x 1−n +y 2
x 2−n =0 ⇒y 1(y 2+m−n )+y 2(ty 1+m−n )=0⇒2ty 1v 2+(m−n )(y 1+y 2)=0 ③,由①②③可得:
2t (3m 2−12)3t 2+4
−6mt (m−n )
3t 2+4
=0, ⇒t(−4+mn )=0 恒成立, 所以 mn =4, 为定值.
19.解: (1) f (x ) 的定义域为 (−∞,+∞),f ′(x )=2ae 2x +(a−2)e x −1=(ae x −1)(2e x +1)f ′(x )=2ae 2x +(a−2)e x −1=(ae x −1)(2e x +1) ………………………………………...1 分(1) 若 a ≤0, 则 f ′(x )<0
所以 f (x ) 在 (−∞,+∞) 单.调递减. …………………………………………………………….3 分
(2) 若 a >0, 由 f ′(x )=0 得 x =−ln a 当 x ∈(−∞,−ln a ) 时, f ′(x )<0当 x ∈(−ln a ,+∞) 时, f ′(x )>0
所以 f (x ) 在 (−∞,−ln a ) 单调递减, 在 (−ln a ,+∞) 单调递增……………………………6 分(2) 当 a ≥1 时, g (a )=a (e 2x +e x )−2e x −x ≥e 2x −e x −x . ……………………………9 分设 ℎ(x )=e 2x −e x −x ,ℎ′(x )=2e 2x −e x −1=(2e x +1)(e x −1)由 ℎ′(x )=0 得 x =0
当 x ∈(−∞,0) 时, ℎ′(x )<0当 x ∈(0,+∞) 时, ℎ′(x )>0
所以 ℎ(x ) 在 (−∞,0) 单调递减, 在 (0,+∞) 单调递增…………………………………….11 分所以 ℎ(x )min =ℎ(0)=0
所以, 当 a ≥1,f (x )≥0…………………………………………………………………………12 分20. (1) 令 n =1, 得 a 2=1
2a 1+1=3
2;
根括题意, 得 b 1=a 2−2=−1
2, a 2n +2=1
2a 2n +1+(2n +1)=1
2(a 2n −2×2n )+2n +1=1
2a 2n +1,所以
b n +1b n
=
a 2n +2−2a 2n −2
=1
2
a 2n +1−2a 2n −2=1
2
(a 2n −2)a 2n −2
=1
2,
所以数列 {b n } 是 b 1=
−12,q
=
12
的等比数列, 故 b n =
−1
2
×
=;
(2) 由（2）可得 a 2n =2+b n , 所以数列 {a n } 前 20 项中所有奇数项的和 S =a 1+a 3+a 5+…+a 19
=a 1+(a 2−2×2)+(a 4−2×4)+⋯+(a 18−2×18)=1+(a 2+a 4+⋯+a 18)−2(2+4⋯+18) =2+b 2+⋯+2+b 9)−9×(2+18)=1+18+(b 1+b 2+⋯+b 9)−180
=1−2=−162=1512−162.
21. (1) 解: 依题意知, F (1,0).
若直线 l 与 x 轴重合, 此时, 直线 l 与抛物线 C 只有一个交点, 不合乎题意,设直线 l 的方程为 x =my +1, 设点 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),联立 x =my +1y 2=4x , 可得 y 2−4my−4=0, 则 Δ=16m 2+16>0,
由韦达定理可得 y 1+y 2=4m ，
所以, |AB |=x 1+x 2+2=my 1+1+my 2+1+2=m (y 1+y 2)+4=4m 2+4=6,解得 m =±
22
, 所以, 直线 l 的方程为 x =
2
2
y +1 或 x =−2
2
y +1,
即 y =2x−2 或 y =−2x +2.
(2) 解: 若直线 l 与 x 轴重合, 此时, 直线 l 与抛物线 C 只有一个交点, 不合乎题意,设直线 l 的方程为 x =ty +2, 设点 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),联立 x =ty +2
y 2=4x , 可得 y 2−4ty−8=0, 则 Δ=16t 2+32>0,由韦达定理可得 y 1+y 2=4t , 则 y 1y 2=−8, 即 y 2=−8
y 1.不妨设 y 1>0, 则 y 2<0 ，
所以, △AOB 的面积为 S 1=1
2|OE |⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2,△BOF 的面积为 S 2=12|OF |⋅|y 2|=−1
2y 2,
所以, S 1+S 2=y 1−y 2−12y 2=y 1−3
2y 2=y 1+12y 1≥2y 1⋅12
y 1
=43,
当且仅当 y 1=12
y 1(y 1>0) 时, 即 y 1=23 时取等号.所以 S 1+S 2 的最小值为 43.
22. (1) 由 f (x )≥g (x ) 得 ln a
a
≥
ln x
x
,…………………………………………………1分设 ℎ(x )=
ln x
x
(x ≥4), 则 ℎ′(x )=
1−ln x
x 2
……………………………………………...2分
令 ℎ′(x )=0, 得 x =e , 故 ℎ(x ) 在 [4,+∞) 上单调递减,所以 ℎ(x )max =ℎ(4)=
ln 4
4
,…………………………………………………………….3分
ln a
a
≥
ln x
x
等价于 ln a
a
≥ℎ(x )max =
ln 4
4
, 即 ℎ(a )≥H (4)
又因为 ln 4
4=
ln 2
2
,y =ln x
x
在 (1,e ) 上单调递增, 在 (e ,+∞) 上单调递减 . …….4 分
所以
ln 2
2
≤
ln a a
≤
ln 4
4
, 即 2≤a ≤4
故 a 的取值范围为 [2,4]………………………………………………………………5 分
(2) 因为 g (x )=a ln x , 即 g (x +2)=a ln (x +2)
所以 G (x )=g (x +2)+1
2x 2−2x =a ln (x +2)+1
2x 2−2x , 其定义域为 (−2,+∞),则 G ′(x )=a
x +2+x−2=
x 2+a−4
x +2,x >−2,…………………………………………….6分
因为方程 G ′(x )=0 有两根为 x 1,x 2, 即 x 2+a−4=0 的两根为 x 1,x 2, 且 −2<x 1<x 2,
所以, 0<4−a <4, 即 0<a <4, 且 x 1+x 2=0,x 1x 2=a−4, ……………….7 分所以 x 2=−x 1,a =x 1x 2+4, 且 x 2∈(0,2),
所以 G (−x 1)=G (x 2),a =x 1x 2+4=4−x 22, ……………………………………….8分
要证 x 2+G (x 2)>x 1−G (−x 1), 只需证 G (−x 1)+G (x 2)>x 1−x 2, 即证 G (x 2)+x 2>0,即证 a ln (x 2+2)
+1
2x 22−x 2>0, 即证 (2−x 2)(x 2+2)ln (x 2+2)−1
2
x 2>0, …….9分
因为x2∈(0,2), 只需证(x2+2)ln (x2+2)−1
2
x2>0, ……………………………10分
令t(x)=(x+2)ln (x+2)−1
2
x,x∈(0,2),
则t′(x)=ln (x+2)+1
2>ln 2+1
2
>0, ……………………………………………..11 分
所以, t(x)在(0,2)上单调递增, 且t(0)=2ln 2>0,
故t(x)>t(0)>0, 所以x2+G(x2)>x1−G(−x1)………………………………12 分。