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高中数学选修4-5 范永凯精品数学习题

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不等式选讲(选修4-5)典型题及答案

不等式选讲(选修4-5)典型题及答案

不等式选讲 选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以， 解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤． 【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。

2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5训练：第二章

2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5训练：第二章

一、选择题1.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 只能取数，不能为代数式.③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.0个解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a ，b ，c ，d 是实数，没有其取值限制.答案 A2.函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12的最小值是( ) A.20B.25C.27D.18解析 y ＝2x ＋91－2x ＝[2x ＋(1－2x )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋91－2x ＝[(2x )2＋(1－2x )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫91－2x 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·2x ＋1－2x 91－2x 2＝(2＋3)2＝25. 答案 B 3.设a 、b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A.P >QB.P ≥QC.P <QD.P ≤Q解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2， ∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b .又∵a ≠b ，而等号成立的条件是a b ·a ＝b a·b ， 即a ＝b ，∴a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q .答案 A二、填空题4.设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值是________.解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋ (c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 答案 2 5.若a 2＋b 2＋c 2＝2，x 2＋y 2＋z 2＝4，则ax ＋by ＋cz 的取值范围是__________. 解析 ∵(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2，∴(ax ＋by ＋cz )2≤8，∴－22≤ax ＋by ＋cz ≤2 2.答案 [－22，22]6.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________. 解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案 5三、解答题7.若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点.解 由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1，∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号.由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝16. ∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16. 8.设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值.解 ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4. ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， ∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b 的最小值为2.9.已知a 2＋b 2＝1，a ，b ∈R ，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1. 证明 ∵(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ) ＝1·1＝1，∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.。

高中数学选修4-4 范永凯精品数学习题

高中数学选修4-4 范永凯精品数学习题
【答案】C
【解析】解：点M的直角坐标是 ，利用极坐标与直角坐标的转换公式可知
6．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 和曲线 的公共点有
A． 个B． 个C． 个D．无数个
【答案】B
【解析】解：因为直线 的参数方程为 （ 为参数），则化为普通方程即为y=4+x,而，曲线 的极坐标方程为
【答案】D
【解析】
试题分析：化参数方程为普通方程，求出斜率，即可求得倾斜角．解：化参数方程为普通方程，两方程相加可得x+y=2，则直线的斜率为-1，故倾斜角为 故选D
考点：直线的斜率与倾斜角
高中数学选修4-4
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．若点P的极坐标为(2， )，则该点的直角坐标为 ( )
A. ( ， 1) B. (1， ) C. (1，- ) D. ( ，-1)
【答案】B
【解析】解：因为点P的极坐标为(2， )，则该点的直角坐标为(1， )，选A
利用直线与圆的位置关系判定圆心到直线的距离为 等于圆的半径，说明直线与圆相切，有一个公共点，选B
7．直线 (t为参数)的倾斜角为（ ）
A.20°B.70°C.110°D.160°
【答案】C
【解析】由已知得 ，代入 得：
倾斜角为110°
8．直线 （ 为参数）的倾斜角的大小为（ ）
A． B. C. D.
A. B. C. D.【答 Nhomakorabea】C【解析】
试题分析：圆 化为 ，方程 （ ）化为 ，由 得， ，即交点为（1，1），化为极坐标为 。故选C。

高中数学选修4-5同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)

高中数学选修4-5同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)

二维形式的柯西不等式（全部）1、已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（）A． B． C． D．2、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．23、已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则的最小值为( )A．1 B．3 C．6 D．94、若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )A．3 B．1 C． D．5、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为( )A．1 B．6 C．11 D．6、n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A．1 B．n C．n2 D．7、设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( )A．1 B． C．3 D．98、函数的最大值是( )A． B． C． D．9、设实数满足关系：，，则实数的最大值为（）A．2 B． C．3 D．10、函数的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．611、已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则的值为（）A．2 B．1 C． D．12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C． D．13、设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+ B．2 C．3 D．14、用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A． B．3 C．4 D．515、对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．416、已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A．1 B．4 C．8 D．917、已知a+b=1，则以下成立的是（）A．a2+b2＞1 B．a2+b2=1 C．a2+b2＜1 D．a2b2=118、二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）19、已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（）A．3a+2b≤4 B．3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定20、（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A． B． C． D．21、（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2 C．2 D．322、（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2 C． D．123、选修4-5:不等式选讲已知.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.24、选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，满足，求证：．25、（2014•镇江二模）已知不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．26、选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.27、若函数的最小值为．（1）求实数的值；（2）若，且，证明：．28、设2x＋3y＋5z＝29，求函数的最大值.29、已知 a,b 为实数,且 a>0,b>0 ,(1)求证: ;(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.30、(1)关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；(2)设，，，且，求的取值范围．31、(1)设x＞0，求的最小值；(2)已知，求的最小值．32、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.33、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.34、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.35、函数的最大值为______.36、（1）证明：如果，，那么；（2）已知，求的最小值．37、设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．38、【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：最大值．39、（选修４－５：不等式选讲）已知均为正数，且a＋2b＋3c＝9．求证：＋＋≥．40、选修4—5：不等式证明选讲设为正实数，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的值．41、函数的最大值为______.42、[选修4-5：不等式选讲]已知，且，，求的取值范围．43、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最大值为.（1）求的值；（2）求的最小值，并求出此时的值.44、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.45、已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.（1）求整数的值；（2）已知，若，求的最大值；（3）函数，若不等式的解集为，且存在实数使成立，求实数的取值范围.46、选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．47、D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.48、选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）设为正数，且，求最大值.49、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：.50、选修4-5：不等式选讲（1）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（2）对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.51、选修4-5：不等式选讲已知函数，，且的解集为．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若均为正实数，且满足，求证：．52、已知函数，且的解集为.（1）解不等式：；（2）若均为正实数，且满足，求证：.53、（2014•陕西模拟）函数的最大值是．54、（2014•黄浦区一模）设向量=（a，b），=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式||•||恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．55、（2014•宜昌三模）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，则++的最大值为．56、（2014•祁东县一模）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，则（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．57、（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．58、（2014•陕西三模）已知a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4，cd=1，则（a2c2+b2d2）（b2c2+a2d2）的最小值为．59、函数的最小值为________60、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．61、已知向量，则__________．62、函数的最大值为__________．63、（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．参考答案1、D2、C3、D4、D5、D6、C7、B8、D9、B10、A11、C12、A13、D14、C15、A16、D17、B18、C19、B20、A21、C22、B23、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .24、（1）；（2）见解析.25、≤a≤26、(1);(2)5.27、（1）；（2）证明见解析.28、29、（1）见解析（2）30、(1)；(2).31、（1）3；（2）.32、(1) (2)3633、(1) (2)3634、（1）（2）935、36、（1）见解析；（2）.37、（1）（2）见解析38、39、见解析.40、（Ⅰ）．（Ⅱ）1.41、42、．43、（1）；（2）最小值为，.44、（1）（2）945、（1）；（2）；（3）.46、（1）（2）见解析47、详见解析.48、（1）;（2）.49、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.50、（1）（2）51、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.52、（1）；（2）证明见解析.53、10．54、k＞．55、3．56、57、．58、1659、2560、61、162、1063、k＞．【解析】1、试题分析：由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值．解：∵2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题．2、所以，正实数的最小值为4.3、，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.4、，，当且仅当时等号成立，故选D.5、，当且仅当时等号成立，的最小值，故选D.6、由柯西不等式，得，当且仅当时取等号，故选C.7、由柯西不等式得，，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选B.8、由柯西不等式可得故选D.9、解：根据柯西不等式可知：4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2，∴4(16-e2)≥(8-e)2，即64-4e2≥64-16e+e2，∴5e2-16e≤0，∴0≤e≤，本题选择B选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．10、由题意得，因为，则，当且仅当时等号成立的，所以函数的最小值为，故选A.11、试题分析：由题意可得tanθ=＞1，再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ 的值，可得tanθ=的值．解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，∴tanθ=＞1．再由，+=，可得=，化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ=3，或 tan2θ=（舍去），∴tanθ==，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题．12、设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，（），半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设椭圆和双曲线的离心率分别为∵，则由余弦定理可得，①在椭圆中，①化简为即…②，在双曲线中，①化简为即…③，由柯西不等式得故选B．【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．13、试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．14、试题分析：由柯西不等式可得，函数y=≤•，从而求得函数的最大值．解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4，当且仅当==时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C．点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题．15、试题分析：根据题意可得（k﹣）x+ky≥2，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，可得2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0，由此求得k的最小值．解：由所给的选项可得k≥1，∵（k﹣）x+ky≥2，x、y都是正实数，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，∴2≥，∴2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0．解得k≤﹣（舍去），或k≥1，故k的最小值为1，故选：A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16、试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，由此求得正数k的值．解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，即 36（1++）≥（x+y+z）2．再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，求得正数k=9，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．17、试题分析：利用柯西不等式即可得出．解：由柯西不等式，得1=a+b≤[a2+（1﹣a2）][（1﹣b2）+b2]=1，当且仅当=时，上式取等号，∴，化为a2b2=（1﹣a2）（1﹣b2），于是 a2+b2=1．故选：B．点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．18、试题分析：二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．19、试题分析：首先分析题目已知a2+b2=4，求3a+2b的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2的最大值，开平方根即可得到答案．解：已知a2+b2=4和柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）故（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52即：3a+2b≤故选B．点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题目．20、试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．21、试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，结合x+y+z=2，即可求出++的最大值．解：∵x、y、z是正数，∴（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，∵x+y+z=2，∴++≤=2，∴++的最大值是2．故选：C．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．22、试题分析：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2=[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2，∴[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2≤8，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）≤2，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为2，故选B．点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，是解题的关键．23、试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.24、试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式求得最小值，由柯西不等式证明即可.试题解析：（1）由，得，当时，，即，解得；当时，，即，即，恒成立；当时，，即，解得．综上得的解集为．（2）由，得，即．因为，所以，令向量，．由，得，即，当且仅当，即，时，取到等号．从而成立．25、试题分析：不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2恒成立，只要|a﹣2||≤（x2+2y2+3z2）min，利用柯西不等式求出x2+2y2+3z2的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，∵不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，∴|a﹣2|≤，∴≤a≤．点评：本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．26、试题分析:(1)方法1：将函数按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件.试题解析:（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．27、试题分析：（1）化简的解析式，判断的单调性，利用函数的最小值为列方程解出；（2）搭配，利用柯西不等式可得出结论.试题解析：（1）当时，最小值为，,当时，最小值为，（舍）综上所述，.（2）证明：∵,∴.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值或者证明不等式时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答28、试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件，本题采取如下方法将原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.试题解析：根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥，故 .当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即，时等号成立，此时 .29、试题分析：（1）先利用基本不等式可得，可得，再次利用基本不等式可得结论；（2）原不等式左边化为.，利用柯西不等式求解即可.试题解析：（1）证明:因为a>0,b>0,所以（2）解：[(5-2a)2+4b2+(a-b)2 ][12+12+22] ≥[(5-2a)1+2b1+(a-b)2]2 ,所以当且仅当时取等号,解得所以当时取最小值 .当时取最小值.30、试题分析：（1）利用绝对值不等式可得，，依题意即可求得的取值范围；（2）利用柯西不等式，可求得，从而可得答案.试题解析：(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，————2分且|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(4×＋×＋2×)2＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．31、试题分析：（1）利用均值不等式得其最小值；（2）构造柯西不等式得其最小值.试题解析：（1），当且仅当时取“”号．（2）由柯西不等式，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为. 32、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)33、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)34、试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值；（2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为所以由得由有解，得，且其解集为又不等式解集为，故（2）由(1)知，又是正实数，由柯西不等式得当且仅当时取等号故的最小值为935、由柯西不等式：，即函数的最大值为.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．36、试题分析：（1）作差利用乘法公式与实数的性质即可得出．（2）利用柯西不等式的性质即可得出．试题解析：（1）∵，，∴，∴．（2），∴,当且仅当时取等号。

最新数学选修4-5练习题Ⅲ

最新数学选修4-5练习题Ⅲ

最新数学选修4-5练习题Ⅲ单选题（共5道）1、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c中至多一个是偶数Ca，b，c都不是偶数Da，b，c中至多有两个是偶数2、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c中至多一个是偶数Ca，b，c都不是偶数Da，b，c中至多有两个是偶数3、若2x+3y+5z=29，则函数μ=++的最大值为（）AB2C2D4、若x+y+z=0，则x3+y3+z3=（）A0Bx2y+y2z+z2xCx2+y2+z2D3xyz5、已知α：不等式|x-1|+|x+2|＞m的解集为R；β：函数f（x）=log （5-2m）x在其定义域上是减函数．则α成立是β成立的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件简答题（共5道）6、解方程：|x-2|+|x+5|=6．7、设且，证明：．8、求证：＜（n＞2）．9、数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.10、设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小填空题（共5道）11、.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（I）当时，求的最小值；（II）如果对，求实数的取值范围．12、解不等式：（１）；（2）．13、若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围为（）。

14、不等式|2x-1|>1的解集是（）。

15、对于所有实数x，不等式x2+|2x-4|≥a恒成立，则实数a的最大值是______．-------------------------------------1-答案：tc解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，故选B．2-答案：tc解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，故选B．3-答案：tc解：由柯西不等式可得（•1+•1+•1）2≤（2x+1+3y+4+5z+6）（12+12+12）∵2x+3y+5z=29，∴（•1+•1+•1）2≤120，∴μ=++≤2，∴μ=++的最大值为2．故选：C．4-答案：tc解：∵x+y+z=0，∴x3+y3+z3=（x+y）[（x+y）2-3xy]+z3=（x+y）3-3xy （x+y）+z3，∴x3+y3+z3=3xyz．故选：D．5-答案：C-------------------------------------1-答案：解：根据|x-2|+|x+5|≥|（x-2）-（x+5）|=7，故方程|x-2|+|x+5|=6无解．解：根据|x-2|+|x+5|≥|（x-2）-（x+5）|=7，故方程|x-2|+|x+5|=6无解．2-答案：运用数学归纳法来加以证明与自然数相关的命题。

人教A版高中数学选修4-5练习-第一讲绝对不等式的解法

人教A版高中数学选修4-5练习-第一讲绝对不等式的解法

第一讲 不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：原不等式同解于x －2<0，即x <2. 答案：A2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：B3．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A. 答案：A4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4. 又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解． 答案：B 二、填空题6．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集是∅，则a 的取值范围是________________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ≤3. 答案：(－∞，3]7．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋4a ≤4.所以a ＝2，综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}． 答案：(－∞，0)∪{2}8．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________________．解析：f (x )≤5⇔|2x －1|＋x －2≤0，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＋x －2≤0，解得12≤x ≤1.②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋x －2≤0，解得－1≤x <12.综上可得－1≤x ≤1.答案：[－1，1] 三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，，解得a ＝2.(2)由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则m ≤g (x )min . 即实数m 的取值范围是(－∞，5]．10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．B级能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足以下条件的m的取值范围．(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.解：法一因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x ＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．。

【人教A版】高中数学(选修4-5)：全册配套课堂练习题(附答案)

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第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

【人教A版】高中数学选修4-5数学：全册精品课件练习题(含答案)

【人教A版】高中数学选修4-5数学：全册精品课件练习题(含答案)

栏 目
链
所以(x－1)2＋1>0，
接
即(x2－x)－(x－2)>0.
所以x2－x>x－2.
利用不等式的基本性质求式子的取值范围
已知 －≤α＜β≤，求，的取值范围．
解析：∵ －≤α＜β≤，
栏
∴ －≤α＜，① －＜β≤，② α＜β.③
目 链
由①＋②得 －π＜α＋β＜π，∴ －＜＜.
接
由②得－≤－β＜，④
利用基本不等式求函数的值域或最值
栏
(1)若x＞0，求f(x)＝4x＋的最小值
目 链
接
(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则＋的最小值是______；
分析：函数解析式在形式上已经基本符合了基本不等式
的形式，但还应注意适用前提．
解 析 ： (1) 因 为
x＞0，所以由基本不等式得
f(x) ＝
4x ＋
【人教A版】选修4-5数学： 全册课件（含答案）
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.1 不等式的基本性质
栏 目 链 接
用作差比较法比较大小
已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
分析：两式作差比较大小．
栏
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－
由①＋④得－π≤α－β＜π.
又α＜β，∴α－β＜0，
∴－π≤α－β＜0，∴－≤＜0.
点评： (1)求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要
注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出
栏
错．例如，若忽略 ɑ＜β，则会导致的取值范围变大．
目 链
接
(2)本题利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要

数学人教A版选修4-5课后训练：3.1二维形式的柯西不等式含解析

数学人教A版选修4-5课后训练：3.1二维形式的柯西不等式含解析

课后训练1．如果实数m ,n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ,x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值为( ）．A ．2a b ＋ B．CD2．已知x ,y ∈R ＋，且xy ＝1，则1111x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋的最小值为（ )． A ．4 B ．2 C ．1 D ．143．设a ＝（1,0,－2），b ＝（x ，y ，z ），若x 2＋y 2＋z 2＝16，则a ·b 的最大值为__________．4．设a ＝(－2,1，2)，｜b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.5．设a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥__________。

6．已知a ＞b ＞c ，求证：114a b b c a c≥＋－－－。

7．设a ，b ，c ＞0，且a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .22θθ.8．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)1212a a b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥(a 1＋a 2)2。

已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：22222()cos sin a b a b θθ≤＋。

参考答案1。

答案：B解析:由柯西不等式，得（mx ＋ny )2≤(m 2＋n 2）(x 2＋y 2）＝ab ;当m n ＝x y ＝mx ny ＋2。

答案：A解析:1111x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋211⎛⎫≥⨯ ⎝22124⎛⎫ ⎝＝＝＝，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．3.答案：解析:∵a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，∴a ·b ＝x －2z . 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2]（x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z ）2.当且仅当存在实数±5k ＝，使b ＝k a 时等号成立．∴5×16≥（x －2z )2,∴|x －2z |≤∴-≤x －2z≤即-≤a ·b≤∴a ·b的最大值为4。

人教A版高考理科数学一轮总复习课后习题 选修4—5 不等式选讲 课时规范练67 绝对值不等式

人教A版高考理科数学一轮总复习课后习题 选修4—5 不等式选讲 课时规范练67 绝对值不等式

课时规范练67 绝对值不等式基础巩固组1.(全国Ⅱ,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.2.(四川绵阳一诊)已知函数f(x)=|2x+1|-|2-1)<f(2m+1),求m的取值范围.综合提升组3.已知函数f(x)=|x+1|+|2.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对于任意x1∈R,存在x2∈R,使得f(x1)≥g(的取值范围.创新应用组4.(广西桂林模拟)已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值为2,求实数a的值;(2)若关于x 的不等式f(x)+g(x)<6的解集为A,若[1,2]⊆A,求实数a 的取值范围.答案：课时规范练1.解:(1)当a=2时,f(x)={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f(x)≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}.(2)因为f(x)=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.当-1<a<3时,f(a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).2.解: (1)由已知条件可得,f(x)={ -4,x ≤-12,4x -2,-12<x <32,4,x ≥32. 作出函数图象如图所示.(2)由(1)的图象可得,实数m 满足-52<2m-1<32或-12<2m+1<72,解得-34<m<54. 所以实数m 的取值范围为-34,54.3.解:(1)∵f(x)=|x+1|+|2x-2|={-3x +1,x <-1,-x +3,-1≤x ≤1,3x -1,x >1,∴f(x)min =f(1)=2,故当x=1时,f(,当且仅当x=1时,等号成立.由题意知,对任意,所以{2+m ≥0,(2+m )2≥(1+3m )2,解得-34≤m ≤12, 即m 的取值范围为-34,12.4.解: (1)∵f(x)+2g(x)=|2x-a|+|2x+4|≥|2x -a-2x-4|=|-a-4|,当且仅当(2x-a)(2x+4)≤0时,等号成立,∴|a+4|=2,解得a=-2或-6.(2)由f(x)+g(x)<6得|2x-a|+|x+2|<6,当x ∈[1,2]时,|2x-a|+|x+2|=|2x-a|+x+2<6,即|2x-a|<4-x, {2x -a <4-x ,2x -a >x -4,解得a-4<x<4+a 3,由[1,2]⊆A,∴{a+43>2,a-4<1,解得2<a<5,即a的取值范围为(2,5).。

高中数学选修4-5课后习题解答0

高中数学选修4-5课后习题解答0

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲 不等式和绝对值不等式 习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+ 3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <； （2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b aa b≠. 所以22b a b a a b a b +>⋅=. （2）因为20a b ab +>>，所以112a b ab<+ 所以11222ab ab ab a b ab⨯<⨯=+，即2ab ab a b <+ 6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以2a b ab +≥，2b c bc +≥，2c a ca +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()2228a b b c c a ab bc ca abc +++>⋅⋅= （2）()()()222a b b c c a ab bc ca +++++>++ 所以a b c ab bc ca ++>++7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥， 所以222()22x y x y ++≥. 10、因为2222222(1)12112111x x x x x x +⋅+++=≥=+++，所以22221x x +≥+11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b cc a a b c a b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以333a b c a b cb c a b c a++≥⋅⋅=，333b c a b c aa b c a b c++≥⋅⋅=所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以330a b c abc ++≥>，322222230a b c a b c ++≥> 所以3222333()()99a b c a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+= ∴2a b d +≤，2()22a b d +≤∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为22d因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立 所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得322224242234R r r h r h =++≥所以，球内接圆柱的体积32439R V r h ππ=≤当且仅当222r h =，即23r R =，233h R =时，V 取最大值. 15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++ 所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而22h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=.证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+ 所以11122x x x x x x+=+≥⋅= 3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、（1）5235x -<-<228x -<<14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞（3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)-∞-+∞7、8、（1）6341x-≤+<-或1346x<+≤1035x-≤<-或332x-≤≤10533x-≤<-或213x-≤≤∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333---（2）9523x-<-≤-或3529x≤-<1428x-<-≤-或224x-≤-<47x≤<或21x-<≤∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x-=，50x-=得3x=，5x=①当3x<时354x x-+-+≥2x≤∴2x≤②当35x≤<时354x x--+≥24≥∴无解③当5x≥时354x x-+-≥6x≥∴6x≥∴原不等式的解集为(,2][6,)-∞+∞（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)229、(1,)a ∈+∞第二讲 证明不等式的基本方法 习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca-≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++222216a b a c b c a b c ≥⨯⨯⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b aa b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>--又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m n n m m n m n ++≥，只需要证明()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()()2m n m n m nm n mn mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn-≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即2211a b a b +-+<-，即222211a b a b a b-<-+++因为a b ≠，所以只需证2211a b a b +<+++ ∵2211a b a b a b +≤+<+++∴2211a b a b +<+++，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1aa xx x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+.所以21log (1)log 01a a xx x-->+所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+ 8、因为0n >，所以3222444332222n n n n n n n n+=++≥⋅⋅= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->- 习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤=所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=- 所以，2222111111121234n n n n--<++++<+ 3、当1n =时，不等式1111223n n+++<显然成立，即121<. 当2n ≥时，因为12n n n +-< 所以122(1)1n n n n n <<--+- 即1221n n n <-- 所以122212<-，123223<-，124234<-，……，1221n n n <-- 所以111(23nn++4、假设2211(1)(1)9x y --<. 由于,0x y >且1x y += 所以2222221111(1)(1)x y x y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y y x y x y y x x y x y x y x x x x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x -<，这与2(21)0x -≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y --≥ 5、因为2r h V π=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rh ππ=+2323342322323232r rh rhr rh rh r h V ππππππππ=++≥⨯⨯==当且仅当22r rh rh πππ==时，等号成立. 所以，当2h r =，即334,2VVh r ππ==，其表面积最大. 6、22(1)3π-第三讲 柯西不等式与排序不等式 习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y ≥223546(34)(56)5y x x x x =-+-≤+-+-= 当且仅当4536x x -=-，即13425x =时，函数有最大值5. 2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 三维三角不等式222222222111222121212()()()x y z x y z x x y y z z +++++≥-+-+-3、因为22236x y +≤，所以2214112(23)()611236x y x y +≤++≤⨯=.因此211x y +≤4、因为221a b +=，所以2222cos sin ()(cos sin )1a b a b θθθθ+≤++= 5、因为1a b +=，所以22121212121212()()()()ax bx bx ax a x x b x x a b x x x x ++≥+=+= 6、222()(14)(2)1x y x y ++≥+=，即2215x y +≥当且仅当12,55x y ==时，22x y +有最小值157、211119()(2)(2)222a b a b b a a b ++≥⋅+⋅= 当且仅当21ab =（,a b R +∈）时，函数有最小值928、121212()()pf x qf x p x q x px p px p +=+=⋅+⋅121212()()()px qx p q px qx f px qx ≤++=+=+9、2223sin 41cos23sin 42cos (932)(sin cos )41y x x x x x x =++=+≤++= 当且仅当32tan 8x =±时，函数有最大值41 习题3.2 （P41） 1、22111111111()()()39a b c a b c a b c a b c a b c++=++++≥⋅+⋅+⋅== 推广：若12,,,n x x x R +∈，且121n x x x +++=，则212111nn x x x +++≥. 证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++221212111()n nx x x n x x x ≥⋅+⋅++⋅=2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、2212121212111111()()()n n n nx x x x x x n x x x x x x ++++++≥⋅+⋅++⋅= 4、2221112()a b b c c a a b b c c a++=++++++++222111()()111()111()19(3)a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c a a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a a b c a b c a b c a b c a b c+++=++++++++++++++++≥⋅+⋅+⋅+++++++++=++++++++==++++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数， 所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++. 5、因为2222222()(234)(234)10100x y z xy z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029.6、因为2221212()(1)111n nx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n nn x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45）1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n n a c a c a c a a a +++≤+++.2、由于要证的式子中,,a b c 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++.用排序不等式证明如下： 设120n i i i a a a ≥≥≥>，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列则12222ni i i a a a ≥≥≥，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111nn n n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1， 所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=. 当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+.所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=，所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++.当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+.当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++ 2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y yx x x y x yy yx xyy y x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时， 凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时， 第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点 即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-= 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+-. 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n +<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立.②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立. 3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k-+++<当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k kkkkkk k k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)1222⨯+<⨯<，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)22k k k k k k a k k k k +++++<+++<+++21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++22222222211221111121222221122111111222112211()2()()()2()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++++++++≥++++++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.8、（1）21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111a a ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++ 121211211221121122221111111()()()()1111112()()12(1)k k k kk kk k k ka a a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a k k k ++++=+++++++++++++++≥++++++++≥++=+所以，当1n k =+时，命题成立. 由①②知，命题对一切正整数成立。

(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(有答案解析)(4)

(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(有答案解析)(4)

一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14B ．114C ．29D ．1293．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．44．函数2cos y x =+ ）A B ．5C ．4D5．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④6．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥7．函数y 的最大值是( )A B C ．3D ．58．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．4010．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n11．设a ， b ， c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a b c ++ 的最大值是( ) A ．1B ．3C ．3D ．912．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34二、填空题13．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++ (n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________.14．设函数()221f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若a b m +=，求124a b +++的最大值.15．已知238x y z ++=，则222x y z ++取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.16．函数y 11π110αsin αcos α2⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是_______ 17．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．18．已知向量1,1a a b =⋅=，则minb =__________．19．设、、，，试求的最大值_________.20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ． （Ⅰ）求+a b 的值；（Ⅱ）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证：9x y xy +≥. 22．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 23．若实数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-.（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥. 25．已知x ，y ，z 均是正实数，且2229436x y z ++=，求证7x y z ++≤． 26．已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.3．B解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.4．A解析：A 【分析】利用柯西不等式进行求最值. 【详解】2cos 2cos y x x =+=+==，即tan 2x =±故选：A. 【点睛】本题考查柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造柯西不等式的模型.5．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +-≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ， 其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数． 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.7．B解析：B 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为y ===，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.8．A解析：A 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】()21122n n a x a x a x +++()()2222221212111nn aa a xx x ++++++=⨯= ，当且仅当12121nnx x x a a a ==== 时取等号. ∴1122n n a x a x a x +++ 的最大值是1故选：A 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.10．C解析：C 【解析】 由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C.11．B解析：B 【解析】由柯西不等式得()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，2313∴≤⨯=，当且仅当13a b c ===时等号成立，B.12．C解析：C 【解析】 由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立，2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++= ∴等号成立111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++故答案选C二、填空题13．增加【分析】先写出当n=k 时左边的代数式再写出当n=k+1时左边的代数式相减即可得出结果注意分母及项数的变化【详解】假设n=k 时不等式成立即+…+则当n=k+1时不等式左边=+…+=+…+=+…+=解析：增加112122k k -++ 【分析】先写出当n=k 时左边的代数式，再写出当n=k+1时左边的代数式，相减即可得出结果，注意分母及项数的变化 【详解】假设n=k 时，不等式成立，即1112k k ++++…+113224k >， 则当n=k+1时，不等式左边=11(1)1(1)2k k ++++++…+1112212(1)k k k ++++=1123k k ++++…+11122122k k k ++++ =1112k k ++++…+1111221221⎛⎫++- ⎪+++⎝⎭k k k k =1112k k ++++…+11122122k k k +-++.故答案为：增加112122k k -++ 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，解题的关键是随着项的变化代数式的变化，属于中档题.14．（1）3；（2）【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）把转化成然后利用柯西不等式即可【详解】解：（1）函数所以在区间内单调递增在区间内单调递减故的最大值；（2）由柯西不等式得由己知得故所解析：（1）3；（2） 【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（21=【详解】解：（1）函数()4,12213,124,2x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎩， 所以()f x 在区间(],1-∞-内单调递增，在区间[)1,-+∞内单调递减. 故()f x 的最大值()13m f =-=； （2）由柯西不等式，得1=.由己知3a b+=故所求最大值为1a =，2b =取得）. 【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.15．【分析】利用柯西不等式求得的最小值并求得此时的值【详解】由于故当且仅当时等号成立故故答案为【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值并求等号成立的条件属于基础题解析：8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用柯西不等式求得222x y z ++的最小值，并求得此时,,x y z 的值. 【详解】 由于()()()22222222312364xy z x y z ++++≥++=，故222x y z ++6432147≥=.当且仅当8124,,777x y z ===时等号成立，故(,,)x y z =8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于基础题.16．【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果【详解】由柯西不等式得：y≥≥当且仅当即α即y 的最小值是【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法二倍角公式及其应用解析：3+【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由柯西不等式得：y 222211⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥211⎛⨯+ ⎝21⎛⎫= ⎝≥(213=+当且仅当sin 21α=,即α4π=时等号成立.即y 111102sin cos πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是3+. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可. 详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,mx ny ∴+mx ny ∴+点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 18．1【解析】解：设向量对应的坐标为：问题等价于：已知求的最小值由Cauchy 不等式有：据此可得：点睛：根据柯西不等式的结构特征利用柯西不等式对有关不等式进行证明证明时需要对不等式变形使之与柯西不等式有 解析：1【解析】解：设向量对应的坐标为： ()(),,,a m n b x y == ，问题等价于：已知221,1m n mx ny +=+= ，求22x y + 的最小值，由Cauchy 不等式有： ()()2222m n x y mx ny ++≥+ ， 据此可得： ()22min1x y += .点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.19．15【分析】利用柯西不等式对代数式进行配凑可求出x+2y+2z 的最大值【详解】由柯西不等式得9×25=1+4+4x2+y2+z2≥x+2y+2z2即x+2y+2z2≤225∴x+2y+2z≤15当且解析：.【分析】 利用柯西不等式对代数式进行配凑，可求出的最大值.【详解】 由柯西不等式得，即，， 当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为，故答案为. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解题的关键就是结合所求代数式对定值条件进行配凑，考查计算能力，属于中等题. 20．【解析】试题分析：由柯西不等式因为所以当且仅当即时取等号所以的最小值为考点：柯西不等式解析：122【解析】试题分析：由柯西不等式，2222222(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122. 考点：柯西不等式三、解答题21．（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据13x <-，123x -≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式2315x x -++≤的解集，由此能求出a+b ．（2）由x ＞0，y ＞0，41x y +=，知()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭ 414x y y x=+++，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x +y ≥9xy ． 【详解】（Ⅰ）原不等式等价于13415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩或123325x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≤⎩或2415x x >⎧⎨-≤⎩， 解得113x -≤<或113x ≤≤，即11x -≤≤ ∴1a =-，1b =， ∴0a b +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >， ∴()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭41459x y y x =+++≥=， 当且仅当16x =，13y =时取“=”,∴9x y xy +≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题．22．（1）[]4,0-；（2）证明见解析【分析】（1）由314x x +++≤，分3,31,1x x x ≤--<<-≥-三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，进而利用柯西不等式，可证明结论成立.【详解】（1）()4f x ≤，即314x x +++≤，原不等式等价于3143x x x ⎧⎨----≤≤-⎩或33114x x x ⎧⎨+---≤<<-⎩或3141x x x ⎧⎨+++≤≥-⎩， 解得43x -≤≤-或31x -<<-或10x -≤≤，综上，原不等式的解集为[]4,0-.（2）因为()31312f x x x x x =+++≥+--=，所以函数()f x 的最小值2n =， 则正实数,,a b c ，满足2a b c ++=，由柯西不等式，可得()2411a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即()2411221116a b c ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b c ==时，等号成立. 所以4118a b c++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.23．114【分析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z ++≤++++, 即()222141x y z ++≥， 故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==, 即222x y z ++的最小值为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 24．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题. 25．详见解析【分析】根据柯西不等式可得()()()22222221132132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即可得证. 【详解】证明：由柯西不等式得()()()22222221132132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当且仅当94x y x ==时等号成立.因为2229436x y x ++=，所以()249364936x y z ++≤⨯=， 所以7x y z ++≤，【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题. 26．()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】 ()1根据已知可得1111ab bc ca ++=，由柯西不等式求证即可； ()2利用基本不等式求证即可.【详解】 解：()1证明：由abc a b c =++得，1111ab bc ca ++=， 由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. ∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===()2证明：0a >，0b >，0c >. ∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++， 当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)

(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)

一、选择题1．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞2．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤3．对于0c >，当非零实数a 、b 满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大时，345a b c-+的最小值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．24．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥ 5．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．36．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．07．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在平面内，已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，(1,1)c =，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++，则（ ）A ．p 的最小值为B ．p 的最大值为C ．p 的最小值为55D ．p 的最大值为339．y=x 21-x +的最大值是 （ ） A ．1B ．2C ．2D ．410．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n11．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 12．用反证法证明：“”，应假设（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．若x y z R ∈、、，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.15．已知 O 为坐标原点，圆M ：()2211x y ++=， 圆N ：()2224x y -+=．,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S 的最大值为_______． 16．若x+y+z+t=4,则x 2+y 2+z 2+t 2的最小值为____. 17．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________ 18．若,,,(0,)a b c d ∈+∞，2222,a b c d a b c dx ++=++=，则x 的取值范围为_____． 19．选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ， q ， r 为正实数，且p q r a ++=，求证： 2223p q r ++≥． 20．求函数y ＝1102x x --三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明．22．已知函数()3f x x x a =-+-，当3x ≤时()f x 的最小值是2. (1)求a ；(2)若2m n a +=，求证：()2251m n +≥.23．设x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求222111x y z x y z+++++的最小值.24．已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥.25．已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）若()f x 最大值为M ，且a b c M ++=，求证：2223a b c ++≥． 26．已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D2．D解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.3．C解析：C 【分析】首先将等式224240a ab b c -+-=变形为22154416c b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由柯西不等式得到22a b +，分别用b 表示a 、c ，再代入到345a b c-+得到关于1b 的二次函数，求得其最小值即可. 【详解】224240a ab b c -+-=，22221542416c ab b a b a b ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式可得2222215224164b b a b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+≥-+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦22a b =+，故当2a b +最大时，有4462b a -=，则32a b =，210c b =，222345345121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫∴-+=-+=-=-- ⎪⎝⎭， 所以，当12b =时，345a b c-+取得最小值2-. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭，即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

高考理科数学专题：选修4-5习题及答案

高考理科数学专题：选修4-5习题及答案

高考理科数学专题：选修4-5习题及答案高考理科数学专题：选修4-5一、选择题1.已知a1、a2∈(0，1)，记M＝a1a2,N=a1+a2-1，则M与N 的大小关系是( )(A)MN(C)M=N (D)不确定2.(2011·山东高考)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )(A)[-5,7](B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞)(D)(-∞，-4]∪[6,+∞)3.(2011·漳州模拟)若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|＜a，则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)(C)(-1,1) (D)(3,4)4.若关于x的不等式|x2+2ax+3a|≤2有且只有一个解，则满足条件的实数a的值为( )(A)1 (B)2(C)1或2 (D)-1或-25.若不等式|ax+2|＜6的解集为(-1,2)，则实数a等于( )(A)8 (B)2(C)-4 (D)-86.若关于x的不等式|x-1|-|x-4|≥a2-a+1的解集为?，则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,-1) (B)(2,+∞)(C)(1,2) (D)(-∞,-1)∪(2,+∞)二、填空题7.(2011·江西高考)对x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为_______.8.对于实数x，y，若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为_________.9.(2011·陕西高考)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．三、解答题10.(2011·许昌模拟)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值.(2)当a=2时，解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2t)(t≥0).11.设函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=x2-x.(1)解不等式|f(x)-g(x)|≥2 011；(2)若|f(x)-a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2,求实数a的取值范围.12.已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立，求实数x的取值范围.答案解析1.【解析】选B.由题可知a 1a 2=M,a 1+a 2=1+N ，所以a 1、a 2是方程x 2-(1+N)x+M=0的两个根，故该方程对应的二次函数f(x)=x 2-(1+N)x+M 在(0，1)上与x 轴有两个交点，所以()()1N012f 0M 0f 1M N 0M N M N.0+=>?=->>??≥??＜＜，所以可得与的大小关系为 2.【解析】选D.①x ≥5时，不等式化为x-5+x+3≥10，解得x ≥6. ②-3＜x ＜5时，不等式化为5-x+x+3≥10，不等式不成立. ③x ≤-3时，不等式化为5-x-(x+3)≥10，解得x ≤-4.由①②③得x ≤-4或x ≥6.故原不等式的解集为(-≦,-4]∪[6,+≦). 3.【解析】选B.令y=|x-4|+|x-3|,则有y= 2x 7 (x 3)1 (3x 4)2x 7 (x 4)-+≤??≤??-?＜,＞由图象可得y min =1, 又因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1,+≦). 4.【解析】选C.由|x 2+2ax+3a|≤2,22x 2ax 3a 20,x 2ax 3a 20++-≤??+++≥??得 ?要使|x 2+2ax+3a|≤2有且只有一个解, 则只需对于函数f(x)=x 2+2ax+3a-2,Δ=4a 2-4(3a-2)=0, 即a=1或a=2.当a=1或a=2时x 2+2ax+3a+2≥0成立. ?a=1或a=2.5.【解析】选C.由|ax+2|＜6?-8＜ax ＜4,当a ＞0时，84x ,a a-＜＜又≧不等式的解集为(-1,2)，81a ,.42a ?-=-??∴?=??无解当a ＜0时，48x a a -＜＜,82a,a 4.41a-=??∴=-?=-??解得综上知，a=-4.6.【解析】选D.由题意知|x-1|-|x-4|≤|(x-1)-(x-4)|=3， ?a 2-a+1＞3，解得a ＞2或a ＜-1. ?a 的取值范围为(-≦,-1)∪(2,+≦).7.【解析】当x ≤-10时，原不等式变为：-x-10+x-2≥8,即-12≥8,不符合要求；当-10<x<2;<="" 即2x="">当x ≥2时，原不等式变为：x+10-x+2≥8,即12≥8，恒成立，?x ≥2; 综上所述，原不等式的解集为：［0,+≦). 答案：［0,+≦)8.【解析】根据条件有：|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+|2(y-2)|+2 ≧|x-1|≤1,|y-2|≤1, ?|x-2y+1|≤1+2×1+2=5. 答案：59.【解析】当x ≤-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1≥3；当-1＜x ≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3；当x ＞2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1＞3；综上可得|x+1|+|x-2|≥3，所以只需a ≤3，即实数a 的取值范围是(-≦,3]．答案：(-≦,3]10.【解析】(1)由|x-a|≤m 得a-m ≤x ≤a+m ，a m 1a 2,a m 5m 3-=-=+==??所以解得．(2)当a=2时,f(x)=|x-2|，所以f(x)+t ≥f(x+2t)?|x-2+2t|-|x-2|≤t ，① 当t=0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式①()()()x 22t 22t x 2x 2,22t x 2x t x 22t 2x t x 22t x 2t--≤≥----≤-+--≤-+--≤＜＜或或解得x ＜2-2t 或2-2t ≤x ≤2-t 2或x ∈?，即x ≤2-t 2；综上，当t=0时，原不等式的解集为R ，当t ＞0时，原不等式的解集为{x|x ≤2-t2}．11. 【解析】(1)由|f(x)-g(x)|≥2 011得|-x+3|≥2 011，即|x-3|≥2 011，所以x-3≥2 011或x-3≤-2 011，解得x ≥2 014或x ≤-2 008.(2)由题意知：当1≤x ≤2时,|f(x)-a|＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时,-2＜f(x)-a ＜2恒成立，即f(x)-2＜a ＜f(x)+2恒成立.由于当1≤x ≤2时,f(x)=x 2-2x+3=(x-1)2+2的最大值为3，最小值为2，因此3-2＜a ＜2+2，即1＜a ＜4,所以实数a 的取值范围是(1,4). 12.【解析】由题意得 |x-1|-|2x+3|≤2m 11mm -+-对任意非零实数m 恒成立, ≧2m 11mm-+-≥2m 11mm-+-=1只需|x-1|-|2x+3|≤1(1)当x ≤-32时，不等式化为1-x+2x+3≤1，即x ≤-3,?x ≤-3；(2)当-32＜x ＜1时，不等式化为1-x-2x-3≤1，即x ≥-1,?-1≤x ＜1.(3)当x ≥1时，不等式化为x-1-2x-3≤1，即x ≥-5,?x ≥1,综上x 的取值范围为(-≦,-3]∪[-1,+≦).</x。

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高中数学选修4-5学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．已知实数c b a ,,满足 ） A c b a +< BCD b c a -< 【答案】C 【解析】.62．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】4，所以要满足不等式对任意实数恒成立，只需24-3a a ≤恒成立，所以a ∈。

考点：含绝对值不等式的解法；恒成立问题。

点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：()x f m ≥在D x ∈上恒成立()x f m max ≥⇔；思路2: ()x f m ≤在D x ∈上恒成立()x f m min ≤⇔。

3( )（Ａ）()1,2- （Ｂ）()1,1- （Ｃ）()2,1- （Ｄ）()2,2- 【答案】A∴222x x -<-< 即222020x x x x ⎧-+>⎨--<⎩， 12x Rx ∈⎧⎨-<<⎩，∴()1,2x ∈- 故选A.4．已知,,0a b R ab ∈>，则下列不等式中不正确．．．的是（ ） A2313x x a a +--≤-x a (,1][4,)-∞-+∞ (,2][5,)-∞-+∞ [1,2](,1][2,)-∞+∞ 2313x x a a +--≤-x (,1][4,)-∞-+∞C【答案】C 【解析】5）ABCD【答案】B故选择B；6．已知函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log)(22xxxxxf，则不等式0)(>xf的解集为（）A.}10|{<<xx B.}01|{≤<-xxC. }11|{<<-xx D. }1|{->xx【答案】C【解析】由2200l o g010x xx x>≤⎧⎧⎨⎨->->⎩⎩或得0110,11x x x<<-<≤∴-<<或,故不等式0)(>xf的解集为}11|{<<-xx.7．设A={x||x－1|<2},B={x则A∩B等于A.{x|－1<x<3}B.{x|x<0或x>2}C.{x|－1<x<0}D.{x|－1<x<0或2<x<3}本题考查含绝对值不等式、分式不等式的解法及集合的运算.在进行集合运算时,把解集标在数轴上,借助图形可直观求解.【答案】D【解析】由|x－1|<2,得－2<x－1<2,解得－1<x<3.如下图,得x<0或x>2.借助数轴,求得A∩B={x|－1<x<0或2<x<3}(如下图).8恒成立，则a 的取值范围是( ) A 、2a > B 、2a < C 、2a ≤D 、2a ≥ 【答案】B【解析】 ∴2a <, 故选择B ；9．和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ）A ．a =﹣8 b =﹣10B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9D ．a =﹣1 b=2【答案】B12,4--是方程220ax bx +-=两个根且a<0;所以12412(2)()4b a a ⎧--=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得4,9a b =-=-。

故选B10．x、y>0, x ＋y=1, 且a 恒成立, 则a 的最小值为A．2 D 【答案】D【解析】解：因为x 、y>0, x ＋y=1,要使a 恒成立，则a11．设1a b c ++=，求证： 【答案】详见解析 【解析】试题分析：本题考查不等式的证明，重点考查学生对基本不等式的掌握及运用能力，注意基本不等式ab b a 222≥+的使用，同时还要掌握2)(c b a ++的展开式，能够合理的将问题进行转化．证明不等式注意观察条件，合理进行划归转化，充分合理的运用基本不等式进行证明，充分考查学生对不等式知识的掌握情况． 试题解析：证明： ca a c bc c b ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+()ca bc ab c b a 2222222++≥++∴()1)(22232222222=++=+++++≥++∴c b a ca bc ab c b a c b a当且仅当c b a ==时等号成立． 考点：基本不等式的证明12 ）AC 【答案】C 【解析】试题分析：原不等式可化为21060x x x ->⎧⎨-->⎩或21060x x x -<⎧⎨--<⎩∴考点： 一元二次不等式的解法13．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】考点：分析法和综合法． 分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得答案．解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A14．若23529x y z ++=，（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：由柯西得不等式，122(111)(223456)3(23511)3(2911)120x y z x y z ≤+++++++=+++=+=，C.考点：柯西不等式. 15．若0＜x 1＜x 2, 0＜y 1＜y 2，且x 1＋x 2=y 1＋y 2=1，则下列代数式中值最大的是（ ）A 、x 1y 1＋x 2y 2B 、x 1x 2＋y 1y 2C 、x 1y 2＋x 2y 1D【答案】A 【解析】试题分析：依题意取x 1x 2y 1y 2计算x 1y 1＋x 2y 2x 1x 2＋y 1y 2x 1y 2＋x 2y 1A 。

考点：本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法。

点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性。

16．对任意实数x ，若不等式|1||2|x x k +-->在R 上恒成立，则k 的取值范围是（ ） A. 3k < B. 3k <- C.3k ≤- D. 3k ≤ 【答案】B【解析】函数12y x x =+--的图象为由图象可得3k <- 故选择B17．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，+∞） D 【答案】A【解析】试题分析：因为[]5,1∈x ，则不等式220x ax +->，因为函数()x f 为区间[]1,5上的A考点：1．分离参数；2．存在性问题； 18．不等式23x -≤的解集为( )A ．[]1,5-B ．[]5,1- C ． [)(]5,,1+∞⋃-∞- D ．(][),51,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】19．.如果函数y ＝ax 2+bx +a 的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为【答案】C 【解析】略20．A ．（1，5） D ．（3，9）【答案】B【解析】等价于2432432432244x x x x x x x x x -+-<⎧-+-<-+-<⎧⎧⎨⎨⎨≤<<≥⎩⎩⎩或或,解之得或24x <<或21．不等式2x ﹣x ﹣1＞0的解集是（ ） A ．B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D ．∪（1，+∞）【答案】D 【解析】D 考点：一元二次不等式的解法22（ ）AC 【答案】B选B23．【2015高考山东，理5 ） （A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩解（Ⅰ）得：1x < ,解（Ⅱ）得：14x ≤< ,解（III ）得：x φ∈ ,故选A. 考点：含绝对值的不等式的解法.24且),2(b N M =⋂,则a b +=( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】试题分析：解|4||1|5x x -+-<得05x <<，故，由),2(b N M =⋂可知2,5a b ==.考点：绝对值不等式的解法，集合的交集.25．不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆> 【答案】A 【解析】试题分析：0>a 时，必存在实数x 使0)(≥x f ，故排除C 、D ，当0<a 时，则需20y ax bx c =++<的图像与x 轴无交点，故0<∆，故选A 。

考点：一元二次不等式的解法。

26． M ，不等式042>-x x 的解集为N ，则M ∩N = A . (0，2] B . [-1，0) C . [2，4)D . [1，4)【答案】A 【解析】略27．不等式|4－3x|－5≤0的解集是（ ）（A ）{x| （B ）{x| x x ≥3}（C ）x ≤－3} （D ）{x| x ≤3} 【答案】D 【解析】试题分析：由5435≤-≤-x 得{x| x ≤3} 考点：解绝对值不等式28．（2014•安徽模拟）若2m +4n＜2，则点（m ，n ）必在（ ） A.直线x+y=1的左下方 B.直线x+y=1的右上方 C.直线x+2y=1的左下方 D.直线x+2y=1的右上方 【答案】C 【解析】试题分析：利用基本不等式得2m+4n≥2，再结合题意并化简2m+2n＜2，由指数函数的单调性求解此不等式，再解集转化为几何意义． 解：由基本不等式得，2m+4n=2m+22n≥2=2∵2m+4n＜2，∴2＜2，∴＜，则2m+2n ＜2，又因y=2x在定义域上递增，则m+2n ＜1， ∴点（m ，n ）必在直线x+2y=1的左下方． 故选C ．点评：本题考查了基本不等式的应用，结合题意列出含有指数不等式，利用指数函数的单调性求解，还得判断出与选项中直线的位置关系． 29．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n ＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ） A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项，又减少了一项D.增加了一项，又减少了一项【答案】C 【解析】试题分析：本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n 项，当由n=k 到n=k+1时，项数也由k 变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论． 解：，=故选C点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n 都成立．30．若不等式（﹣1）n a＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[﹣2，）B.（﹣2，）C.[﹣3，）D.（﹣3，）【答案】A【解析】试题分析：对n进行分类讨论，分离出参数a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决．解：当n为正偶数时，a＜2﹣恒成立，又2﹣为增函数，其最小值为2﹣=∴a＜．当n为正奇数时，﹣a＜2+，即a＞﹣2﹣恒成立．而﹣2﹣为增函数，对任意的正整数n，有﹣2﹣＜﹣2，∴a≥﹣2．故a∈[﹣2，）．点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题．31．下面叙述正确的是（）A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法、分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的【答案】A【解析】试题分析：根据综合法、分析法的定义与证题思路，可得结论．解：综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式，是直接证明的方法．故选：A．点评：综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式．32．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（）A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D 【解析】 试题分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”， 由此得出结论．解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为：“a，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”， 故选D ．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键．33．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为n （n ﹣3）条时，第一步验证n 等于（ ）A.1B.2C.3D.0 【答案】C 【解析】试题分析：数学归纳法第一步应验证n 的最小值时，命题是否成立． 解：多边形的边数最少是3，即三角形， ∴第一步验证n 等于3． 故选C ．点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式： 设P （n ）是关于自然数n 的命题，若1°P（n 0）成立（奠基） 2°假设P （k ）成立（k≥n 0），可以推出P （k+1）成立（归纳），则P （n ）对一切大于等于n 0的自然数n 都成立34，猜想若0a b >>，0m >，则小关系为（ ）A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 【答案】B【解析】此题考查两数比较大小 思路：用作差法比较大小应选B 答案 B点评：作差法、作商法、利用函数单调性比较两数大小是常用方法。

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