§2.4 阶跃信号和冲激信号

第
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t ) u(t )
15 页
δ (t )
∞
(1)
δ ′′( t )
1 t
1 1 t
0
0
0
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
退出
X
第
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
16 页
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t )δ (t )dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t )dt = 0 −∞
t
+∞
（2）奇偶性 δ (−t ) = δ (t )
δ ′(t )dt = δ (t ) −∞
+∞
（3）比例性 −∞ 1 δ (at ) = δ (t ) f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) − f ′(0)δ (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 du(t ) t f (t ) ∗δ (t ) = f (t ) δ (t ) = ∫−∞δ (τ )dτ = u(t) X dt
X
第
定义2
1 τ τ p(t ) = u t + − u t − τ 2 2
8 页
1
p(t )
τ τ 2
t
τ →0
−τ 2 0
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑； 面积1 脉宽↓ 脉冲高度↑ 则窄脉冲集中于t=0处 则窄脉冲集中于 处。 ★面积为1 面积为1 面积为 宽度为 三个特点： ★宽度为0 三个特点： 宽度为0
10 页
1．抽样性 ． 2．奇偶性 ． 3．冲激偶 ． 4．标度变换 ．
X
第
(1) 抽样性(筛选性)
如果f(t)在 处连续 且处处有界， 处连续， 如果 在t=0处连续，且处处有界，则有 f (t ) δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t )
11 页
∫
+∞
−∞
δ (t ) f (t )dt = f (0)
f (0)
∞
对于移位情况： 对于移位情况：
f (t)δ (t − t 0 ) = f (t0 )δ (t −t0 )
o
t
∫
δ (t − t0 ) f (t )dt = f (t0 ) −∞
+∞
(2) 奇偶性
δ (t ) = δ (−t )
X
第
(3) 冲激偶
s(t ) 1τ
1τ
12 页
δ (t )
∞
时移， 时移，则： ②
(t ) f (t )d t = (−1)
k
f (k) (0)
−∞ +∞
∫
δ ′(t − t0 ) f (t )dt = − f ′ (t0 ) −∞
−∞
∫
δ ′(t )dt = 0 , ∫−∞δ ′ (t )dt = δ (t ) −∞
+∞ t −∞
③ δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t0 − t ) = −δ ′(t − t0 ) ∴δ ′(t )是奇函数 ④ f (t )δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t ) ，
t
X
第
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
1
f (t )
5 页
Gτ (t )
其它函数只要用门函数处理( 其它函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 门函数) 就只剩下门内的部分。 符号函数： 符号函数：(Signum)
6 页
X
第
定义1：狄拉克(Dirac)函数
+∞δ (t )d t = 1 ∫ −∞ δ (t ) = 0, t ≠ 0
7 页
∫
δ (t )d t = ∫0 δ (t )d t −∞
−
+∞
0+
函数值只在t=0时不为零； 函数值只在 时不为零； 时不为零 积分面积为1 积分面积为1； t=0时， (t ) →∞，为无界函数。 时 δ 为无界函数。
§2.4 奇异信号 ——阶跃信号和冲激信号 ——阶跃信号和冲激信号
武汉理工大学信息工程学院 2004.9
第
本节介绍
函数本身有不连续点(跳变点) 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 函数。 主要内容 •单位斜变信号 单位斜变信号 •单位阶跃信号 单位阶跃信号 •单位冲激信号 单位冲激信号 •冲激偶信号 冲激偶信号
1 sgn(t ) = −1 ,t > 0 ,t < 0
−τ 2 O
τ 2 t
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
第
三．单位冲激函数（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
不同） （与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t ) 不同）
XBiblioteka Baidu
第
(4) 对δ(t)的标度变换
1 δ (at ) = δ (t ), a
14 页
冲激偶的标度变换
1 1 δ ′(at ) = ⋅ δ ′(t ) a a
δ
(k )
1 1 (k ) (at ) = ⋅ k δ (t ) a a
X
(1)
−τ −τ o τ τ
s′(t )
1 τ2
t
τ →0
t
o
t
δ ′(t )
1τ2
−τ − τ O
−1 τ 2
−1 τ 2
τ
(1 τ )
o
(−1 τ )
t
X
第
冲激偶的性质
①
13 页
∫
δ ′(t ) f (t )dt = − f ′ (0) −∞
−∞
∞ (k )
+∞
阶导数： 对δ (t )的k阶导数： ∫ δ
2 页
X
第
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R(t ) = t t <0 t ≥0
O
3 页
R(t )
1 1 t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(t − t0 ) = t − t0 t < t0 t ≥ t0
R(t − t0 )
1
O t0 t 0 + 1 t
由变量t-t 由变量 0=0 可知起始点为 t0 3．三角形脉冲
无穷 ★ 幅度 0 t =0 t ≠0
X
第
描述
1 τ τ δ (t ) = lim p(t ) = lim u t + − u t − τ →0 τ →0 τ 2 2
δ (t )
∞ (1)
t
9 页
δ (t − t0 )
时移的冲激函数
K R(t ) f (t ) = τ 0 0 ≤ t ≤τ 其它
f (t )
K
O
τ
t
X
第
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u(t ) = 1 t <0 t >0
1
4 页
u(t )
0点无定义或 点无定义或1/2 点无定义或
O
u(t − t0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t < t0 0 u(t − t0 ) = , t0 > 0 t > t0 1
∫
f (t )δ ′(t )d t = − f ′(0)
0 u(t + t0 ) = 1 t < −t0 t > −t0 , t0 > 0
t0 u(t + t0 )
t
1
由变量 (t ± t ) = 0 可知t = mt , 即时 − t0 O 0 0 断点， ，函数有断点 间为m t0时 函数有断点，跳变点 变量<0 函数值为 函数值为0 变量>0 函数值为 函数值为1 变量 变量
∞
(1)
o
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 若面积为 ，则强度为 。 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数， 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数， 极限， 取τ→0极限，都可以认为是冲激函数。 极限 都可以认为是冲激函数。
X
第
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 δ (t ) 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， δ (t ) 可以当作时域连续信号处 理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但也 由于 δ (t ) 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。