Newmark-精细积分方法的选择及稳定性

2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值 、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法 。直接积分方法包括传统的中心差分 方法 、W ilson法 、Newmark法 等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵 的精细算法能够获得高度精确的结果 。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度 数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍 。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构 中 ,则存在矩阵尺度太大的困难 。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微 分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变 。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法 。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数 。 然后通过以下方式得到 :
Tk = 2Tk - 1 + Tk - 1 ·Tk - 1
T = I + TN ( k = 1, 2, 3, …, N )
(9)
对式 ( 7)中第 2项的非齐次项分别采用辛浦生积分 (代数精度为 3) 、柯特斯积分 (代数精度为 5) 、三节
-
D0 k, a22
= - DD0 nd + D0
dtn 2
其中 : d
=
8 9
T1
+
5 9
T2
+
5 9
T3
D0
=
1 ( 2 / d t·n + c) , D 2
=-
πΩ 1 1 +ξωd t Tn ,
T = 1 + Dη + (Dη) 2 + (Dη) 3 + … + (Dη) l
2!
3!
l!
稳定性条件tablestabilityconditions算例分析一个两自由度振动体系在荷载下的运动方程为x1x2x1x2应用精细积分法平均常加速度法及本文newmark精细直接积分法的辛浦生积分高斯积分柯特斯积分公式分别计算了该体系的位移反应每种方法的计算结果
第 24卷 ,第 3期 2008年 9月
110
世 界 地 震 工 程 第 24卷
当 l→∞时 , T = exp
πΩ η - 1 +ξωd tTn
由于任一积分方法的稳定性仅依赖于积分传递算子 A 的特征值 ,因此未具体列出荷载矢量算子 L 的表
达式 。ω, Tn 分别是体系振动的圆频率 、结构的固有周期 ,采样频率 Ω =ωΔt,阻尼比 ξ= 2MCω。
由式 ( 2)得 :
x¨i + 1
=
2 dt
(
xi+1
-
xi )
-
x¨i
(4)
将 ( 4)代入 ti + 1时刻的方程 ( 1)中得到 :
xi+1 = -
2M dt
+C
-1
Kxi + 1
+
2M + C -1 dt
2M dt
xi
பைடு நூலகம்
+ M x¨i +
F i+1
(5)
将式 ( 5)写成精细积分法一般形式 ,即 :
(
1
+
yi )
当 n = 3时为三节点的高斯积分公式 ,上式中的参数为 :
w1
=
8 9
,
w2
=
5 9
,
w3
=
5 9
y1 = 0, y2 = - 0. 6, y3 = 0. 6 下文的算例表明 ,本文的 Newmark2精细直接积分法选择三节点的高斯积分公式作为非齐次项的积分方 法 ,其计算误差均小于柯特斯积分和辛浦生积分 ,且计算量少于文献 [ 5 ]采用的柯特斯积分公式 。从而 New2 mark2精细直接积分法在每个时间步长内的迭代公式为 :
x = D x + r ( t)
(6)
其中 : D = -
2M
+C
-1
K
dt
r ( t) =
2M + C -1 dt
2M dt
xi
+ M x¨i + F i+1 ( t)
对于线性体系 ,方程 ( 6)是线性向量常微分方程组 。对其 ti + 1时刻的解进行数值离散化 ,可以得到下式 :
∫ti+1
( 1. School of Civil Engineering, Xi’an University of A rchitecture and Technology, Xi’an 710055, China; 2. School of Engineering, Shanxi Normal University, L infen 041000, China)
Abstract: In view of the Newm ark2p recision direct integral method, integration formulas of the non2homogeneous vector are discussed and the stability of this m ethod is analyzed. Theoretical analysis and num erical results show that the computation accuracy of Gauss formula app lied is higher than that of Cotes and Simp son, and the computa2 tional effort is smaller than that of the conventional method. Therefore, the Newmark2p recision direct integral meth2 od is imp roved. A lthough the imp roved schem e is conditionally stable, the conditions are very easy to be satisfied from the stability analysis. Comp rehensive analysis demonstrates the p roposed method can be app lied to the dynam2 ic analysis of actual large system s. Key words:Newmark2p recision direct integral m ethod; direct integration; stability analysis
收稿日期 : 2007- 07- 16; 修订日期 : 2008 - 07 - 26 基金项目 :国家自然科学基金项目 (10572107) 作者简介 :郭泽英 (1974 - ) ,女 ,讲师 ,博士研究生 ,主要从事高层建筑结构的分析与设计. E2mail: gzeying@126. com
ti
+ 3 dt 4
+ 7 r ( ti+1 )
高斯公式的积分格式 :
∫ ∑ ti+1 exp (D ( ti+1
ti
n
- τ) )
r (τ) dτ =
dt 2
j=1
w
j
exp
D
dt (1 2
-
yj ) ·r
ti
+
dt (1 2
+ yj )
=
∑ d t
2
n j =1
w j ·Tj ·r
ti
+
dt 2
中图分类号 : P315. 96; TU311. 3 文献标志码 : A
In tegra tion form ula selection and stab ility for Newmark2prec ision d irect in tegra l m ethod
GUO Zeying1, 2 , L I Q ingning1
xi +1
=
T xi
+ dt 2
8 9
T1
r (τ1
)
+
5 9
T2 r (τ2 )
+
5 9
T3
r (τ3 )
( 10 )
xi+1 = D xi+1 + r ( ti+1 )
x¨i+1 = M - 1 ( - C xi+1 - Kxi+1 + F i+1 )
( 11 ) ( 12 )
2 Newma rk2精细直接积分法的稳定性分析
1 Newma rk2精细直接积分法
1. 1 基本原理
离散结构模型的动力方程为 :
M x¨+ Cx + Kx = F
(1)
式中 : x, x, x¨分别为体系的水平位移 、速度和加速度向量 ; F 为外力列向量 ; M , C, K分别为体系的质量 、阻尼
和刚度矩阵 。
在 Newmark2β法中 ,当控制参数 α = 1 ,β= 1时 , 即平均常加速度法 , 具有二阶精度 , 是无条件稳定的 。
根据稳定性分析理论 ,直接积分法的稳定性分析只需要研究一个典型的单自由度体系的运动方程 : m x¨
+ cx + kx = f ( t) ,在无阻尼的情况下 ,使其积分传递算子的谱半径小于或等于 1,即 ρ(A )
= m ax
λ i
≤1 (A 为
积分传递算子 ;λi 为传递算子 A 的第 i个特征值 ) 。
x i+1 = Txi + exp (D ( ti+1 - τ) ) r (τ) dτ
(7)
ti
其中第一项中的矩阵 T可用数值方法精细算得 ,即 :
T = exp (D ·d t) = [ exp (D ·d t / n) ]n ,η = d t / n, n = 2N
由泰勒级数有 :
T (η) = eDη = I + T0
108
世 界 地 震 工 程 第 24卷
在上述工作的基础上 ,本文针对 Newmark2精细直接积分法中非齐次项的积分方法 ,通过采用辛浦生积 分 、柯特斯积分 、高斯积分分别进行了数值验证 ,从而对此方法进行了改进 ,并分析了其稳定性 。
点高斯积分 (代数精度为 5)的积分方法进行计算 。
第 3期
郭泽英 ,等 : Newmark2精细积分方法的选择及稳定性
109
1. 2 非齐次项积分方法的选择
辛浦生公式的积分格式 :
∫ti+1
exp (D ( ti + 1 - τ) ) r (τ) dτ= dτ/6· ( exp (D ·d t) ·r ( ti ) + 4exp (D ·d t /2) ·r ( ti + d t /2) + r ( ti + 1 ) )
由式 ( 10) ～式 ( 12)可以得到单自由度体系下相应的表达式 ,经过整理化简得到以下关系式 :
其中 : A = a11 a12 a21 a22
xi+1 = A xi + L f ( t)
xi +1
xi
a11 = T - d2tD0 dk, a12 = D0 nd
a21
= DT
-
DD0
dtdk 2
ti
柯特斯公式的积分格式 :
∫ti+1 exp (D ( ti+1
ti
- τ) ) r (τ) dτ = d t /90· 7exp (D ·d t) ·r( ti )
+ 32exp
D
·
3 4
dt
·r
ti
+
1 4
dt
+
12exp
D · 1 dt ·r 2
ti
+ 1 dt 2
+ 32exp
D · 1 dt ·r 4
世 界 地 震 工 程
WORLD EARTHQUAKE ENGINEER ING
文章编号 : 100726069 (2008) 0320107205
Vol. 24, No. 3 Sep. 2008
N ewm a rk2精细积分方法的选择及稳定性
郭泽英 1, 2 , 李青宁 1
(1. 西安建筑科技大学 土木工程学院 ,陕西 西安 710055; 2. 山西师范大学 工程学院 ,山西 临汾 041000)
摘要 : :针对 Newmark2精细直接积分法 ,对其非齐次项的积分方法进行了讨论 ,并分析了该逐步积分 方法的稳定性 。通过理论推导和数值验证 ,此方法的非齐次项采用高斯积分公式 ,其计算误差均比采 用柯特斯积分公式和辛浦生积分公式的误差小 ,且其计算工作量比原方法的少 ,因此 Newmark2精细 直接积分法得到了改进 。通过稳定性的分析得知 ,改进的 Newmark2精细直接积分法虽是条件稳定 的 ,但是其稳定性条件极易满足 。综合分析 ,此方法可推广应用于实际结构的动力反应分析中 。 关键词 : : Newmark2精细直接积分法 ;直接积分 ;稳定性分析