平面弯曲

y a
变形几何关系： 变形几何关系： 取微段梁dx 取微段梁 1
b
2
a'
1
b'
2
dx
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ab的线应变： ab的线应变： 的线应变
dθ
a′b′ − ab ε= ab
(ρ + y)dθ − ρdθ = ρdθ y = ——应变分布 ——应变分布
y
(ρ + y)dθ − dx = dx
q=20kN/m
q=20kN/m A 4m B 2m C
220 60 180
A
z 280
D
4m
B
2m
C
c
60 y
FQ(kN) 30 +
-
40 + 50 40
x
解：1.作FQ、M图 1.作 图 B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
220 60
c yC=180
60
z
280 D截面 截面
y
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§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁 两个假设 1.切应力与横截面的侧边平行， 1.切应力与横截面的侧边平行， 切应力与横截面的侧边平行 与剪力方向一致； 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 切应力沿截面宽度均匀分布
解： 1. 求最大弯矩 max 求最大弯矩M
Mmax
1 1 = Fl = × 20kN×6m = 30kN⋅ m 4 4
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F=20kN A 3m 2.矩形截面 2.矩形截面 3.圆形截面 3.圆形截面 C 3m
Mmax 1 2 4 3 = 91.8M Pa σmax = Wz = bh = 32.67×10 m m Wz 6 1 2 m 由 πd = bh 得 d =133.5m 4 Mmax 1 3 4 3 Pa Wz = πd = 23.36×10 m m σmax = W =128.4M z 32
M ⋅ yt max σtmax = Iz M ⋅ ycmax σcmax = Iz
c
z
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三、正应力公式的推广
对于横力弯曲变形，两个假设并不成立。 对于横力弯曲变形，两个假设并不成立。但实验和理论分析 表明， / （跨高比）较大（ 5 误差很小， 表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，误差很小，可满足 工程的精度要求。 工程的精度要求。
横截面上各点处σ与y成正比 横截面上各点处 与 成
x
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3.静力学关系 3.静力学关系 M
y z
空间平行力系 x
σdA
Fx= FN = 0
My = 0
σ=Eε =E
y ρ
dA
Mz = M ≠ 0
①
∫AσdA = FN = 0
A
即
E
ρ∫
E
A
ydA = 0
而
E
ρ
E
≠0
得 Sz = ∫ ydA = 0
hohaiuniversity48剪切弯曲梁的曲率公式为平面曲线的曲率公式为hohaiuniversity式中左边的正负号由选取的坐标系和弯矩正负号的规定决定对下面的坐标系xxwwooxxwwoohohaiuniversity因此挠曲线的微分表达式为挠曲线近似微分方程xxwwooxxwwoohohaiuniversity73对于等截面梁
D MD ⋅ ytmax D σtmax = = 21.7M Pa Iz D MD ⋅ ycmax D σcmax = =12.1M Pa Iz
I z =186.6×10−6 m4
ytD =180mm max
D ycmax =100mm
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σ
B tmax
B MB ⋅ ytmax = = 21.4M Pa Iz D tmax
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假设1 平面假设） 假设1 （平面假设） 变形后的横截面仍为平面， 变形后的横截面仍为平面， 并与弯曲后的纵向层正交。 并与弯曲后的纵向层正交。
假设2 单向受力假设) 假设2 (单向受力假设) 各纵向线间无挤压，每根纵向线处于单向受力状态。 各纵向线间无挤压，每根纵向线处于单向受力状态。
②
——中性轴过形心 中性轴过形心
∫Az ⋅σdA = My = 0 即
得 I yz = ∫ yzdA = 0
A
ρ∫
A
yzdA = 0 而
ρ
≠0
——yz为形心主轴 为形心主轴
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空间平行力系 M
dA y z
x
σdA
Fx= FN = 0
My = 0
σ=Eε =E
y ρ
Mz = M ≠ 0
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(一)切应力τ的大小
F
A
q
h B b
M
FQ
h
dx
FQ
b dx
M+dM
dM=FQ dx
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y'τ′ σ' z
FN1
σ"
FN2
FN2 -FN1 =τ'bdx =τ bdx
y σ" σ'
dx
σ' dA dx y' FN1=∫ A*σ'dA= ∫ A* M y' dA Iz M∫ = y'dA 'dA A* Iz Sz* = y'dA ∫ A* 'dA M FN1= I Sz* z
M τ σ FQ
2.σ τ
M FQ
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F
F A
a
C
a
D
F
B
F CD段 ——纯弯曲 段 纯弯曲 AC段和 段 ——横力弯曲 段和DB段 横力弯曲 段和 M F Fa FQ
+ +
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一、纯弯曲粱的正应力公式
1.变形几何关系 1.变形几何关系 变形现象： 变形现象： 纵线： 纵线： 弯成弧线；上部纵线缩短， 弯成弧线；上部纵线缩短， 下部纵线伸长。 下部纵线伸长。 横线： 横线： 相对原来位置转过一角度， 相对原来位置转过一角度， 仍为直线； 仍为直线；与弯曲后的纵 线正交。 线正交。 横截面： 横截面： 上部略有扩展，下部略有收缩。 上部略有扩展，下部略有收缩。
M
M
+
y
z
M
+ -
M
HOHA力： c.最大正应力： σmax 最大正应力
M ⋅ ymax = Iz
轴为对称轴时： ① z轴为对称轴时： 轴为对称轴时 Iz —弯曲截面系数 弯曲截面系数 令 Wz = ymax
σtmax = σcmax
M = Wz
z z z
轴为非对称轴时: ② z轴为非对称轴时:
M(x) 1 = ρ(x) E Iz
σ
=
M(x)y Iz M (x) ymax Iz
σmax =
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一简支梁及其所受荷载如图所示。 例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面， 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为 最大拉应力。设矩形截面高为 ,宽为100mm。 。 F=20kN A 3m C 3m B
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§4-1
一、平面弯曲的概念
概
述
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以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此 工程中绝大多数梁都有一纵向对称面， 面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线， 面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生 平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。 平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。 外力特点： 外力特点：作用在纵向对称面 内、垂直于杆轴线的集中力或 分布力， 分布力，或作用在纵向对称面 内的力偶。 内的力偶。 变形特点：杆的轴线在纵向对 变形特点： 称平面内弯成曲线。 称平面内弯成曲线。 若梁不具有纵向对称面， 若梁不具有纵向对称面， 或虽有纵向对称面但外力不 作用在该面内， 作用在该面内，这种弯曲统 称为非对称弯曲 非对称弯曲。 称为非对称弯曲。 F
1 O1
2 O2
1 O1'
2 O2'
a
1
b
2
a'
1
b'
2
dx
横截面上任一点ε与 成 横截面上任一点 与y成正比
ρ
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ε=
y
ρ
——应变分布 ——应变分布
单向受力假设
2.物理关系 2.物理关系
σ=Eε =E
y ρ
——应力分布 ——应力分布 高度方向线性分布； 高度方向线性分布； 宽度方向均匀分布。 宽度方向均匀分布。
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q=20kN/m A
60 220
D
4m
B
2m 40
C
180
c
60 y
z
280
B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
B截面： 上部受拉、下部受压 截面： 上部受拉、 截面 B MB ⋅ ytmax B σtmax = = 21.4M Pa Iz I z =186.6×10−6 m4 B MB ⋅ ycmax B = 38.6M Pa σcmax = Iz
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1.作图示梁的FQ和M图 作图示梁的 图
q A 2l B l
ql C ql2
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2.绘出梁的剪力图和弯矩图 2.绘出梁的剪力图和弯矩图
ql2
q
l
2l
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§4-2
梁横截面上的正应力
剪力、 1.梁横截面上的内力——剪力、弯矩 梁横截面上的内力 剪力
③
∫
A
y ⋅ σdA = Mz = M
E
即
1
E
ρ ∫A
y2dA = M
得
ρ
Iz = M
M 从而 = ——中性层曲率公式 中性层曲率公式 ρ EIz
EIz —— 梁的弯曲刚度
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σ=Eε =E
y ρ
1 M = EIz ρ
M·y σ = Iz
——正应力公式 正应力公式
a.公式适用条件：等直梁、线弹性、 a.公式适用条件：等直梁、线弹性、纯弯曲 公式适用条件 的符号确定， b.正应力正负号确定： 可由M与 的符号确定 b.正应力正负号确定： 可由 与y的符号确定， 正应力正负号确定 也可由弯曲变形情况确定。 也可由弯曲变形情况确定。
σ
B cmax
B MB ⋅ ycmax = 38.6M Pa = Iz D MD ⋅ ycmax = =12.1M Pa Iz
MD ⋅ y σ σ = = 21.7M Pa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面 截面为最大拉应力截面； 截面为最大压应力截面 截面为最大拉应力截面
D tmax D cmax
ytB =100mm max
B ycmax =180mm
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q=20kN/m A
60 220
D
4m
B
2m 40
C
180
c
60 y
z
280
B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
D截面: 上部受压、下部受拉 截面: 上部受压、 截面
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横截面 z
中性层 纵向对称面
x
y 中性轴 纵向对称轴 中性层 梁内有一层纵向线既不伸长， 梁内有一层纵向线既不伸长，也不缩短 ——中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 ——中性轴
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dx 1 O1 2 O2 1 O1' 2 O2'
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M FN1= I Sz* z FN2=∫ A*σ"dA= ∫ A* (M +dM) +d FN2= S z* Iz
B
Mmax = 30kN⋅ m
4.工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2） 4.工字形截面 查型钢表， bh=140cm 选用50c号
Wz = 2080cm
3
σmax =
Mmax =14.42M Pa Wz
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形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。 例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
q(x)
Me
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二、弯曲杆件内力回顾
1.剪力和弯矩 计算方法：截面法 计算方法： A x a F1
m m
F2
B
y
A FRA
a
F1
m
FQ
c x
m
x
M
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2.剪力图和弯矩图 FQ=FQ(x) M=M(x) 剪力方程 弯矩方程
描述剪力和弯矩沿粱轴线变化规律的图象称为剪力图和弯矩图。 描述剪力和弯矩沿粱轴线变化规律的图象称为剪力图和弯矩图。 剪力图 以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂 以平行于梁轴线的坐标轴为 轴 表示横截面的位置； 直于梁轴线的坐标轴为F 轴或M轴 以向上为正， 以向下 直于梁轴线的坐标轴为 Q轴或 轴,FQ以向上为正，M以向下 为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。 为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。 作剪力图和弯矩图的方法： 作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据内力方程作图 （2）根据分布荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系作图 根据分布荷载集度与剪力、 （3）用叠加法作图