《经济数学基础3》形考作业四讲评

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《经济数学基础3》形考作业四讲评
(满分100分)
第4、5章 参数估计与假设检验
一、单项选择题(每小题2分，共10分) 1、设12,,
,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量。

A 、 1X
B 、 1X μ+
C 、
2
12
X σ
D 、 1X μ
分析：统计量不包含任何未知参数（详见教材P217统计量的定义）
2、设123,,X X X 是来自正态总体2(,)N μσ（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计。

A 、 123max{,,}X X X
B 、 121
()2X X + C 、 122X X - D 、 123X X X --
分析：统计量ˆθ
是否为θ的无偏估计，就要看ˆθ是否满足ˆ()E θθ=。

因为来自正态总体2(,)N μσ（μσ,2均未知）的样本，所以123()()()E X E X E X μ===
123(max{,,})E X X X μ=；
1212111
(())[()()]()222E X X E X E X μμμ+=+=+=； 1212(2)2()()2E X X E X E X μμμ-=-=-=；
123123()()()()E X X X E X E X E X μμμμ--=--=--=-。

3、设1234ˆˆˆˆ,,,θθθθ都是参数θ的估计量，其中123ˆˆˆ,,θθθ是参数θ的无偏估计量，若它们满足条件1213
ˆˆˆˆ,D D D D θθθθ<>，则以下结论不正确的是（C ）。

A 、 1ˆθ比2ˆθ有效 B 、 3ˆθ比2ˆθ有效 C 、 2ˆθ最有效 D 、 3
ˆθ最有效 分析：统计量ˆθ
是否为θ的无偏估计，就要看ˆθ是否满足ˆ()E θθ=。

无偏估计中方差小者方差大的有效。

4、设12,,
,n X X X 是来自总体X 的一个样本，对于给定的(01)αα<<，若存在统计量θ
和θ，使得()1P θθθα≤≤=-，则称[,]θθ是置信度为（A ）的置信区间。

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A 、 1α-
B 、 α
C 、 12α-
D 、 2
α
分析：参阅教材P234定义4.7。

5、对正态总体方差的检验用的是（C ）。

A 、 U 检验法
B 、 t 检验法
C 、 2χ检验法
D 、 F 检验法
分析：参阅教材P268定义5.2.3。

二、填空题(每小题2分，共20分) 1、组成样本的样品数量称为样本容量。

分析：详见教材P3样本容量的定义。

2、统计量就是不含未知参数的样本的函数。

分析：统计量不包含任何未知参数（详见教材P217统计量的定义）
3、参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计法两种方法。

分析：详见教材P225。

4、比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性。

分析：详见教材P230。

5、已知样本值为8.0,7.9,8.2,8.5,7.6，则样本均值为X =8.04，样本方差为2S =0.0904。

分析：见第一章公式11n i i x x n ==∑，2
221
1()n i i s x x n ==-∑（P16）。

6、设总体2~(,)X N μσ，样本容量16n =，则样本均值X 落在区间（9，11）内的概率
为119(911)/4/4P X μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

分析：由总体2~(,)X N μσ，样本容量16n =，根据抽样分布的定理 4.2（P220）,若
12,,
,n x x x 是来自正态总体2
(,)N μσ的一组样本，则样本均值2
1
1(,
)n
i
i x x N n n
σμ==∑。

则911119(911)(
)/4/4/4/4P X P X μμμμσσσσ----⎛⎫⎛⎫
<<=<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

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7、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水
平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠
，需选取统计量X U =。

分析：详见教材P264U 检验法的定义
8、假设检验中的显著性水平α为“弃真”错误, 即事件{当0H 为真时拒绝0H }发生的概率。

分析：详见教材P262弃真错误的定义
9、当方差σ2未知时，检验H H 0010:;:μμμμ=≠所用的检验量是t 检验量。

分析：详见教材P266t 检验法的定义
10、当参数θ的估计量12
ˆ(,,,)n X X X θ满足12ˆ[(,,,)]n E x x x θθ=时，则12
ˆ(,,,)
n X X X θ称为θ的无偏估计。

分析：统计量ˆθ是否为θ的无偏估计，就要看ˆθ是否满足ˆ()E θθ=。

（详见教材P230定义
4.5）
三、解答题(每小题7分，共70分)
1、设对总体X 得到一个容量为10的样本值
4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,
5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值X 和样本方差2S 。

分析：见第一章公式11n i i x x n ==∑，2
221
1()n i i s x x n ==-∑（P16）。

解答：11 4.521 1.5 3.5 4.5 6.55 3.5436
=
==3.61010
n i i x x n =+++++++++=∑ 22222222222
222
11 4.521 1.5 3.5 4.5 6.55 3.54()- 3.610
15.5512.96 2.59
n i i s x x n =+++++++++=-==-=∑（）。

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2、在测量物体的长度时，得到三个测量值：3.00 2.85 3.15，若测量值2~(,)X N μσ，试求μσ,2的最大估计值。

分析：根据教材P229例5的结论：11ˆ=n i i x x n μ
==∑，2
221
1ˆ=()n i i x x s n σ=-=∑极大 解答：222221
ˆˆ3,(0.150.15)0.15=0.02252
x s μσ
====+= 。

3、设总体X 的概率密度函数为
(1),
01
(;)0,
x x f x θθθ⎧+<<=⎨
⎩其它
，
试分别用矩估计法和最大估计法估计参数θ。

分析：矩估计法是依据“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则，建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系，从中解出参数的估计量。

最大估计法就是使似然函数1212(,,,)(;)(;)
(;)n n L x x x f x f x f x θθθθ=；在ˆθ
处取得极大值。

解答：（1）用矩估计法求θ的估计量。

由于总体的一阶原点矩为1
20
111
()()(1)02
2E X xf x dx x x dx x θθθθθθθ+∞
+-∞
++=
=+=
=
++⎰⎰ 样本的一阶原点矩为1
1=n
i i x x n =∑,用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即令
()x E X =，得12
x θθ+=+, 从中解得1
1
2121ˆ111n
i i n
i
i x x n x x n θ==--==--∑∑ ，即为所求θ的矩估计量。

（2）用最大估计法求θ的估计量。

似然函数12
1
()(1)(1)()n
n i n i L x x x x θθθθθ==+=+∏, 两边取对数得
1ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑, 求导数1
ln ()ln 1n
i i d L n x d θθθ==++∑，令ln ()
=0d L d θθ
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1
ln ()ln 01n
i i d L n x d θθθ==+=+∑, 从中解得1
ˆ1ln n
i
i n
x
θ==--∑
即为所求θ的最大似然估计量。

4、设有一批钢珠，其直径服从2~(,)X N μσ，今随机抽查了八个，测得直径如下（单位mm ）：5.90,6.01,6.12,5.98,6.00,5.94,6.07,5.92，对给定的0.01α=，(1)已知21σ=；(2)未知2σ，请给出μ的置信度为0.99的置信区间。

分析：这是期望的区间估计问题，参阅教材P234～P237的内容及例题。

解答：因为=0.01α，8n =， 5.9925x =, 8
2
21
1ˆˆ( 5.9925)0.005621, 0.0757k k x σσ==-==∑ 。

（1）当21σ=时, μ的置信度为0.99的置信区间为：
2
=1=10.005=0.9952
U αα
Φ-
-（），查正态分布数值表求得临界值2
2.575U α=，于是
/2 5.9925 2.575 5.99250.9104 5.0821x U α-=-=-=
/2
5.9925 2.575 5.99250.9104
6.9029x U α+=+=+= 即μ的置信水平为0.99的置信区间是[5.0821,6.9029]。

（2）当σ2未知的情况下，μ的置信度为0.99的置信区间为：
/2/2[((x t n x t n αα--+-
因为8,0.01n α==，查t 分布临界值表可得/2(7) 3.4995t α=，计算得
/2( 5.9925 3.4995 5.99250.0928 5.8997x t n α--==-=
/2ˆ( 5.9925 3.4995 5.99250.0928 6.0853x t n α+-=+
=+= 即μ的置信水平为0.99的置信区间是[5.8997,6.0853]。

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5、测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）： 108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
测量值可认为是服从正态分布N (,)μσ2的，求μ与σ2的估计值，并在（1）σ225=.；（2）
σ2未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间。

分析：这是期望的区间估计问题，参阅教材P234～P237的内容及例题。

解答：ˆ110x μ
==, 5
2
2
21
1ˆ(110) 1.8754k k s x σ===-=∑ 。

（1） 当σ225=.时, μ的置信度为0.95的置信区间为：
2
=1=10.025=0.9752
U αα
Φ-
-（），查正态分布数值表求得临界值2
1.96U α=，于是
/2110 1.96110 1.386108.614x U α-=-=-=
/2
110 1.96110 1.386111.386x U α+=+=+= 即μ的置信水平为0.95的置信区间是[108.614,111.386]。

（2）当σ2未知的情况下，μ的置信度为0.95的置信区间为：
/2/2[((x t n x t n αα--+-
因为5,0.05n α==，查t 分布临界值表可得/2(4) 2.7764t α=，计算得
/2(110 2.7764110 1.7108.3x t n α--==-=
/2ˆ(110 2.7764110 1.7111.7x t n α+-==+= 即μ的置信水平为0.95的置信区间是[108.3,111.7]。

6、测试某种材料的抗拉强度，任意抽取10根，计算所测数值的均值与方差，得
10112010i i X X ===∑ 102
21
1() 2.5101i i S ξξ==-=-∑
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假设抗拉强度,试以95％的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间。

分析：这是期望的区间估计问题，参阅教材P234～P237的内容及例题。

解答：因为σ2未知，故μ的置信度为0.95的置信区间为：
/2/2[((x t n x t n αα--+-
因为10,0.05n α==，查t 分布临界值表可得/2(9) 2.2622t α=，计算得
/2(20 2.262220 1.131118.8689x t n α--==-=
/2(20 2.262220 1.131121.1311x t n α+-==+= 即以95％的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间是[18.8689,21.1311]。

7、设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立？
分析：这是正态总体的假设检验问题。

μ未知，2σ已知，用U 检验法来检验。

解答：作假设01:20 :20H H μμ=≠，
由题中已知样本均值17x =，10n =020μ=，04σ=
取检验统计量~(0,1)x U N =
，
计算检验量值||3U =
=,
已知显著性水平α=005.，查标准正态分布数值表得临界值0.025 1.96U = 因为3 1.96U =>，即小概率事件在一次试验中发生了，故拒绝H 020:μ=。

8、某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
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问用新材料做的零件平均长度是否起了变化？（α=005.）
． 分析：这是正态总体的假设检验问题。

μ未知，总体方差2σ未知，用t 检验法来检验。

解答：作假设01:20 :20H H μμ=≠，
由于总体方差2σ
未知，故选用统计量x T =
已知020μ=，8n =，计算样本均值、样本方差和统计量值，
20.0125x = ,样本方差2
2
110.4689ˆ()0.06717
n i
i x x n σ==-==-∑
0.0125
0.13660.0915x T =
===
显著性水平α=005.，查t 分布临界值表（自由度是7）得0.025(7) 2.3646t = 因为0.0250.1366(7) 2.3646T t =<=
故接受0H , 认为用新材料做的零件平均长度没有起变化。

9、从一批袋装食盐中随机抽取5袋称重，重量分别为（单位：g ）： 1000，1001，999，994，998
假设这批食盐的重量服从正态分布，试问这批食盐重量的均值可否认为是1000g?( 05.0=α)。

分析：这是正态总体的假设检验问题。

μ未知，总体方差2σ未知，用t 检验法来检验。

解答：作假设01:1000 :1000H H μμ=≠，
由于总体方差2σ
未知，故选用统计量x T =
已知01000μ=，5n =，计算样本均值、样本方差和统计量值，
998.4x = ,样本方差
.
；.
2
21
52222211ˆ()11[(1000998.4)(1001998.4)(999998.4)(994998.4)(998998.4)]5129.27.34
n
i i i x x n σ===--=-+-+-+-+--==∑∑
1.6
1.32421.2083T =
===
显著性水平α=005.，查t 分布临界值表（自由度是4）得0.025(4) 2.7764t = 因为0.0251.3242(7) 2.3646T t =<=
故接受0H , 认为这批食盐重量的平均值为1000g 。

10、正常人脉搏数均值为72次/分，230σ=，现某医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏如下：（单位：次/分）68，70，66，67，54，78，67，70，65，69（脉搏数服从正态分布，取0.05α=）。

问：（1）四乙基铅中毒患者的脉搏数与正常人脉搏数有无显著差异？ （2）如果方差2σ未知，则两者的脉搏数有无显著差异？
分析：这是正态总体的假设检验问题。

（1）μ未知，2σ已知，用U 检验法来检验。

（2）
μ未知，总体方差2σ未知，用t 检验法来检验。

解答：由题中已知样本均值72x =，10n =072μ=，04σ=
计算1
167.4n
i i x x n ===∑，
102
22
1111316.4ˆ()(67.4)35.1556199
n i i
i i x x x n σ===-=-==-∑∑，ˆ 5.9292σ=。

（1）设01:72,:72H H μμ=≠ ,
取检验统计量~(0,1)x U N =
, 则
4.6
||=2.65591.732U =
=
.
；. 已知显著性水平α=005
.，查标准正态分布数值表得临界值
0.025
1.96
U=
因为 2.6559 1.96
U=>，即小概率事件在一次试验中发生了，故拒绝
:72
Hμ=。

故拒绝
H，认为四乙基铅中毒患者的脉搏数与正常人脉搏数有显著差异。

（2）设
01
:72,:72
H H
μμ
=≠,
取检验统计量
x
T=，则
4.6
2.4533
1.875
T====,
显著性水平α=005
.，查t分布临界值表（自由度是9）得
0.025
(9) 2.2622
t=
因为
0.025
2.4533(9) 2.2622
T t
=>=
故拒绝
H，认为两者脉搏数有显著差异。