最新版人教a版高中数学必修一第一章测试题含答案资料

第一章 章末检测题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U ＝{0，1，2，3}且∁U A ＝{0，2}，则集合A 的真子集共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案 A
2.设S ，T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T)等于( ) A.S ∩T B.S C.∅ D.T
答案 B
解析 ∵S ∩T ⊆S ，∴S ∪(S ∩T)＝S.
3.已知全集U ＝Z ，A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x|x 2＝x}，则A ∩(∁U B)为( ) A.{－1，2} B.{－1，0} C.{0，1} D.{1，2}
答案 A
4.已知A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f 是从A 到B 的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.2个
答案 A
5.已知f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －5x 2
（x ≤5），
f （x －2） （x>5），则f(8)的函数值为( )
A.－312
B.－174
C.174
D.－76
答案 D
6.已知函数y ＝f(x)在区间[－5，5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是( ) A.f(4)>f(－π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3) C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(－3)>f(－π)>f(－4)
答案 D
7.设f(x)是R 上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3
x)，则当x ∈(－∞，0)时，f(x)等于( )
A.x(1＋3
x) B.－x(1＋3x) C.－x(1－3
x) D.x(1－3
x)
答案 C
8.当1≤x ≤3时，函数f(x)＝2x 2－6x ＋c 的值域为( ) A.[f(1)，f(3)] B.[f(1)，f(3
2)]
C.[f(3
2)，f(3)]
D.[c ，f(3)]
答案 C
9.已知集合M ⊆{4，7，8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
答案 B
解析 M 可能为∅，{7}，{4}，{8}，{7，4}，{7，8}共6个.
10.若函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f （2x ）
x －1的定义域是( )
A.[0，2]
B.(1，2]
C.[0，1)
D.以上都不对
答案 C
11.已知二次函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，对任意x ∈R 有( ) A.f(1－x)＝f(1＋x) B.f(－1－x)＝f(－1＋x) C.f(x －1)＝f(x ＋1) D.f(－x)＝f(x)
答案 A
12.已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x 2
－2x ，F(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧g （x ），若f （x ）≥g （x ），
f （x ），若f （x ）<
g （x ）.则F(x)的最值是
( )
A.最大值为3，最小值－1
B.最大值为7－27，无最小值
C.最大值为3，无最小值
D.既无最大值，又无最小值
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知集合A ＝{x ∈N |8
2－x ∈N }用列举法表示A ，则A ＝________.
答案 {0，1}
解析 由8
2－x ∈N ，知2－x ＝1，2，4，8，又x ∈N ，
∴x ＝1或0.
14.已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{3，4}，A ∪B ＝{1，2，3，4}，则m ＝________. 答案 2
15.国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________元. 答案 3 800
16.若直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________.
答案 1<a<54
解析 由图知a>1且抛物线顶点的纵坐标小于1.
即⎩⎨⎧a>1，4a －14
<1⇒1<a<54
.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知全集U ＝{x|x －2≥0或x －1≤0}，A ＝{x|x<1或x>3}，B ＝{x|x ≤1或x>2}，求A ∩B ，A ∪B ，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B).
解析 全集U ＝{x|x ≥2或x ≤1}，∴A ∩B ＝A ＝{x|x<1或x>3}； A ∪B ＝B ＝{x|x ≤1或x>2}；(∁U A)∩(∁U B)＝∁U (A ∪B)＝{2}； (∁U A)∪(∁U B)＝∁U (A ∩B)＝{x|2≤x ≤3或x ＝1}.
18.(12分)设A ＝{－3，4}，B ＝{x|x 2－2ax ＋b ＝0}，B ≠∅，且A ∩B ＝B ，求a ，b 的值. 解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或{－3}或{4}或{－3，4}. (1)若B ＝∅，不满足题意.∴舍去.
(2)若B ＝{－3}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－2a ）2
－4b ＝0，
9＋6a ＋b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.
(3)若B ＝{4}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－2a ）2
－4b ＝0，16－8a ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，
b ＝16.
(4)若B ＝{－3，4}，则⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝（－2a ）2－4b>0，
9＋6a ＋b ＝0，
16－8a ＋b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，
b ＝－12.
19.(12分)已知函数f(x)＝1
1＋x 2
.
(1)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并证明你的结论； (2)求出函数f(x)在[－3，－1]上的最大值与最小值.
解析 (1)设任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，而f(x 1)－f(x 2)＝
11＋x 1
2
－11＋x 22
＝
（x 2＋x 1）（x 2－x 1）
（1＋x 12）（1＋x 22
），由x 1＋x 2<0，x 2－x 1>0，得f(x 1)－f(x 2)<0，得f(x 1)<f(x 2)，故函数f(x)＝
1
1＋x 2
在(－∞，0)上为单调递增函数. (2)f(x)min ＝f(－3)＝
110，f(x)max ＝f(－1)＝12
， 故f(x)在[－3，－1]上的最大值为12，最小值为1
10
.
20.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本价)?
解析 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－51
0.02
＝550. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格为51元.
(2)当0<x ≤100时，P ＝60.
当100<x<550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x
50.
当x ≥550时，P ＝51.
所以P ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤10062－x
50，100<x<550，x ∈N 51，x ≥550.
(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则 L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤10022x －x
2
50，100<x<550，（x ∈N ）11x ，x ≥550.
当x ＝500时，L ＝6 000； 当x ＝1 000时，L ＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元.
21.(12分)求函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[0，2]上的最值. 解析 f(x)＝x 2－2ax －1＝(x －a)2－a 2－1，
(1)当a ≤0时，f(x)在[0，2]上为增函数，∴f(x)的最小值为f(0)＝－1，最大值为f(2)＝3－4a. (2)当0<a ≤1，f(x)在[0，a]上为减函数，在[a ，2]上为增函数，且f(2)>f(0).∴f(x)的最大值为f(2)＝3－4a ，f(x)的最小值为－a 2－1.
(3)当1<a<2时，f(x)在[0，a]上为减函数，在[a ，2]上为增函数，且f(0)>f(2)，∴f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a 2－1.
(4)当a ≥2时，f(x)在[0，2]上为减函数，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为3－4a. 22.(12分)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， 当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y). (1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f(1
3)＝－1，求满足不等式f(x)－f(x －2)≥2的x 的取值范围.
解析 (1)令x ＝y ＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y ＝1x ，得f(1)＝f(x)＋f(1x )＝0，故f(1
x )＝－f(x).任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(1x 1)＝f(x 2
x 1).
由于x 2x 1>1，故f(x 2
x 1)>0，从而f(x 2)>f(x 1).
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(3)由于f(13)＝－1，而f(1
3
)＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x ＝y ＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x －2)≥f(9)，∴f(x)≥f[9(x －2)]，∴x ≤94.又⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x －2>0，
∴2<x ≤9
4
.
∴x 的取值范围是(2，9
4
].
1.已知集合A ＝{x|x>1}，B ＝{x|－1<x<2}，则A ∩B 等于( )
A.{x|－1<x<2}
B.{x|x>－1}
C.{x|－1<x<1}
D.{x|1<x<2}
答案 D
2.已知函数f ：A →B(A ，B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A ，B ，M ，N 的关系是( )
A.M ＝A ，N ＝B
B.M ⊆A ，N ＝B
C.M ＝A ，N ⊆B
D.M ⊆A ，N ⊆B 答案 C
解析 值域N 应为集合B 的子集，即N ⊆B ，而不一定有N ＝B.
3.根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天t ∈N *)的关系满足下图，日销售Q(件)与时间t(天)之间的关系是Q ＝－t ＋40(t ∈N *).
(1)写出该产品每件销售价格P 与时间t 的函数关系；
(2)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？
(日销售金额＝每件产品销售价格×日销量)
解析 (1)根据图像，每件销售价格P 与时间t 的函数关系为：
P ＝⎩
⎪⎨⎪⎧t ＋30 （0<t ≤20，t ∈N *
），50 （20<t ≤30，t ∈N *
）.
(2)设日销售金额为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（t ＋30）（－t ＋40）（0<t ≤20，t ∈N *
），
－50t ＋2 000 （20<t ≤30，t ∈N *
）
＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200（0<t ≤20，t ∈N *
），－50t ＋2 000 （20<t ≤30，t ∈N *
）.
若0<t ≤20，t ∈N *时，y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝－(t －5)2＋1 225，
∴当t ＝5时，y max ＝1 225；若20<t ≤30，t ∈N *时，y ＝－50t ＋2 000是减函数.
∴y<－50×20＋2 000＝1 000，因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1 225元.
4.若函数f(x)＝12x 2－x ＋3
2的定义域和值域都是[1，b]，求b 的值.
解析 由条件知，f(b)＝b ，且b>1，即12b 2－b ＋3
2＝b.解得b ＝3.。