根系关系

c b 那么x1+x2= , x1x2= a a
韦达（1540－1603）
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间 有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理
(一元二次方程的根与系数的关系)
(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 如果方程ax2+bx+c=0(
c b 那么x1+x2= , x1x2= a a
1 k 2 k1 0, k 2 4
∴ k=0
检验△
变式练习：
（ 1 ）已知方程 x 2 +kx+k=0 有两个实数根， 且两根的平方和为3，求k的值。
（ 2 ）若方程 2x 2 -mx-4=0 的两个实数根为 1 1 2 ，若存在， x1,x2，是否存在m使得 x1 x2 求出m的值。若不存在 说明理由。
（2）2x2 -3x =4
（3）2x2 - 6x =0 x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
x1x2= 4 3
（4）3x2
2、不解方程，检验方程的解是否正确 (1)x2+4x-3=0的解为x1=1，x2=-3
3 (2)4x2+7x+3=0的解为x1=-1,x2= 4
2 x 58 22 0
x1 x2 的值为整数的实数 2 （2）求使 k的整数值。 x2 x1
课后思考
2、已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0 k 为何值时，方程有两个负数根？
( x1 x2 ) ( x1 x2 )2 4x1x2
2
整体思想
( x1 1)(x2 1) x1 x2 x1 x2 1
2 x2 x1 x12 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
二、求代数式的值
三、求字母参数的值。
例4、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个 实数根，且x12+x22=4，求k的值。
解：由题意得
0 x x 2( k 1) 1 2 2 x x k 1 2 2 2 x x 1 2 4
易错点:
4(k 1) 2 4k 2 0 2 2 2 2 x x 4 ( k 1 ) 2 k 4 2 1
1 1 (1) (2) x12+x22 x1 x2
。求：
(3) (x1-x2)2
, x1 ·x2=-9
总结解题方法：
总结常用对称式用两根和、两根积表示 体现了什么数学思想？
x1 x2 1 1 x1 x2 x1 x2
转化思想
2
x x ( x1 x2 ) 2x1x2
2 1 2 2
观察猜想： （1）两根之间有什么关系？异同 （2）两根与系数还有没有更简根系关系
韦达定理 法国数学家弗朗索瓦.韦达于 1615年在著作《论方程的识 别与订正》中建立了方程根与 系数的关系，提出了这条定理。
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个根是x1 , x2 ,
变式练习
3、若关于x的方程 kx2 2(k 1) x k 1 0 有两个不相等的实数根，是否存在实数 k ，使此方程的两个实数根的倒数和等 于0？若存在，求出k的值，若不存在， 请说明理由。
课堂小结
1、韦达定理：
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当△≥0时有两根为 x1 , x2 , 那么，x1+x2= b , x1x2= c
二、求代数式的值
例2、 已知x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 解：由韦达定理知 x1+x2= - 2 (3) (x1-x2)2 =x12+x22-2x1x2 =(x1+x2)2-4x1x2 =(-2)2-4×(-9) =40
1、转化成两根和、两根积的形式； 2、韦达定理算出两根和、两根积； 3、整体代入求值。
2
的两根之和；
3x 50x 87 0
2
的两根之积；
我的年龄？？
活动三： 韦达定理的应用
一、已知方程一根求另一根
例 1 、已知方程 2x 2 +mx+3=0 有一根为 1 ， 你能求出另一根和m的值吗？
方法总结：1、根的含义； 2、韦达定理；
二、求代数式的值
例2、已知x2+2x-9=0的两根是x1 ,x2 (1)
例3、已知一元二次方程x2-3x-5=0的两 2 2 根为x1,x2，求 x1 x2 3x1 3x2 的值。
方法总结： 1、根的含义；
2、韦达定理；
变式练习： 已知方程 x 2 2 x 7 0 （1）求 m m n 2m
2
的两根为m,n，
（2）求 m2 3n 2 4n 的值。

2、韦达定理的应用:
a
a
（1）已知方程一根求另一根 （2）求代数式的值（对称式、非对称式）
（3）求字母参数的值（注意检验△） 整体思想 转化思想 3、数学思想：
课后思考
1、已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两 个实根. （1）是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2成 立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.
1 1 x1 x2
。求：
(2) x12+x22
(3) (x1-x2)2
解： 由韦达定理知 x1+x2=-2 , x1 ·x2=-9 1 1 x1 x2 2 2 (1) = = = 9 9 x x x x 1 2 1 2
（2）x12+x22 ＝ (x1＋x2)2 -2x1x2 ＝(-2)2 -2×(-9)＝22
如果方程x2+bx+c=0的两根是x1 那么x1+x2= －b , x1x2=
△≥0
注意：使用韦达定理的前提条件是什么？ 特别地：当a=1时，
，x2，
c
活动二： 熟悉韦达定理
1、说出下列方程的两根和与两根积： x1x2=-1
1 x1x2= 4
（1）x2 - 2x - 1=0 x1+x2=2
1 3 + =0 x1+x2= 2 2
2 x 58 22 0
2
的两根之和；
3x 50x 87 0
2
的两根之积；
我的年龄？？
回顾：
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式：
当 0时， x1,2=
2
2 b b 4ac 2a
2 b b 4ac b b 4 ac x1 x2 2a 2a