北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．
用符号语言表示为：如图1－1所示；在△ABC 中；∵AB ＝AC ；∴∠B ＝∠C ．
定理的证明：
取BC 的中点D ；连接AD ．
∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．
拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等；都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角；不能是钝角或直角；但顶角可以是锐角、钝角或直角．
(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a ；底边长为b ；则2
b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ；底角为∠B ；∠C ；则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
(1)用符号语言表示为：如图1－3所示；
①在△ABC 中；∵AB ＝AC ；∠1＝∠2；∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；
②在△ABC 中；∵AB ＝AC ；AD ⊥BC ；∴∠1＝∠2；BD ＝DC ；
③在△ABC 中；∵AB ＝AC ；BD ＝DC ；∴∠1＝∠2；AD ⊥BC ．
(2)推论1的证明．
①在△ABC 中；∵AB ＝AC ；∠1＝∠2；AD ＝AD ；
∴△ABD ≌△ACD (SAS)．
∴BD ＝DC ；∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴AD ⊥BC ．
②在△ABC 中；∵AD ⊥BC ；∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．
∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．又AD＝AD；∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．
∴∠1＝∠2；BD＝CD．
③在△ABC中；∵AB＝AC；AD＝AD；BD＝CD；
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1＝∠2；∠ADB＝∠ADC＝90°；∴AD⊥BC.
(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.
推论2：等边三角形的三个角都相等；并且每个角都等于60°．
(1)用符号语言表示为：如图1－4所示；
在△ABC中；∵AB＝BC＝AC；∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
(2)推论2的证明：
∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．
∵AB＝BC；∴∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°；即3∠A＝180°；
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．用符号语言表示为：如图1－6所示；在△ABC中；
∵∠B＝∠C；∴AB＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D；则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝∠C；AD＝AD；∴△ABD≌△ACD(AAS)；
∴AB＝AC．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．
拓展如图1－6所示；在△ABC中；
(1)如果AD⊥BC；∠1＝∠2；那么AB＝AC；
(2)如果AD⊥BC；BD＝DC；那么AB＝AC；
(3)如果∠1－∠2；BD＝DC；那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示；在△ABC中；∵AB＝AC；∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)；∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中；∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝60°；∴∠B＝∠C＝
180
2
A
-∠
＝60°
∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°；∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°；∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示；在△ABC中；∵∠A＝∠B＝∠C；∴AB＝AC＝BC．
(3)推论2的证明：
在△ABC中；∵∠A＝∠B；∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C；∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义；证明三条边相等；
(2)根据推论1；证明两条边相等；有一个角是60°；
(3)根据推论2；证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中；如果一个锐角等于30.；那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示；在Rt △ABC 中；∵∠C ＝90°；∠A ＝30°；∴BC ＝21AB ．
(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法 先假设命题的结论不成立；然后从假设出发；推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；从而否定假设；证明命题的结论一定成立；这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法；用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设；从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中；都是通过构造全等三角形；转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想；把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时；注意推理的规范性和逻辑的严密性；不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有；作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD ；如图1－2所示.
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知AD AD AC AB
∴△ABD ≌△ACD (SAS).
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)
课堂检测
1、如图1－10所示；在△ABC 中；AB ＝AC ；AD ＝
32AC ；AE ＝3
2AB ．求证BD ＝CE ．
2、如图1－12所示；已知点D；E在△ABC的边BC上；AB＝AC；AD＝AE．求证BD＝CE．
3、如图1－13所示；已知∠CAE是△ABC的一个外角；∠1＝∠2；AD∥BC；
求证△ABC是等腰三角形．
4、下面是数学课堂的一个学习片段；阅读后；回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后；张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A 等于30°；求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后；李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上；你的意见如何?为什么?
5、已知等边三角形ABC和点P；设点P到△ABC三边AB；AC；BC的距离分别是h1；h2；h3；△ABC 的高为h；若点P在边BC上；如图1－17(1)所示；此时h3＝0；可得结论：h1+h2+h3＝h．请直接应用上述信息解决下列问题：
点P在△ABC内；如图1－17(2)所示．点P在△ABC外；如图1－17(3)所示；这两种情况时；上述结论是否还成立?若成立；请给出证明；若不成立；h1；h2；h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想；不需证明．
体验中考
1、已知等腰三角形ABC 的周长为10．若设腰长为x ；则x 的取值范围是
．
2、如图1－20所示；在△ABC 和△DEF 中；AB ＝DE ；BE ＝CF ；∠B ＝∠1．求证AC ＝DF (要求：写出证明过程中的重要依据)．
2直角三角形
知识概览图
知识点1 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；即c 2＝a 2+b 2(c 为斜边长)． √勾股定理的作用．
(1)已知直角三角形的两边求第三边．
(2)已知直角三角形的一条边；求另外两条边的数量关系．
(3)用于证明平方关系的问题．
(4)利用勾股定理作出长为n 的线段．
勾股定理的各种表达形式．
勾股定理：a 2+b 2＝c 2（a ；b 为直角边长；c 为斜边长）
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方；那么
这个三角形是直角三角形
互逆命题与互逆定理 直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（ＨＬ）
直角三角形
在Rt △ABC 中；∠C ＝90°；∠A ；∠B ；∠C 的对边长分别为a ；b ；c ；则a 2＝c 2－b 2；b 2＝c 2－a 2；c 2＝a 2+b 2；c ＝22b a +；a ＝22b c -；b ＝22a c -．
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方；那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．
勾股定理是直角三角形的性质定理；而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理． 直角三角形的判定．
(1)首先确定最大边(如c )．
(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系．
若c 2＝a 2+b 2；则△ABC 是直角三角形；
若c 2≠a 2+b 2；则△ABC 不是直角三角形．
勾股数．
(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．
(2)勾股数必须是正整数．如3；4；5；5；12；13等．
拓展 应用勾股定理时；必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时；一定是最长边所对的角是直角；其他两边所对的角是锐角．
知识点2 互逆命题与互逆定理
在两个命题中；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件；那么这两个命题称为互逆命题；其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
拓展 每个命题都有逆命题．原命题是真命题；而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理；这两个定理称为互逆定理；其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
拓展 每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.
知识点3 直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL ”表示．
√定理的作用：判定两个直角三角形全等．
√定理的证明：如图1－30所示；已知Rt △ABC ；Rt △A ′B ′C ′；∠C ＝∠C ′＝90°；AB ＝A ′B ′；AC ＝A ′C ′；求证Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′．
证明：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中；∠C ＝∠C ′＝90°；
∴BC ＝22AC AB -；B ′C ′＝22C A B A ''-''.
∵AB ＝A ′B ′；AC ＝A ′C ′；∴BC ＝B ′C ′．
∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(SSS)．
知识拓展 “HL ”是直角三角形所独有的判定定理；对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时；这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件；只需找出另外两个条件即可；而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样；只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．
课堂检测
1、写出命题“同位角相等；两直线平行”的逆命题；并判断真假．
2、如图1－31所示；在Rt △ABC 中；∠ACB ＝90°；AB ＝50；
BC
＝30；CD ⊥AB 于点D ；求CD 的长．
3、在正方形ABCD 中；如图1－32所示；F 为DC 的中点；E 为BC 上一点；且EC ＝41BC ；求证∠EF A ＝90°．
4、试判断三边长分别为2n 2+2n ；2n +1；2n 2+2n +1(n ＞0)的三角形是否是直角三角形．
5、如图1-38所示；一艘货轮向正北方向航行；在点A 处测得∠MAD ＝30°；货轮以每小时20海里的速度航行；1小时后到达B 处；测得∠MBD =45°；该货轮到达灯塔M 的正东方向的D 处时；货轮与灯塔M 的距离是多少?(精确到0．1海里；3≈1．732)
体验中考
1、如图1-41所示；在△ABC中；AB=AC；AD是底边上的高；若AB=5 cm；BC=6 cm；求AD的长度．
2、如图1－45所示；在直角梯形ABC D中．A D∥BC；∠ABC＝90°；DE⊥AC于点F；交BC于点G；交AB的延长线于点E；且A E＝AC．
（1）求证B G＝FG；
（2）若A D＝D C＝2；求AB的长．。