高中数学新教材《4.2.2等差数列的前n项和(1)》公开课优秀课件(好用)

n(a1 an ) 2
50 (7 101) 2
2700
(2)若a1
=2，a
2
=
5 2
，求S10
解：Sn
na1
n(n 1) 2
d
S10
10 2 10 (10 1) 2
1 2
85 2
(3)若a1
1 2
,d
1 6
,
Sn
5, 求n.
解:
由Sn
na1
n(n 1) 2
d,得
5 1 n n(n 1) ( 1).
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
三、巩固新知
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
s21
(1
21) 2
21
1
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和， 很有创意，用数学式子表示就是：
1+ 2+ 3+ 4+……+探21究了以上两个实 21+20+19+18+……+际们1问对题数的 列求 求和 和， 有我 了 对齐相加（其中下第二行的式一子定与的认第识一，行那的么
能否将“倒序相加
n 2n n2
2
2
3解：原式＝1 3 5 …+2n 1 2+4+6+…+2n
n
1
2n
2
1
n2
2
2n
n2
n
n
1
n
4.例7. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,
前20项的和是1220， 由这些条件能确定这个等 差数列的首项和公差吗?
2100aa11++14950dd==1321200
那么，对一般的等差数列，如何求它的 前n项和呢？
倒序相加法 如何才能
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和右将为S边等na化.1式，简的项？ 数
Sn a1 a2 a3 an ①
Sn an a n1an2 a1 ②
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题1就是：计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
掌握与应用
对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.
方程(组)思想 (待定系数法)
四、课堂小结
1.等差数列前n项和的公式； （两个）
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2.等差数列前n项和公式的推导方法 ——倒序相加法；
3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可 求出另两个元素.
2
2
6
整理,得n2 7n 60 0.
解得, n 12,或n 5(舍去).
所以, n 12.
3.变式练习
提示：
n=76
计算
（1） 5+6+7+···+79+80 3230
（2） 1+3+5+···+（2n-1）
n2
（3）1-2+3-4+5-6+···+（2n-1）-2n -n
2解：1 3 5 …+2n 1 n 1 2n 1
通过前后比较得出认识：高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
1 2 3 21
21 20 19
获得算法：
人教A版2019高中数学新教材必修
第二册
4.2.2 等差数列的前n项的和(1)
一、情景引入
高斯（Gauss,1777-1855）， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一，他与阿基米德、牛顿齐 名，是数学史上一颗光芒四射 的巨星，被誉为“数学王子”.
式子恰好是倒序）法”推广到任意一 这实质上是我们数学中一种求个和等的差重数要列方呢？法
倒序相加法
倒序相加法
平行四 三边角形形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
由于an a1 n 1d, 故
Sn
na1
n(n 1) 2
d
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆 等差数列前 n 项和公式.
a1 n
an
Sn
n(a1 2
an )
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1 an(n-1)d
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
500
（2）a1=100，d=－2，n=50
2550
解：1
Sn
n(a1 2
an )
10 (5 95) 500
2
2 Sn
na1
n(n 1) 2
d
50100 50 (50 1) -2 2550
2
2.例6 已知数列｛an｝是等差数列： （1）a1=7，a50=101，求S50
解：1 Sn
传说陵寝中有一个三角形图案， 以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有100层（见左图），奢靡之程 度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝 石吗？
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
ad1==64
S30 = ？
Sn ？
2730
Sn
4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
5.变式练习
a 1).已知在等差数列{an}中， 3 a5 40 ，.
求S7.
S7
=
7(a1
+ a7 ) 2
=
7 ´40 2
=
140
5.变式练习
2).求集合 M m m 7n, n N*且m 100的元素个
作业: 课本P24 习题
1题
谢 谢指导！
仍是 知三
答案: 27 提示：999 n20+54
2
求一 4).等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
提示： d 4,54 10n nn 1 4
2
n2-6n-27=0
5.变式练习
5).已知一个共有n项的等差数列前4项之和 为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
数，并求这些元素的和.
解：由
7n 100
得
n
100 7
14
2 7
∴正整数 n共有14个即 M 中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是以 a1 7 为首项，
以 a14 98 为末项的等差数列.
∴
Sn
14 (7 2
98)
735
5.变式练习
3). 在等差数列an中，
a1 20, an 54, Sn 999,求n.
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾 配对
第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；
中间的一 组数是什 么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101就等于5050了。高斯算法将加法问题
转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
100
S100
=
100a1
+100 ´ 99 2 Nhomakorabead
=
10
a1
+
9 2
d
=
10
a1
+
99 2
d
=
1 10
\
d
=
-
22 100
,a1
=
1099 100
S110
=
110a1
+
110
´109 2
d
=
-110
知识打包 存放备用
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
倒序求和法
an=a1+(n-1)d
提示：a1+a2+a3+a4=26
n=11
an+an-1+an-2+an-3=110 a1+an=34
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
5.变式练习
6).在等差数列{an}中,S10 = 100,S100 = 10,求S110
{ Þ{ 解：S10
=
10a1
+
10 ´ 9 2
d
=
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
2Sn n(a1 an )
即Sn
n(a1 2
an )
2.等差数列求和公式
的等前差n数项列和等差数列的前n项和的公式：
等于首末 两项的和 与项数乘 积的一半。
Sn
n(a1 2
an )
可知三 求一
不含d
思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；
问题2
商店的一个堆放铅笔的V形架上最上面一层 若放101支.你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？
问题就是：
计算：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 100 ＋ 101 思路1（拿出中间项，再首尾配对）
原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51
思路2（拿出末项，再首尾配对）
原式=(1+2+3+… + 100)+101
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101
二、探究新知
1.问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕 为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观， 纯白大理石砌建而成的主体建筑 叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1 2 3 (n 1) n ①
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项和.
21 2 3 (n 1) n n(n 1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2