2020年江苏卷数学高考题及答案

高考数学试卷
1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 【答案】{}0,2 【解析】 【分析】
根据集合的交集即可计算. 【详解】
∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2A B = 故答案为：{}0,2. 【点睛】
本题考查了交集及其运算，是基础题型．
2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】
∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.
本题考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】
∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19
【解析】 【分析】
分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】
根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.
点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41
369
P =
=.
故答案为：19
. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.
【答案】3- 【解析】 【分析】
根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值. 【详解】
由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3- 【点睛】
本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.
6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
2x a
﹣25y =1(a ＞0)的一条
【答案】3
2
【解析】 【分析】
根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】
双曲线22
215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为
y x =
，即2b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为3
2c a =.
故答案为：3
2
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23
f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】
先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】
2
3
(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-
故答案为：4- 【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属
8．已知2sin ()4
π
α+ =23
，则sin 2α的值是____.
【答案】1
3
【解析】 【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】
221sin ()()(1sin 2)4222
παααα+=+=+
121
(1sin 2)sin 2233
αα∴+=∴= 故答案为：1
3
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
【答案】2
π
【解析】 【分析】
先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
正六棱柱体积为2
624
⨯
⨯ 圆柱体积为21()22
2
π
π⋅=
所求几何体体积为2
π
故答案为： 2
π
【点睛】
本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．将函数
y =π
sin(2)43x ﹢的图象向右平移π6
个单位长度，则平移后
的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524
x π=- 【解析】 【分析】
先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】
3sin[2()]3sin(2)6412
y x x πππ
=-+=- 72()()122242
k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈
当1k =-时524x π
=-
故答案为：524
x π=-
【点睛】
本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是
_______． 【答案】4 【解析】 【分析】
结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意
1q ≠.
等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛
⎫=+=+- ⎪⎝⎭
， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b
Q q q
q q
-=
=-
+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211n
n b b d d n n n a n q q q ⎛⎫
-+-=
+--+ ⎪--⎝
⎭， 通过对比系数可知111
212211d
d a q b q
⎧=⎪⎪
⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒1
12021d a q b =⎧⎪=⎪⎨
=⎪
⎪=⎩，故4d q +=. 故答案为：4 【点睛】
本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.
12．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______． 【答案】4
【解析】 【分析】
根据题设条件可得4
2
2
15y x y -=，可得422
2
2
22114+5
55y y x y y y y -+=+=，利用基
本不等式即可求解. 【详解】
∵22451x y y += ∴
0y ≠且4
2
2
15y x y -=
∴422
2
2
221144+5555y y x y y y y -+=+=≥，当且仅当22145
5y y =，即
2231
,102
x y =
=时取等号. ∴22
x y +的最小值为45
.
故答案为：4
5
. 【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，
D 在边BC 上，延长AD
到P ，使得AP =9，若3
()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．
【答案】185
【解析】 【分析】
根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC
⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
与,,B D C 三
点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】
∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>，
∵32PA mPB m PC
⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，
∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，即32m m PD PB PC λλ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且3
2
m ≠
，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ
⎛⎫-
⎪⎝⎭+=，即3
2
λ
=
， ∵9AP =，∴3AD =， ∵4
AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，
设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.
∴根据余弦定理可得222cos 26
AD CD AC x
AD CD θ+-==⋅，
()()()
2
22257
cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==
⋅-，
∵()cos cos 0θπθ+-=，
∴()()2
57
0665x x x --+=-，解得185
x =，
∴CD 的长度为185
. 当0m =时， 3
2
PA PC =
，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32
m =
时，3
2PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 故答案为：0或18
5
.
【点睛】
本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：
221
()362
x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大
值是__________．
【答案】【解析】 【分析】
根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】
设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==
所以1
1)2
PAB
S
d ≤⋅+= 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）
当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即
PAB
S
取最大值为
故答案为：【点睛】
本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
15．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．
（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】
（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .
（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】
（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .
由于EF ⊂
/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥. 由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
3,45a c B ===︒．
（1）求sin C 的值； （2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-
，求tan DAC ∠的值．
【答案】（1）sin C =
；（2）2tan 11
DAC ∠=
.
【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .
（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】
（1）由余弦定理得2222cos 922352
b a
c ac B =+-=+-⨯=，所
以b =
由正弦定理得
sin sin sin sin 5
c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4
cos 5ADC ∠=-
，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭
，所以
3
sin 5
ADC ∠==.
由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝
⎭，所以0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以cos 5
C ==
. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠
sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅345555
25⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.
由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==
所以sin 2
tan cos 11
DAC DAC DAC ∠∠=
=∠.
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变
换，属于中档题.
17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式211
40h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式321
6800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.
（1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，
E 在AB 上(不包括端点).桥墩E
F 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3
2
k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与
EF 的总造价最低?
【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】
（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】
（1）由题意得
2311||40640||8040800
O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米
（2）设总造价为()f x 万元，21
||8016040
O O '=
⨯=，设||O E x '=， 32131
()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+
-+--<< 3221336
()(160),()()0208008080080
f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)
当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x
时，
()f x 取最小值，
答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【点睛】
本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y E +=的左、右焦
点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求△AF 1F 2的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；
（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．
【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长； （2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；
（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线
AB 的距离与213S S =，可推出9
5
d =
，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】
（1）∵椭圆E 的方程为22
143
x y +=
∴()11,0F -,()21,0F
由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=
（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.
∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴31,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
∵准线方程为4x = ∴()4,Q Q y
∴()()()()
2
00000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取
等号.
∴OP QP ⋅的最小值为4-.
（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()11,0F -
∴直线1AF 的方程为()3
14
y x =
+ ∵点O 到直线AB 的距离为3
5
，213S S =
∴21131
33252
S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅ ∴9
5
d =
∴113439x y -+=①
∵22
11143
x y +=② ∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127
127x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出9
5
d =是解答本题的关键.
19．已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．
（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，
，求h (x )的表达式；
（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，
，求k 的取值范围；
（3）若()422242
() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，
[]
, D m n =⊆⎡⎣，
求证：n m -
【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】
（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.
（2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.
（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立. 【详解】
（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.
因此22kx x x ≤+即()2
20x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，
所以()2
20k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.
（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =. 又()1
x F x k x
-'=⋅
. 若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10F x F ≤=，
即()()0h x g x -≤，不符合题意.
当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意.
当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10F x F ≥=，
即()()0h x g x -≥，符合题意. 综上所述，0k ≥.
由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2
110x k x k =-+++≥
当102
k x +=
<，即1k <-时，()2
11y x k x k =-+++在0,为增函数，
因为()()0010f h k -=+<，
故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.
当1
02k x +=
=，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102
k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤.
综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.
（3）因为()423422
243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意
[,][x m n ∈⊂恒成立，
()
42342
2432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，
等价于()222
()2320x t x tx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.
故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立. 令22()232M x x tx t =++-，
当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，
此时1n m t -+<<， 当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，
但()2342
48432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.
等价于()()()2322
443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.
()()()
2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，
则423
1212328
,4
t t x x t t x x --+=-⋅=，
所以12=n m x x --=.
令[]2
,1,2t λλ=∈，则n m -=. 构造函数()[]()32
5381,2P λλλλλ=-++∈，
()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，
所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.
所以()
max n m -=n m -≤【点睛】
本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
20．已知数列{}*
()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k
是常数，若对一切正整数n ，均有111
11k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．
（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列{}n a 是“2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公
式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1
（2）21,1
34,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
（3）01λ<< 【解析】
【分析】
（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得
11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；
（2）根据定义得111
22
2+1+1)n n
n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；
（3）根据定义得111333
+11n n n S S a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【详解】
（1）+1111
11101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/
（2）112
2
1100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->
111
2
2
2+1+1)n n
n n S S S S -=- 1
11111
2
222222+1
+1+11
()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+
111111
12
2
222
2+1+1+1+11()=2=443
n n n
n n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -= 1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥
21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩
（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.
111113
33
3
3
3
3+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 113
3
+1n n S S ∴=或1122112
3
3
33
3
3
3
+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S λ-=++
+1n n S S ∴=或221133
3
3
333
+1
+1(1)(1)(2)0n n n n S
S S S λλλ-+-++=
∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥
1,1
0,2
n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个
不等的正根.
()22113
3
3
3
3
33
+1+1
(1)(1)(2)01n n n n S S S
S λλλλ-+-++=≠可转化为
()213
3
3
3
3+1
+1
213
3
(1)(2)(1)01n n n
n
S S S S λλλλ-++-+
=≠，不妨设()13
10n n S x x S +⎛⎫=> ⎪
⎝⎭
，则()3233
(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设
()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.
① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3
010f λ=-<，33
(2)
02(1)
x λλ+=->-对，满足题意. ② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<
，即
1λ<<()3
010f λ=->，33
(2)02(1)
x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上，01λ<< 【点睛】
本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.
21．平面上点(2,1)A -在矩阵11a
b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
M 对应的变换作用下得到点
(3,4)B -．
（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．
【答案】（1）22
a b =⎧⎨=⎩；（2）1
21 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值；
（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解. 【详解】
（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
对应的变换作用下得到
点()3,4B -
∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩
（2）设1 m n M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1
2 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦
∴21
20
2021
m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得2515
1525m n c d ⎧
=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=
⎪⎪⎪=
⎩
∴1
2
1 551
2 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．
22．在极坐标系中，已知点1π
(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π
(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值
（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2
）)4
π
【解析】 【分析】
(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】
（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
11cos
2,43
π
ρρ=∴=，
因为点B
为直线6
π
θ=
上，故其直角坐标方程为y =
， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y
+-=，
由2240
y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩
解得00x y
==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪
⎩
对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，
5[0,2),,
44ππ
θπθ∈∴=
，
当4π
θ=
时ρ=
当54πθ=时
0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4
π
【点睛】
本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
23．设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．
【答案】22,3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】
1224x x x <-⎧⎨
---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧
⎨++≤⎩
21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203
x <≤ 所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
24．在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD ,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．
（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
（2）若点F 在BC 上，满足BF =14
BC ，设二面角F —DE —C 的
大小为θ，求sin θ的值．
【答案】（1）15（2）13
【解析】 【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】
（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥ 以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴
(1,0,2),(1,1,1)cos ,
AB DE AB DE ∴=-=∴<>=
=
从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为
15
（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =
11
20
0(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩
令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),
n x y z =11221117
100171(,,0),4244200
x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪
=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩
令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-
12cos ,n n ∴<>=
=
因此sin θ== 【点睛】
本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1·
q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．
【答案】（1）
112212716,,3
3
2727p q p q ====；；（2）()111222+33
n n n n p q p q --+=+ 【解析】 【分析】
（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】
（1）11131232
,333333p q ⨯⨯=
===⨯⨯， 211131211227
++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，
211231122222516
+0+3333333927
q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.
（2）1111131212
++333339
n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 111112*********
+(1)+33333393
n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯，
因此11
212
2+333n n n n p q p q --+=+， 从而1111121
2(2+),21(2+1)333
n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-，
即11111
21(2+1),2133
n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+.
又n X 的分布列为
故1()213n n n n
E X p q =+=+. 【点睛】
本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。