极坐标与直角坐标的相互转化

极坐标与直⾓坐标的相互转化
前⾔
在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，如下图所⽰。

则同样的⼏何对象[点，线，⾯，等等]，⽐如点 M ，它会既有平⾯直⾓坐标 (x ,y )，也会有极坐标 (ρ,θ)，那么这⼆者之间必然会有相互转化的桥梁。

相互转化
极坐标化为直⾓坐标，指的是将包含 ρ 和 θ 的⽅程 f (ρ,θ)=0 等价转化为不含有 ρ 和 θ ，⽽只含有 x 和 y 的⽅程 g (x ,y )=0，经常使⽤的变形有给等式的两边同时乘以 ρ[或除以 ρ ] ，或同时平⽅；
使⽤公式：ρ2=x 2+y 2，ρ⋅cos θ=x ，ρ⋅sin θ=y ，tan θ=y
x
；
举例：①ρ=2cos θ，两边同乘以ρ，得到ρ2=2ρcos θ，即 ；②ρ=√10
√1+9sin 2θ，两边同时平⽅并整理，得到ρ2(1+9sin 2θ)=10，
即ρ2+9(ρsin θ)2=10，即x 2+10y 2=10③ ρ=61−2cos θ
，
化简⽅法，去分母，移项[应该移动哪⼀项]，平⽅的顺序，
直⾓坐标化为极坐标，指的是将包含 x 和 y 的⽅程 m (x ,y )=0 等价转化为不含有 x 和 y ，⽽只含有 ρ 和 θ 的⽅程 n (ρ,θ)=0，经常使⽤的变形有给等式的两边同时除以 ρ；
使⽤公式：x 2+y 2=ρ2，x =ρ⋅cos θ，y =ρ⋅sin θ；
举例：③由x 2+y 2=2x 得到，即ρ2=2ρcos θ，即ρ(ρ−2cos θ)=0，
故得到ρ=0，或ρ=2cos θ，⽽ρ=2cos θ中包含ρ=0，
故得到结果为ρ=2cos θ，相当于上述变形中直接约去ρ ；
典例剖析№1 已知点 P 的直⾓坐标按伸缩变换
x ′=2x ,y ′=√3y 变换为点 P (6,−3)， 限定 ρ>0，0⩽θ<2π 时， 求点 P 的极坐标。

解 设点 P 的直⾓坐标为 (x ,y )，由题意得
6=2x ,−3=√3y , 解得 x =3,y =−√3,所以 点 P 的直⾓坐标为 (3,−√3)，
ρ=√32+(−√3)2=2√3， tan θ=−√33，
0⩽θ<2π， 点 P 在第四象限， θ=
11π6，
故点 P 的极坐标为 2√3,11π6 .
---End---您已经看到我的底线了---x 2+y 2=2x {{{()Processing math: 100%。