高中数学第1章空间几何体第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征学案新人教A版必修2(含答案)

高中数学学案：
1.1 空间几何体的结构
第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标核心素养1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结
构特征．(重点)
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)
3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点)通过对空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
1．空间几何体
类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的空间几何体叫做多面体
旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，其中定直线叫做旋转体的轴
2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱的结构特征
定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概
念底面：两个互相平行的面．侧面：底面以外的其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与底面的公共顶点
分类按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、…
[提示]根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．
(2)棱锥的结构特征
定义有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的
多面体叫做棱锥
图示及相关
概念底面：多边形面．
侧面：有公共顶点的三角形面．侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：各侧面的公共顶点
分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、…
思考：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？
[提示]不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
(3)棱台的结构特征
定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
图示及相关概
念上底面：原棱锥的截面．
下底面：原棱锥的底面．
侧面：除上下底面以外的面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…
思考：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？[提示]根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
1．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为() A．1个B．2个C．3个D．4个
D[每个三角形都可以作为底面．]
2．下面说法中，正确的是()
A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．] 3．下面属于多面体的是________(填序号).
①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．
①②[①②属于多面体，③④属于旋转体．]
棱柱的结构特征
【例1】(1)下列命题中，正确的是()
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
D[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
①②③
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D.]
(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
[解]①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND1.
有关棱柱结构特征问题的解题策略：
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[跟进训练]
1．下列关于棱柱的说法错误
．．的是()
A．所有棱柱的两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
C[对于A、B、D，
显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]
棱锥、棱台的结构特征
【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
①②③[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
]
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[解]①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点
[跟进训练]
2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是()
A．①是棱台B．②是圆台
C．③是棱锥D．④不是棱柱
C[图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥．图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平
行，所以④是棱柱．故选C.]
多面体的表面展开图
[探究问题]
1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？
[提示]棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：
2．棱台的侧面展开图又是什么样的？
[提示]棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．
【例3】(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则
这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
思路探究：(1)正方体的平面展开图⇒以其中一个面不动把其他面展开．
(2)常见几何体的定义与结构特征⇒空间想象或动手制作平面展开图进行实践．
[解](1)A[由选项验证可知选A.]
(2)解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
1.将本例(1)改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()
A．1B．6C．快D．乐
B[将图形折成正方体知选B.]
2．将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示．
(1)该几何体是哪种几何体？
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
[解](1)该几何体是四棱台．
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．四棱柱及特殊四棱柱
四棱柱――→底面是平行四边形平行六面体――→侧棱与底面垂直直平行六面体――→底面为矩形长方体――→底面为正方形正四棱柱――→侧棱与底面边长相等
正方体 3．棱柱、棱台、棱锥关系图
4．正棱锥与正棱台
(1)底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形中心的棱锥，叫正棱锥．
(2)正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
D [根据棱柱的定义进行判定知，这4个几何体都是棱柱．]
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A ．四棱柱
B ．四棱锥
C ．三棱柱
D ．三棱锥
D [根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
A B C D
D [A ，B ，C 中底面多边形的边数与侧面数不相等．]
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
5 3 [面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．]
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解]画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，
B′­A′BC，C′­A′B′C.
①②。