高中数学 专题1.3.3 函数的最大(小)值与导数教案 新人

函数的最大（小）值与导数
【教学目标】
1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
2．会求某闭区间上函数的最值．
【教法指导】
本节学习重点：会求某闭区间上函数的最值．
本节学习难点：理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
【教学过程】
☆复习引入☆
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.
☆探索新知☆
探究点一求函数的最值
思考1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗
答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．
思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
小结一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，
所以在开区间(a ，b )上若存在最值，则必是极值． 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤： 1．求导，确定函数在闭区间上的极值点． 2．求出函数的各个极值和端点处的函数值． 3．比较大小，确定结论． 例1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝2x 3
－12x ，x ∈[－2,3]； (2)f (x )＝1
2
x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．
x (－∞，－2)
－2 (－2，2)
2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)． 因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82，
f (－2)＝82；
所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.
(2)f ′(x )＝1
2＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，
解得x ＝23π或x ＝4
3
π.
计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋3
2
，
f (4
3π)＝23π－
32
. ∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.
反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝13x 3
－4x ＋4，x ∈[0,3]；
(2)f (x )＝e x
(3－x 2
)，x ∈[2,5]．
∴函数f (x )在[0,3]上的最大值为4，最小值为－4
3.
(2)∵f (x )＝3e x －e x x 2
，
∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2
＋2x －3) ＝－e x
(x ＋3)(x －1)，
∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x
(x ＋3)(x －1)<0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2
；
x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.
探究点二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2
(x －a )．
(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2
－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，
所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a
3.
当
2a
3
≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . 当
2a
3
≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a
3
<2，即0<a <3时，
f (x )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0
，2a 3上单调递减，在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2a 3
，2上单调递增，
从而f (x )max ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
8－4a ， 0<a ≤2，
0， 2<a <3，
综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
8－4a ， a ≤2，
0， a >2.
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？
从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－3
2
<a <0时，
f (x )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－1，2
3a 上单调递增；
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ＝－427a 3.
综上所述：f (x )max
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1－a ，a ≤－32
，
－4
27a 3
，－32<a <0，0，a ≥0.
探究点三 函数最值的应用
思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题． 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可． 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数． 例3 设函数f (x )＝2x 3
－9x 2
＋12x ＋8c ，
(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2
成立，求c 的取值范围．
(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，
∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，
∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
跟踪训练3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1 (x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t (0,1)1(1,2)
g′(t)＋0－
g(t)单调递增1－m 单调递减
∴对t∈(0,2)，当t max
∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，
∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)
☆课堂提高☆
1．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )有最小值f (x 0)
B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)
C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)
D ．函数f (x )不一定有最小值 【答案】A
【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值． 2．已知f (x )＝
12
x 2
－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数
B ．既有最大值又有最小值的偶函数
C ．仅有最大值的偶函数
D ．既有最大值又有最小值的奇函数 【答案】D
3．函数y ＝ln x
x
的最大值为( )
A ．e －1
B ．e
C ．e 2
D.103
【答案】 A 【解析】 令y ′＝
ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x
x
2
＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.
y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e
.
4．已知函数y ＝－x 2
－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154
，则a 等于( )
A ．－32
B.12 C ．－12
D.12或－32
【答案】 C
5．已知函数2
()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线1
2
y =-相切． （1）求b a ,的值；
（2）求()f x 在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值．
【解析】（1）()2a f x bx x '=-()f x 的图象在1x =处与直线1
2y =-(1)0,
1(1),2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩20,1,2a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1,
1.2
a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
（2）由（1）得21()ln 2
f x x x =-，定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x -'=-=，令()0f x '>，解得01x <<，
令()0f x '<，得1x >．
所以()f x 在1,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在(]1,e 上单调递减，
所以()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1
(1)2
f =-．
6．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b ，g (x )＝e x
(cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；
(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．
【解析】 (1)因为曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， 所以b ＝d ＝2；
因为f ′(x )＝2x ＋a ，故f ′(0)＝a ＝4；g ′(x )＝e x
(cx ＋d ＋c )，
故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
①若1≤k<e2，则－2<x1≤0，
从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)<0，
当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
②若k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)≥0在[－2，＋∞)上恒成立，
故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，
因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；
③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，
从而当x∈[－2，＋∞)时，
f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述k的取值范围为[1，e2]。