基于核心素养的数学思想方法的渗透——以“直线的点斜式方程”为例

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2021年第4期
中学数学教学参考（上旬>
f学论教基于核心素#的
数学思想方法的滲透
—以“直线的点斜式方程”妁例
李炜斌(浙江省温岭市第二中学）
摘要：基于核心素养的教学，要求教师在教学活动中，让学生在掌握知识与技能的同时，理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学思想。

本文以“直线的点斜式方程”为例，借助课堂实录，以问题链的形式阐述了如何设 计合理的教学方案，把握教学内容的本质，逐步渗透数形结合的思想方法，提升学生数学核心素养。

关键词：核心素养；思想方法；直线的点斜式方程
文章编号：1002-2171(2021)4-0030-03
1问题的提出
基于核心素养的教学，要求教师在教学活动中，使学生在掌握知识与技能的同时，理解知识的本质，感悟 知识所蕴含的数学思想。

学生数学思想方法的形成，需要在教师的启发和引导下，通过独立思考“悟”出来，是一种逐渐养成的思维习惯。

因此，如何设计合理的 教学方案，把握教学内容的本质，逐步渗透数学思想方 法，提升学生的核心素养，是教师必须认真思考的问 题。

笔者有幸参加了以“直线的点斜式方程”为课题的 市级课堂教学比赛，下面我们一起谈一谈在解析几何 起始课教学中，如何基于核心素养渗透数学思想方法。

2课前分析
解析几何的本质是以坐标系为桥梁，把几何问题 转化成代数问题，再通过代数的方法研究几何问题，其中蕴含了丰富的数学思想（分类与整合思想、特殊 与一般思想、化归与转化思想等），但最重要的思想方 法，即曲线与方程对应关系所体现的数形结合思想。

“直线的点斜式方程”是解析几何的起始章节，如何在 教学中渗透数形结合思想，让学生在感知图形和观察 抽象的过程中提升直观想象和数学抽象素养，对整个 解析几何的学习，具有深远影响。

3课堂实录
3.1创设问题情境，引入新课
教师：最近，在网上看到一则新闻，福建船员海上 突发疾病，我们温岭的全国道德模范郭文彪先生（平 安水鬼）连夜急救。

连他自己也记不清，这是他第几 次出海营救，令人疑惑的是，出事地点离岸边往往几 百海里，在这大大小小的上千次救援中，为什么每次 救援船只都能够精确地找到救援地点。

实际上他是 借助了北斗卫星导航系统，预先计算出两者之间的航 行路线，其中一个主要的理论依据，就是利用我们数学中的坐标系。

我们知道，在平面直角坐标系中，每 一个点都可以和一个有序实数对一一对应，而直线是 点的集合，那么它必定会和关于:T，y的某一个关系 式一一对应。

请问如何确定一条直线呢？
学生：（1)两个定点确定一条直线；（2)—个定点 以及直线的斜率确定一条直线。

教师：很好，我们本节课就来研究如何利用一个 定点以及直线的斜率确定一条直线的方程。

设计意图：通过全国道德模范郭文彪和北斗卫星 导航系统，引出平面直角坐标系，理论上可能缺乏严 谨性。

但是，一方面，因为郭文彪先生是温岭市人，容 易引起学生的共鸣；另一方面，与解析几何产生的时 代背景（17世纪以来，由于航海、天文、军事等方面的 迅速发展，促进了解析几何的创立，这是数学发展史 上的一个重大突破）一致。

这也是对数学来源于生 活，又应用于生活的诠释。

3.2探究知识构建，形成概念
问题1:如图1，在平面直角 3//
坐标系中，/为过点尸。

（1，2)且倾/P^y)斜角为45°的直线，设点P b d)/
为直线上的任一动点，则满/々,(1-2)
足下面哪个关系式？请说明/〇X 原因。

,
A. ^ 1
B. 2 x10
X一丄"
图1学生1:由直线的倾斜角和斜率的关系及两点间
的斜率公式得々=tan 45° =f=f即^|=1，故选
X—丄—丄
择A。

学生2:应该选择B，因为题中没有说明点P U，与点尸。

（1，2)不重合，选项A中不包含点匕（1，2)，事实上当P与P。

重合时，也符合题意。

故选 择B。

教师：很好，因为直线上的所有点都满足方程，所 以选择B 。

那么我们该如何证明呢？
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,31';,
学生3:(教师板书）当x 妾1时j ==t a n 45°=
P 。

不重合时，设直线上不同于P 。

的任意一点P 的
-一^，得:y —2=x —1;当：c = 1 时，点 P 。

（1，2)也适合
X — 1
方程，故直线/上的所有点都满足方程7 —2 = :r —1。

教师：（板书）很好，请问以方程y _2 = x — 1的解 为坐标的点都在直线Z 上吗？
解：设A U ，％)，当a = 1时，得％ = 2，所以点 P ,(l ,2)在直线上。

-2
当
时
，则
:，说明过点朽（^，— 1
和点仏（1,2)的直线的斜率都是々，所以点(心， M )在过点尸。

（1，2)且斜率为々的直线上。

教师：由上述证明可知，直线Z 上的所有点都满 足方程7 — 2 = ：r — 1，以这个方程的解为坐标的点都 在直线/上，我们就称方程y — 2=：c — 1是过点 户。

（1，2)且斜率为1的直线方程。

问题2:点厂（1.01，1. 99)在直线/上吗？教师：刚才我们通过讨论找到了直线与方程的一 一对应关系式，也就是形与数的对应。

请问点 P , (1.01,1.99)在直线上吗?
学生4:不在，把点巧（1.01,1. 99)代人直线Z 的 方程，显然不满足方程。

教师：很好.如果仅仅从图形上判断这个问题，由 于作图上的误差，我们无法精确判断这个点的位置， 但是借助方程.就可以精确判断这个点是否在直线 上。

这个过程实际上是将几何问题转化为代数问题， 再通过代数的运算来研究几何图形的性质，它们之间 的桥梁就是坐标系，这一过程就是解析几何的精髓所
解
析几
何
坐标系儿何•I V .，代数
研究形i t 数直线对应方程
数缺形时少直观，形少数时难入微 图2在。

（板书如图2)
设计意图：设计 特例，让学生判断直 线上的点满足的关系
式，由于求出直线方 程后，对方程（轨迹）纯粹性和完备性的证 明难度较大*遵循特 殊到一般原则，先从特例证明了直线和方程的一一对 应关系，为后续推广到求一般情况的直线方程埋下伏 笔。

再通过判断一个特殊点是否在直线上，引出“借 助坐标系将几何问题转化为代数问题，再通过代数的 运算来研究几何图形的性质”的研究方法（解析法）， 自然而然地让学生领悟解析几何中最重要的思想方 法：数形结合思想。

问题3:如图3,设直线/为过定点尸。

0。

，>)且
斜率是A 的直线，设点P G d )为直线上的任一动点，则：r 和 J 满足怎样的关系式？
教师：类比刚才的研究方 法，我们可以得到关于的 怎样的关系式？
学生（集体）：当点P 与点
坐标为P (工，：y )，则由是=
■得:y —：y 。

=々（工一);
X x 〇
当点P 与点h
重合时，点P 的坐标（X d )也满足此
式。

所以直线上任意一点都满足方程
y —y 〇=k (.x —x 〇) 0 ①教师：我们同样可以证明直线/上的所有点都满 足方程①，以这个方程的解为坐标的点都在直线/ 上，我们就称方程①为过点)斜率为々的直 线方程。

教师:这个方程是由直线上一定点及其斜率确定 的直线方程，我们把①式叫作直线的点斜式方程，简 称点斜式。

设计意图：遵循由特殊到一般的原则，在上述特 例的引导下，水到渠成地完成直线方程的推导以及点斜式定义。

问题4:经过点P ,,(心，於）的所有直线方程都可 以用点斜式方程表示吗？
教师：当直线Z 与:r 轴平行或重合时，具有怎样 的方程？
学生5:如图4,当直线/与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为〇°，斜率为A = 1〇,直线方程为：y —(了一
•r 。

），可化为：y _：y 。

= 0,即:v = ：v 。

， "V 〇/
可以用点斜式方程表示，几何意
义是直线上任意一点的纵坐标 g
X 为>。

Z 与；c 轴平行或重合时教师：当直线/与^轴平行 或重合时，具有怎样的方程？
学生6:当直线/与^轴平行或重合时，直线的倾 斜角为90°，斜率々不存在，不能用点斜式方程表示， 直线方程为:r =:r 。

，几何意义为直线上任意一点的横
坐标为*r 。

（图5)教师：综上所述.（1)当直线
的斜率6存在时，直线方程为 ：y — y 〇=々•（■r — i 。

），特别地，当
々=0时，直线方程为：y = ：y Q ;(2)当直线的斜率々不存在时，不
能用点斜式方程表示，直线方程
为 X = X 〇。

设计意图：通过对两种特殊情况的讨论，得出只
有斜率存在时，才可以用点斜式方程表示。

3.3讲练结合，加深理解
例1直线/经过点户。

（一2,3)，且斜率为2,求 直线/的点斜式方程，并画出直线/。

变式：直线/经过点( —2,3)，求(I )倾斜角为〇°的直线方程；
(II ) 倾斜角为45°的直线方程；(III) 倾斜角为90°的直线方程。

思考：过定点P 。

（一2,3)且斜率为K 々存在）的 直线方程可以用点斜式方程表示为__________;当直
V 1
P 〇U ，少〇)
1 r 0
\ X ,%轴平图行5或重合
时
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棒学论
i
]
线的斜率々发生变化时，这些直线又具有哪些几何特 征呢？（学生回答，教师结合“几何画板”演 示，如图6)设计意图：通过例1和变式 训练，巩固直线的点斜式方程的 概念。

特别是思考题的设计，借 助“几何画板”演示，数形结合，使 学生非常形象地感知过定点的直 线系方程的几何特征，但要强调 没有包括过点P 。

（一2,3)且垂直 x 轴的直线方程，即:c =—2。

问题5:在直线方程y = +6中具有怎样的几何意义？
教师：例1的解答结果可化为y = 2:r + 7,它实际 上是一个一次函数，请问上式中的2和7分别具有怎 样的几何意义？
学生7:2是斜率，7是直线Z 与> 轴的交点(0,7) 的纵坐标。

教师:类似地，在直线7 = ^：+6中4是斜率，6是
直线Z 与7轴的交点(〇,6)的纵 坐标，我们把这个交点的纵坐
标6叫作直线/在^轴上的截 距（纵截距）。

方程y = L + 6 由直线的斜率々和截距6确
定，我们把这个方程叫作直线
的斜截式方程，简称斜截式，如 “+b 。

x 图7。

图7
思考：截距是否等同于距离？取值范围是什么？ 斜截式方程能表示所有的直线方程吗？
学生8:截距不同于距离，66 R ，斜截式方程只能 表示斜率々存在时的直线方程。

设计意图：由特殊到一般，得到斜截式方程的概 念，使学生领悟我们以前所学的一次函数实际上就是 直线的斜截式方程，通过辨析截距与距离的区别，深 刻理解截距的概念。

例2写出下列直线的斜截式方程。

(1)斜率是V J ，在^轴上的截距是2;(2)倾斜角 是135°，在：y 轴上的截距是3;(3)与:y 轴的夹角为 30°,在y 轴上的截距是2。

变式：方程y = a x + 1表示的直线方程可
a
能是（ ）。

r \|y y X
〇/
X
O
V 1
〇 i
K
〇 X
A .
B .
C .
D .设计意图：通过例2巩固直线的斜截式方程，结合变式，辨析方程和图形的一一对应关系，再次领悟
y \ / /p (Q ,b )
图6
解析几何中的数形结合思想。

例 3 已知直线 A + h ，Z2 :y = h ：c + 62，试讨论：
(I ) A //6的条件是什么？(II ) A 丄6的条件是什么？
解:（I
(n )/i 丄 丨々2 = 一1。

变式：（I )求过点A (0，一1)且与直线y = 3x —2
平行的直线/的方程；
(D )求过点A (-1,0)且与直线3i —2y —1 = 0 垂直的直线/的方程。

设计意图：通过例3及变式，掌握并能运用在给 出斜截式方程时，两条直线平行和垂直的等价条件， 让学生再一次领悟将几何问题转化为代数问题的化 归思想。

3.4小结提升，升华主题
教师：本节课我们通过坐标系将点与坐标(U )、 直线与方程建立一一对应关系，也就是说，将几何问 题转化为代数问题，再通过代数的运算反过来研究几 何问题，这就是我们整个解析几何的精髓所在。

最后 我们用华罗庚先生的一首诗作为今天的总结，大家一 起朗诵：“数缺形时少直观，形少数时难人微。

数形结 合百般好，隔离分家万事休。

”
设计意图：以诗歌作为小结，使学生的学习氛围 达到高潮，再一次升华教学内容。

4教学反思
“直线的点斜式方程”是直线方程的起始课，也可 以说是解析几何学习中真正的起始章节，笔者采用 “问题导学”的教学方式，遵循从特殊到一般的原则， 牢牢抓住“形”与“数”一一对应这条主线，逐步引导学 生推导、理解知识的生成、发展过程，感悟解析几何中 数形结合的思想方法，初步达到了预期的教学目标。

但美中不足的是，教学过程中，学生的主体地位不够 突出，教学过程中教师依然是教学主体。

此外，与学 生的互动方式比较单一，实际上，除了集体回答和个 别提问外，还可以采用让学生上台板演、分小组讨论 等方式进行教学活动，进一步突显学生的主体地位， 这样才能更进一步激发学生的学习热情，提升他们的 数学核心素养。

学生数学学科核心素养和数学思想方法的形成 非一朝一夕可以完成，它是循序渐进、日积月累的结 果。

这就需要教师在具体的教学过程中，把握数学知 识的本质，创设合理的教学情境，提出合适的数学问 题，启发学生独立思考，感悟数学的基本思想，提升核
心素养。