备《一元二次方程的实根分布问题》

想一想,怎样求函数的零点呢？
求函数的零点有两种方法： ①代数法:求方程f(x)=0的实数根； ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联
系起来,并利用函数的性质找出零点。
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得 f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
如右图知
O 24 x
f f
(2) (4)
3m 5m
2 4
0 0
m
4 5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
O
x
f
(0) m m3
2
0
0
m0
小结
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
(m 3)24m 0
0
m
3
2
2
f (0) m 0
f (2) 3m 2 0
O
2 m1 3
2x
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。 条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
解：设f (x) 3kx2 2x 4k 2
当k 0时
由图象得： f (1) 0 k 4
y
k 0
当k 0时
由图象得： f (1) 0 k 4
1
k 4
2
01
3x
综上得：k 4或k 0
一元二次方程的实根分布问题
பைடு நூலகம்
零点 ：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 剖析概念,你能得出什么结论吗？
结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实
数根。 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
如右图知
O
x
(m 3)24m 0
m 2
3
0
0 m1
f (0) m 0
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件2：若方程的两个根均小于1。 y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)24m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
【答案】
12 2<m<3
• (6)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0的较大 实根在0和1之间，求m的取值范围．
• 变式：改为较小实根．
【答案】 不可能；12<m<23
• (7)若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在 区间(－1,1)内，求k的取值范围．
【答案】 －4＋2 3≤k<－12
由图象得： kf (1) 0
y
解得：k 4或k 0
2
1
01
3x
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
解：由题
f(-1)f(0) 0 f(1)f(2) 0
(2m (4 m
1)(2m 1) 0 1)(8m 7) 0
y
如右图知
1、f (0) 0且0 3 m 1
2、f (2) 0且1
2 3m
2
m
2
O
2 x
2
3
3、f (0) f (2) m(3m 2) 0 2 m 1
3
由于1，2，3知m的取值范围是 2 m 1
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根
y
3(0 x2 mx
x
1
3)
有两组实数解
整理得 x2 (m 1)x 4 0在[0,3]上有两个不同的实根.
0
故
0
m 1 2
3
f (0) 4 0
解得3 m 10 . 3
f (3) 9 3(m 1) 4 0
故m的取值范围是(3, 10 ] 3
例题
例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与
• (8)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中 ，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求 k的取值范围．
【答案】
12 2<k<3
• (9)已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋ m－6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，求m的 取值范围．
【答案】 －3<m<－ 7或2<m< 7
在(0 ，4)。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
2O
4x
f (2) m 10 0
f
(0)
m
0
4m0
f (4) 5m 4 0
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
O
x1
x2
x
b 0 2a
x1 O
x2
x
b 0 2a
x1 0, x2 0
x1 0, x2 0
小结：
突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的 分布问题：
①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组
思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否 一定有f(a)·f(b)<0？
一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c
(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a> 0)的解集
一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象， 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题， 下面通过例题具体情况来说明。
设二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的二实根为 x1, x2 (x1 x2 ) b2 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0)
【答案】 m<－2或m≥5＋2 6
• (3)若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的 两实根都小于2，求m的取值范围．
【答案】 m<－12或m≥5＋2 6
(4)已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根 比2小，求m的取值范围．
【答案】
－1－
22<m<－1＋
2 2
• (5)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一实 根在0和1之间，求m的取值范围．
(,4) (0,)
4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根， 求实数m的取值范围。
(1,3)
例4.若二次函数y x2 mx 1的图像与两端点为A(0,3), B(3, 0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围.
解：线段AB的方程为x y 3(0 x 3)
由题意得： x y
【解析】
Δ≥0， 依题意可知k－k 3>0，
解得k≤－152或k>3.
【答案】 (－∞，－152]∪(3，＋∞)
• (3)k在何范围内取值，一元二次方程kx2＋ 3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根？
【解析】 依题意有k－k 3<0⇒0<k<3. 【答案】 (0,3)
• (4)若一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k－3＝0 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
• 【解析】 由已知k－3＝0，∴k＝3，代入 原方程得3x2＋5x＝0，另一根为负．
• 【答案】 负根
• 例2 (1)已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实 根都大于1，求m的取值范围．
【答案】 12<m≤1249
• (2)若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的 两个实根都大于－1，求m的取值范围．
1x
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
O1
x
f (1) 2m 2 0 m 1
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
1
4
1 2
m m
7 8
1 2
1m1
4
2
练习1、若关于x的方程7x2 ( p 13)x p2 p 2 0的
两根、满足0 1 2,求实数p的取值范围。
解：因为0 1 2,如图
f (0) 0 p2 p 2 0
f
(1)
0
7
(
p
13)
p2
p
2
0
y
f (2) 0 28 2( p 13) p2 p 2 0
p 1或p 2 2 p 4
p 0或p 3
0 1 2
x
2 p 1或3 p 4
小结：
突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的 分布问题：
①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组
x轴的交点至少有一个在原点的右侧，
求实数m的取值范围。
y
y
y
ox
o
x
o
m=0
m<0
y x
ox
m>0
例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点 至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。 解：当 m=0 时，f(x) = -3x+1与x轴交点为 ( , 0) 满足条件 当m<0时，开口向下， <0, 则与x轴的交点一 定分布在原点两侧 当m>0时
例3、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上
有两个根，求m的取值范围。
解：令f (x) 4x2 4x m
y
由图象知：f
16 (1)
16m 0
0
1 0
1
x
0 m1
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
解：设f (x) 3kx2 2x 4k 2
两个根有且仅有一个在(m，n)内
y
y
y
n
Om
x
O m nx
O m nx
f (m) f (n) 0 或 f (m) 0且m b m n
2a 2
或 f (n) 0且 m n b n
2
2a
结论4n 一元二次方程ax2 bx c 0(a〉0)有一根为零n 一根非零.
y
a0
y
a0
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a> 0)的解集
有相异两 实根x1,x2 (x1<x2)
有相等两实 没有实根 根x1＝ x2 ＝－b/2a
x<x1或x>x2 x≠－b/2a
R
x1<x<x2
Φ
Φ
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
(2,1) (3,4)
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(,2) (1,)
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
两个根均小于k
y
两个根均大于k
y
一个根小于k， 一个根大于k。
y
O
kx
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok
x
0
b 2a
k
f (k ) 0
Ok x
f (k) 0
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
例题讲解
• 例1 (1)若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋ 1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围．
【解析】
Δ＝4m＋12＋4mm－1≥0， 依题意有－2mm－＋11>0，
m－－m1>0，
解得0<m<1.
【答案】 (0,1)
• (2)若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两 根都是负数，求k的取值范围．
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布