高一数学三角函数的图象与性质试题

高一数学三角函数的图象与性质试题
1.已知函（其中）的最大值为2，最小正周期为8．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O坐标原点，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由函数的最大值求出A，由周期求得ω，从而求得函数的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q两点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得，可得
的值，根据的面积为，运算求得结果．
解法2：先求出P、Q两点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点Q到直线OP的距离d以及OP的长度，再根据的面积为运算求得结果.
试题解析：（1）∵的最小正周期为，∴，得. 2分
∴. 3分
（2）∵，，
∴. 5分
解法一：∴直线的方程为，即. 6分
∴点到直线的距离为. 7分
∵， 8分
∴△的面积为. 9分
解法二：分别过点，做轴的垂线段和，
所以的△的面积
【考点】三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式
2.已知函数，（）的最小正周期为，则在区间
上的值域为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，又最小正周期为，所以，即，由，得，从而
，因此的值域为，故选择A．
【考点】三角函数的值域．
3.当时，函数的
A．最大值是，最小值是B．最大值是，最小值是1
C．最大值是2，最小值是1D．最大值是2，最小值是
【答案】C
【解析】,因，所以
，所以,故选C.
【考点】三角函数单调性.
4.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由于周期，排除，图象关于直线对称，排除,由于，
因此满足三个性质.
【考点】正弦型函数的性质.
5.设函数的最小正周期为,最大值为,则（）
A．,B．,
C．,D．,
【答案】A
【解析】由于三角函数的最小正周期，最大值为：Ａ＋Ｂ；所以函数的最小正周期，最大值：Ａ＝2－1＝1；故选Ａ．
【考点】三角函数的周期与最值．
6.函数，则函数为
A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】由题知==，是偶函数，故选A．先用代替中的得，==，因为由余弦函数是偶函数，故为偶函数．
【考点】诱导公式；三角函数奇偶性
7.已知函数 ,其中对恒成立，且，则的单调递增区间是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】又（1）
又由，（2），由（1）、（2）可得，
，由，得：的单调增区间是．
【考点】1、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
8.设，若在上关于的方程有两个不等的实根，则的值为( )．
A．或B．或C．D．
【答案】A
【解析】的对称轴方程为,在上方程的两根关于对称，．
【考点】正弦函数的对称性．
9.下列命题正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） .
①函数是奇函数；
②函数的图象关于点对称；
③若、是第一象限的角，且，则.
【答案】①
【解析】由诱导公式可得，是奇函数，①正确；②当时，
，为最值，②错误；，且为第一象限角，但,③
错误.
【考点】诱导公式，函数的奇偶性，函数图像的对称性.
10.是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由．
【答案】存在符合题意.
【解析】将原函数化简为，令，0≤t≤1，可将问题转化为一元二次函数中来解决，，其中0≤t≤1，对称轴与给定的范围进行讨论，得出最值，验证最值是否取到1 即可.
解：,
当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令则0≤t≤1，
∴，0≤t≤1.
当，即0≤a≤2时，则当，即时.
，解得或a＝－4(舍去)．
当，即a＜0时，则当t＝0，即时，
，解得 (舍去)．
当，即a＞2时，则当t＝1，即时，
，解得 (舍去)．
综上知，存在符合题意．
【考点】同角三角函数的基本关系式，二次函数求最值.
11.设偶函数的部分图象如下图,KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数为偶函数，且KL=1得，函数的最小正周期为2，则，，KLM 为等腰直角三角形，求得，即，，得.所以，.
【考点】考察图象的基本性质及各数据的确定.
12.函数的最小正周期和振幅分别是（）
A．,1B．,2C．,1D．, 2
【答案】C
【解析】，则最小正周期，振幅为1．
【考点】的性质．
13.已知．
(1)求函数的最小正周期和单调增区间．
(2)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？
【答案】（1），单调递增区间为；（2）变换过程见解析．
【解析】(1)由函数的解析式求得周期，由，求得的范围，即可得
到函数的单调增区间；（2）由条件得，再根据函数
的图象变换规律得出结论．
(1)，由，知，
所以所求的单调递增区间为．
(2)变换情况如下：．
【考点】1、函数的图象变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的单
调性．
14.已知函数的图象的一个最高点为与之相邻的与轴的
一个交点为
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调减区间和函数图象的对称轴方程；
（3）用“五点法”作出函数在长度为一个周期区间上的图象.
【答案】（1）
（2），.
（3）见解析
【解析】⑴有最高点与相邻轴交点可知值，即，代入最高点求得值
（注意尽量避免代入零点，若代零点需根据走向确定是的奇数倍还是偶数倍；（2）利用整体思想,;(3)找特殊点即使得为最值和
零点的的值.
试题解析：⑴由题意，，，所以，所以，． 2分
所以，将代入，得，
因为，所以， 4分
所求函数解析式为． 5分
⑵由，得，
所以函数的单调减区间是． 7分
由（Z），得，
所以函数图象的对称轴方程为． 9分
⑶
1）列表
x
y
0 2
2
13分
2）描点画图
16分
【考点】1.求三角函数解析式；2.三角函数的性质；3.五点作图法.
15. 关于函数 ，有下列命题：
（1）函数为奇函数. （2）函数的最小正周期为2. （3）
的图像关于直线
对称,其中正确的命题序号为_____________. 【答案】（1）（3） 【解析】为奇函数，所以（1）正确；
的最
小正周期为
，所以（2）不正确；
，所以（3）正确.
【考点】本小题主要考查三角函数的图象和性质。

点评：三角函数的性质如奇偶性、对称性等是考试考查的重点内容，要牢固把握，灵活应用性质解决问题. 16. 函数把函数
的图象向右平移个长度单位，所得图象的一条对称
轴方程是的最小值是__________
【答案】2
【解析】根据题意，函数
把函数
的图象向右平移
个长度单位那么得
到的解析式为，根据图象的一条对称轴方程是
，根据w>0，那么可知当k=0时，可知w=2，
故答案为2.
【考点】三角函数的变换
点评：本题将三角函数图象平移后，求所得图象的一条对称轴，着重考查了函数图象平移公式和
正弦曲线的对称性等知识，属于基础题．
17.已知函数
(1)求的定义域和值域；
(2)若的值；
(3)若曲线在点处的切线平行直线,求的值.
【答案】（1） ;
（2）
(3)
【解析】（1）
由函数定义域为，
（2）∵
∴
∵
∴
∴
(3)
由题意得=
∴又∵
∴
【考点】本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质，导数的几何意义。

点评：中档题，本题综合考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。

运用三角公式
对三角函数式进行化简，以便于进一步研究函数的性质，是这类题的显著特点。

（3）利用函数
图像的切线斜率等于函数在切点的导函数值。

18.的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据正弦函数=域的求解可得值域为，故选D.
【考点】正弦函数的值域
点评：本题主要考查了正弦函数的值域的求解，属于基础试题，难度不大．
19.已知向量，其中.设函数.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若的最小值是，求的值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】(I)利用向量数量积的坐标表示，可求出.
(II) ∵,
然后可以令换元转化为二次函数最值来解决.
∵
∵，∴
设
则
时，当且仅当，这与已知矛盾．
时，当且仅当.
由已知得，解得
时，当且仅当.
由已知得，解得，这与相矛盾．
综上所述，为所求．
20.函数，，的部分图象如图所示，
则函数表达式为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图像可知A=-4,,
又因为,.
21.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：根据图像可知函数的周期为，振幅为2，代入特殊点得到解析式选A
22. .使函数y=sin(2x+∮)+3cos(2x+∮)为奇函数，且在［0,］上是减函数的∮的一个值为( ) A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为使函数y=sin(2x+∮)+3cos(2x+∮)为奇函数，∮=,且在［0,］上是减函数的∮的一个值,选C
23.函数的定义域为________.
【答案】
【解析】解：因为
解得定义域为
24.（本小题满分12分）
已知函数，其中，且的最小正周期为. (Ⅰ) 求的单调递增区间；
(Ⅱ) 利用五点法作出在上的图象.
【答案】(1)的单调递增区间为，
(2)
0200
(2)周期T＝，振幅A＝3，初相，即为对称轴；
（3）
【解析】本试题主要是考查了三角函数的作图，会议及三角函数单调区间的求解的综合运用。

（1）根据已知函数关系式化为单一三角函数，然后利用函数的单调区间，得到第一问。

（2）结合五点法作图可知函数的振幅和初相以及函数的对称轴。

（3）并结合正弦函数单调区间求解。

(1)
∵周期为∴∴……………2分
∴的单调递增区间为，………6分
(2)
0200
（图略）………………………………12分
(2)周期T＝，振幅A＝3，初相，
由，得即为对称轴；……………8分（3）……………………12分
25.已知函数y=1-x+sin x，则
A．函数为R上增函数
B．函数为R上减函数
C．在(0, π]上单调递增，在[π,2π) 上单调递减
D．在(0, π]上单调递减，在[π,2π) 上单调递增
【答案】B
【解析】选B 因为,所以函数y=1-x+sin x为R上减函数.
26.已知是大于零的常数，且，则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令
.
所以的最大值是.
27.函数的定义域是___________________________
【答案】
【解析】
28.给出下列命题：(1)存在实数x，使sinx+cosx＝; (2)若是锐角△的内角，则>
; (3)函数y＝sin(x-)是偶函数； (4)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin(2x+)的图象.其中正确的命题的序号是
【答案】（1）、（2）、（3）
【解析】，而，所以命题（1）正确；
因为是锐角的两个内角，所以即，从而有，所以，命题（2）正确；
是偶函数，命题（3）正确；
函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，命题（4）不正确。

29.关于函数有下列命题：
①由可得必是的整数倍；
②的表达式可改写为；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称；
⑤在区间上是增函数；其中正确的是 . (请将所有正确命题的序号都填上)【答案】②③⑤
【解析】，则，从而，所以若
有是的整数倍，①不正确；
，②正确；
令可得，所以函数的图象的对称点为，③正确；
令可得，所以函数图象的对称轴为直线，④不正确；
当时，，此时单调增，⑤正确。

30.（本题满分12分）已知函数，
（I）求函数的递增区间；
（II）求函数在区间上的值域。

【答案】解：（I）．
由得：
所以的递增区间为。

（II）因为，所以．
所以时，函数为增函数，而在时，函数为减函数，
所以为最大值，为最小值，
所以在区间上的值域是。

【解析】略
31.函数f(x)=cos()的图象相邻的两条对称轴间的距离是
A．4p B．2p C．p D．
【答案】B
【解析】函数的最小正周期为，所以其图像中相邻的两条对称轴间的距
离为，故选B
32.为得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】C
【解析】，则要得到函数的
图象，只需将函数的图象向左平移个单位，故选C
33.、函数的图象( )
A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称
C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称
【答案】C
【解析】令可得，则函数关于点
对称，所以A不正确C正确；令可得，则函数
关于直线对称，所以B,D不正确。

故选C
34.（本小题共12分）已知函数的部分图象如图所
示，求f(x)的解析式.
【答案】解：T=,∴.当x=,
【解析】略
35.函数的单调递增区间是
【答案】
【解析】该函数为由和组成的复合函数，在其定义域上为减函数，要求的单调递增区间等价于求的单调递减区间，令
，且，解得：
故原函数的单调递减区间为：
36.设则的值域为
【答案】 .
【解析】令得：有：
的函数图像开口向下，其对称轴为：由于
其值域为：
37.已知则____________
【答案】
【解析】略
38.函数()的最小正周期为▲．
【答案】略
【解析】略
39.下列函数中，最小正周期为的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】本题考查三角函数的最小正周期
函数的最小正周期为的最小正周期为.所以的最小正周期的，故A
错；的最小正周期为，故B错；
则函数的最小正周期为的最小正周期为.所以的最小正周期的，故
C错；的最小正周期为，故B正确；
所以正确为B
40.半径为10cm，弧长为20的扇形的圆心角为( )
A．B．2弧度C．弧度D．10弧度
【答案】B
【解析】本题考查圆心角的计算。

点拨：圆心角的弧度数=。

解答：扇形的圆心角的弧度数=弧度。

41.已知函数，若对任意实数，都有，则可以是( ▲ ) A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
42.（本小题满分12分）
已知平面向量，，函数．
（1）写出函数的单调递减区间；
（2）设，求直线与在闭区间上的图像的所有交点坐标.
【答案】解：（1），…3分
单调递减区间；…… 6分
（2），…………………………… 8分
解，即，得，…………10分
所以交点坐标为：．……12分
【解析】略
43.（（本题满分12分）
已知向量,,且
(1)求及;
(2)求函数的最小值.
【答案】(1),
,得
(，).
(2)
令,,则
下面分类讨论
(1) 当，即时，当时，，此时；
(2) 当，即时，当时，，此时；
(3) 当，即时，当时，，此时.
【解析】略
44.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】略
45.已知函数在区间上至少取得2个最大值，则正整数t的最小值是
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】本题考查图像变换的知识，此类题目只需画出题目所给函数的图像，再用数形结合的办
法由图像得出答案。

此函数的图象如下：
的周期.依题意结合图像可知，又因为t是正整数，所以最小值取11.
46.（本小题满分12分）
已知向量，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数的值域.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】解：（Ⅰ）由题意得
由A为锐角得…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以
因为x∈R，所以，因此，当时，f (x)有最大值.
当sin x=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f (x)的值域是…………12分47.（本小题满分12分）
函数的最小值为.
（1）求表达式；
（2）若求的值及此时的最大值.
【答案】(1)
(2) 当时取得最大值为5.
【解析】（1）由
＝（其中）
当时，
当时，
当时，
（2）由得：
若则有即，矛盾
若则有即或（舍去）
时，此时
当时取得最大值为5.
48.已知为正实数，函数在上为增函数，则 ( ) A．≤B．≤2C．≤D．≥2
【答案】A
【解析】略
49.(本题满分10分)已知函数
（1）求函数的最小正周期T；
（2）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数在一个周期上的图像.
（3）把的图像向左平移个单位，得函数的图像，请判断函数的奇偶性.【答案】（10分）解：（1）
=. ； 4分
（2）列表：
10-10
描点画图：
8分
(3),是偶函数. 10分
【解析】略
50.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，
，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
51.（本小题满分12分）
如图，表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图像
（1）根据图像写出的解析式；
（2）为了使中t在任意一段秒的时内I能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么
正整数的最小值为多少？
【答案】,
629
【解析】
52.函数的单调递减区间是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
53.设是定义在上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，△ABC的内角满足的取值范围是（）
【答案】D
【解析】略
54.函数的图象的一条对称轴方程是_________
【答案】
【解析】略
55.设任意角α的终边与单位圆的交点为P
1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P
2
（y，
﹣x），则下列说法中正确的是（）
A．sin（α+θ）=sinαB．sin（α+θ）=﹣cosα
C．cos（α+θ）=﹣cosαD．cos（α+θ）=﹣sinα
【答案】B
【解析】根据三角函数的定义和题意，分别求出角α、α+θ的正弦值和余弦值，再对比答案项即可．
解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P
1
（x，y），
∴由三角函数的定义得，sinα=y，cosα=x，
同理sin（α+θ）=﹣x，cos（α+θ）=y，
则sin（α+θ）=﹣cosα，cos（α+θ）=sinα，
故选：B．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
56.已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( )
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称
B．y＝f(x)的图像关于直线对称
C．f(x)的最大值为
D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
【答案】C
【解析】由得,所以有
，所以的图像关于点
对称；关于直线对称；，所以是奇函数；又因为，所以周期为；又由得
得得，或，当时，当时，当时，所以的最大值为；
【考点】三角函数图象与性质及导数在求最值中的应用；
57.函数的最小正周期为 .
【答案】
【解析】
【考点】本题考查正弦函数周期
点评：最小正周期
58.函数的图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与轴的交点，则的值为（）
A．10B．8C．D．
【答案】B
【解析】过点P作PH垂直x轴于点H，则，由题意知，则，，由两角和得正切公式得。

【考点】三角函数图象的性质、周期性及两角和得正切公式、任意角三角函数的定义。

59.函数具备的性质有．（将所有符合题意的序号都填上）
（1）是偶函数；
（2）是周期函数，且最小正周期为；
（3）在上是增加的；
（4）的最大值为2．
【答案】（1）（4）
【解析】函数是偶函数，所以周期不是，
在上是单调递减函数
当时，函数最大值为2
【考点】三角函数的奇偶性周期性单调性
60.设函数，若对任意恒有成立，则的最小值为．
【答案】
【解析】,
当即时取的最小值,
当,即时取的最大值.
所以,,所以
,所当时取得最小值为.
【考点】1三角函数的化简;2三角函数的最值.。