命题关系及其真假判定

1.
(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换．
(2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．
已知下面四个命题：
①对于∀x，若x－3＝0，则x－3≤0；
②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题；
③命题“若非零向量a，b，a·b＝0，则a⊥b”的逆命题；
④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
【思路点拨】对于②③注意四种命题及其关系，对于④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断．
【解析】①∵x－3＝0⇒x－3≤0，∴为真命题．
②“若a ＜b ，则ac 2＜bc 2”的否命题是：
“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”，由不等式的性质知为真命题． ③逆命题：“若a ⊥b ，则a·b ＝0”为真命题． ④由p ∨q 为假命题，∴p 与q 均为假命题．
∴綈p ，綈q 为真命题，一定有(綈p )∧(綈q )为真，故④为真命题． 综上知，命题①②③④均为真命题． 【答案】 ①②③④
已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝3
2
，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集为∅，下列结论：①
命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是真命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是真命题．
其中正确的是( )
A ．①③④
B ．②③
C ．③④
D ．①②③④
【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝3
2是假命题，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集是∅
是真命题，
则綈p 为真命题，綈q 为假命题．
∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧綈q ”是假命题，“綈p ∨q ”与“綈p ∨綈q ”均为真命题． 因此③④正确． 【答案】 C
1.(1)直接利用定义判断：即若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：p ⇒q 的等价命题是綈q ⇒綈p ，即若綈q ⇒綈p 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
2．充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围，涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式(组)求解．
下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )
①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；
②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )为偶函数；
③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A ； A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
【思路点拨】 把握充要条件的概念，会用反例来排除选项．
【解析】 对①，∵y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点，∴m 2－4(m ＋3)＞0，解得m ＜－2或m ＞6.
∴p 是q 的充要条件，排除选项B ，C.
对于②，q ：取f (x )＝x 2
在R 上为偶函数，但f (－x )
f (x )
在x ＝0处没有意义，p 是q 的充分不
必要条件，排除选项A.
【答案】
D
已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．
【解】 A ＝{x |x 2－8x －20>0}＝{x |x <－2或x >10}， B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2>0}＝{x |x <1－a 或x >1＋a }． 由于p 是q 的充分而不必要条件，可知A B . 从而⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞01－a ≥－2
1＋a ＜10
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，
1－a >－2，1＋a ≤10，
解得0<a ≤3.
故所求正实数a 的取值范围为(0,3].
1.(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命
题的否定的真假性．
(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)存在实数x ，使得1
x 2－x ＋1
＝2.
【思路点拨】 首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理．
【规范解答】 (1)特称命题，否定：∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1，真命题． (2)全称命题，否定：∃直线l ，l 没有斜率，真命题． (3)特称命题，否定：∀x ∈R ，1x 2－x ＋1
≠2，真命题．
(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞3 D ．∀x ∈R,2x ＞0
【解析】 ∵当x ＝1时，lg 1＝0，∴A 是真命题； ∵当x ＝π4时，tan π
4＝1，∴B 是真命题；
∵当x ＜0时，x 3＜0，∴C 是假命题；
由指数函数的性质可知，对∀x ∈R,2x ＞0成立，∴D 是真命题． 【答案】 C
进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．
设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎫ax 2－x ＋1
16a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
【思路点拨】 由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，可以得到p 与q 一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．
【规范解答】 由ax 2－x ＋1
16
a ＞0恒成立，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，Δ＝1－4×a ×a 16＜0，解得a ＞2.
∵
2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝
2x ＋1＞1，则x ＝t 2－12
，
∴2(t －1)＜a (t 2－1)对一切t ＞1均成立． ∴2＜a (t ＋1)，∴a ＞2
t ＋1
，∴a ≥1.
∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p ，q 一真一假．若p 真q 假，则a ＞2且a ＜1，∴a 值不存在．
若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2.
判断p ：x ≠2或y ≠3是q ：x ＋y ≠5的什么条件． 【解】 若p ，则q 的逆否命题是若綈q ，则綈p . 由于綈q ：x ＋y ＝5；綈p ：x ＝2且y ＝3， 于是綈p ⇒綈q ，而綈q
綈p .
故q ⇒p ，p q ，即p 是q 成立的必要不充分条件．。