2019年六年级奥数题：最值问题(B)

2019年六年级奥数题：最值问题(B)
一、填空题
1.下面算式中的两个方框内应填 ,才能使这道整数除法题的余数最大. □25=104…□
2.在混合循环小数 2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数:
3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是 .
4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于 .
5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是 .
6.把1、2、3、4...、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数. Z =1234567891011 (9899100)
从数Z 中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个,要求尽可能地大.请依次写出的前十个数码组成一个十位数 .
7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm 3,长方体的长,宽,高各是 cm 时,所用的铁丝长度最短.
8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为 厘米.
9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .
10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为 .
二、解答题
11.王大伯从家(A 点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B 点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.
12.某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客座位多少个?
13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方A B · · 河
形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?
14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?
———————————————答案——————————————————————
1. 2426和24
因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25104+24=2426.算式应为262425=104…24.
2.
3. 471
设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=(1001K+117)+(K-6),1001K和117都是13的倍数,因而(K-6)是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,612313=471.
4. 2618
因37=17+11+7+2,它们的积为171172=2618.
5. 10257
五位数字各不相同的最小的五位数是10234.1023413=787…3.故符合题意的13的最小倍数为788.
验算:13788=10244有两个重复数字,不合题意,13789=10257符合题意.
6. 9999978956
由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以是92位数.对来说,前面的数字9越多,该数越大.因此中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是:
99999505152535455565758596061……
还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:999997859606162…99100,前十个数码组成的十位数是9999978596.
7.6,6,6
设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.
铁丝长度之和为(4x+4y+4z)cm,故当x=y=z=6时,所用铁丝最短.
8.3,3,3
设长、宽、高分别为x、y、z厘米,体积为V厘米3,则有2(xy+yz+zx)=54,从而xy+yz+zx=27.因V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),故当xy=yz=zx即x=y=z=3时, V2有最
大值,从而V 也有最大值.
9. 7
每次朝上的两个面上的和,最小可能是2,这时两个面都出现1,最大可能是12.
以朝上的两个面上的数为加数,依次列出的加法算式共有66=36个,其中和为7的算式共有6个:6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6.故每次朝上的两个面上的数的和,可能出现的次数最多是7.
10. 20元
设每个商品售价为(50+x )元,则销量为(500-10x )个,总共可获利(50+x -40) (500-10x )=10(10+x )(50-x )元.因(10+x )+(50-x )=60为一定值.故当10+x =50-x ,即x =20时,它们的积最大.
11. 以河流为轴,取A 点的对称点C ,连结BC 与河流相交于D 点,再连续AD .则王大伯可沿着AD 走一条直线去河边D 点挑水,然后再沿DB 走一条直线到积肥潭去.这就是一条最短路线.
12. 从第一站开始,车上人数为114,到第二站时,车上人数为213,依次可算出以下各站车上人数为312、411、510、69、78、86…车上最多的人数为56人,故车上至少应安排乘客座位56个.
13. 如图,设剪去的小正方形边长为x 厘米,则纸盒容积
为:V =x (24-2x )(24-2x )=22x (12-x )(12-x )
因2x +(12-x )+(12-x )=24是一个定值,故当2x =12-x 时,即x =4时,其乘积最大从而纸盒容积也最大.
14. 设由A 地运往甲方x 台,则A 地运往乙方(16-x )台,B 地运往甲方 (15-x )台,B 地运往乙方(x -3)台.于是总运价为(单位:元):
S =500x +400(16-x )+300(15-x )+600(x -3)=400x +9100.
显然x 满足不等式.故当x =3时,总运费最省,为4003+9100=10300(元).
附送：
2019年六年级奥数题：染色问题(A)
(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)
1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了A B D C 河流
x
一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?
2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?
3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?
(a) (b)
4.一个88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21
)把象棋盘上的62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?
7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?
8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.
9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?
10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 证明:一只马不可能从位置B 出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).
11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?
12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.
13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.
14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)
三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.
表 1
表 2
———————————————答案——————————————————————
1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.
要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.
2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.
3. 图(a)行,走法如图所示.
图(a)
图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.
4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.
5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3
3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.
将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.
6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:
考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.
下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.
(1)若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.
(2)若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC三
条线段，其中必有两条同色.
①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形(图1).
(图1)
②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.
综上所述,一定有两个同色三角形.
(图2)
7. 甲虫不能走遍所有的立方体.
我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.。