第十章.动量定理(哈工大 理论力学课件)

§10-2 动量定理
解：取火炮和炮弹(包括炸药)为研究对象
设火炮的反坐速度是 u，炮弹的发 射速度是 v，对水平面的仰角是θ 。 炸药(其质量略去不计)的爆炸力是 内力，作用在系统上的外力在水平 轴x的投影等于零，即有 F 0
例10-2

x
可见，系统的动量在x轴上的投影守 恒，考虑到初始瞬时系统处于静止， 即有 p0 x 0 ，于是有
dp dt e F
质点系动量定理的微分形式
p2 p1

F
e
t1
dt
I
即，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系 的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定 理的积分形式。常称为质点系的冲量定理。
§10-2 动量定理
二、冲量定理
p2 p1
Iy

t 0
F y dt
Iz

t 0
F z dt
§10-2 动量定理
因为质点系的动量为 p mv ，对该式两端求导数，
dp dt
得

d m v dt


F
ma

F
分析右端，把作用于每个质点的力F分为内力F(i)和外力F(e)， 则得： i e

F

F


dp dt
F

i
0
e 质点系动量定理的微分形式 F
§10-2 动量定理
dp dt e F
即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢 量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理。 具体计算时，往往写成投影形式，即
元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。
变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： I

t2
Fdt
t1
§10-1 动量与冲量
从起始点开始的冲量为： t I Fdt
0
上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标 系上
Ix

t 0
F x dt
S
m m S rx (a b) M m M m
§13-3
动量定理
例4 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 v 1 , v 2 ( m/s ), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。 解： 取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。 运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB 运动到位置ab，
在运动过程中，如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等 于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒 定理
§10-2 动量定理
§10-2 动量定理
§10-2 动量定理
例10-2
例10-2：火炮(包括炮车与炮筒)的质量是 m1，炮弹的 质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮筒对 水平面的仰角是α(图a)。设火炮放在光滑水平面上， 且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的 发射速度。
mi yi
M
, zC
mi zi
M
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心
的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心 具有更加广泛的力学意义。
二、质点系的内力与外力
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究 质点系整体的运 动情况。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要 讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定 理及由此推导出来的其它一些定理)。

Fx
(e)
0 , 水平方向
K x 常量。
运动分析，
设大三角块速度 ，
v，
小三角块相对大三角块速度为
Hale Waihona Puke 则小三角块vrva v vr
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M ( v ) mv
ax
0
M ( v ) m ( v rx v ) 0
S rx M m M m v m S m v rx
p y m 1 v E cos 2 m 1 v A cos m 2 v B
m1 l 2
例10-1
cos 2 m 1 l cos m 2 2 l cos
5 m 1 2 m 2 l cos 2
p

t2
t2
e F dt
t1
I
具体计算时，往往写成投影形式，即
p2 x p1 x p2 y p1 y p2 z p1 z

t1 t2
Fx Fy Fz
e
dt
I I
x
e
dt
t1
y
t2
e
dt
t1
I
z
即，质点系动量在某固定轴上投影的变化量，等于 作用于质点系的外力在对应时间间隔内的冲量在 同一轴上的投影的代数和。
5 m 1 4 m 2 l
§10-1 动量与冲量
二、冲 量
单位： N· s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I F t
2、变力的冲量
若力F是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。
动
力
学
第十章
动量定理
动量、动量矩和动能定理从不同的 侧面揭示了质点和质点系总体的运动变 化与其受力之间的关系，可用以求解质 点系动力学问题。
动量、动量矩和动能定理称为动力 学普遍定理。 本章将阐明及应用动量定理
第十章 动量定理
第 十 章 动 量 定 理
§10-1 动量 与 冲量
§10-2 动 量 定 理
m

i
计算质心位置时，常采用直角坐标的投影形式，即
xC

m i xi M
yC

m i yi M
zC

m i zi M
§13-3
动量定理
例3质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形 柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
解： 选两物体组成的系统为研究对象。 受力分析，
§10-3 质心运动定理
几个概念
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的
一个重要概念。
质心 C 点的位置：
rC
(M mi )
mi ri
M
或 MrC mi ri
设 rc x c i y c j z c k , 则
xC
mi xi
M
, yC
即质点系的总质量与其质心加速度的乘积等于作用在该质点系的总质量与其质心加速度的乘积等于作用在该质点系所有外力的矢量和质点系所有外力的矢量和主矢主矢这就是这就是质心运动定理质心运动定理22定理的转化形式定理的转化形式质心运动定理质心运动定理假设质点系由假设质点系由个部分构成个部分构成33投影表达式投影表达式质心运动定理质心运动定理三质心运动守恒定理三质心运动守恒定理1如果如果定理的表达式则有上式可定理的表达式则有上式可从而有从而有即如作用于质点系的所有外力的矢量和主矢始终等于零则质心运动守恒即质心作惯性运动
质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系 的动量。用 p 表示，即有
p mi vi
i 1 n
mv
§10-1 动量与冲量
（2）质点系动量的投影式 以px，py 和 pz 分别表示质点系的动量在固定直 角坐标轴x，y 和 z 上的投影，则有
px mv x p y mv y pz mv z
dp y dt
dp x dt

Fx
e

Fy
e
dpz dt

Fz
e
即，质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数，等于 该质点系所有外力在同一轴上的投影的代数和。
§10-2 动量定理
一、动量定理 二、冲量定理
设在 t1 到 t2 过程中，质点系的动量由 p1 变为 p2，则对上式积 分，可得 t2
px py pz
p mv
质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。 投影到各坐标轴上有
mv mv mv
x
Mv Mv Mv
cx
y
cy
z
cz
§10-1 动量与冲量
p

m v M vc
可见，如质点系的动量主矢=0，只说明其质心静止不动，而质点 系内各质点可各自运动。 质点系的动量是描述质点系随质心运动的一个物理量，它不能描 述质点系相对于质心的运动，这个问题将在动量矩定理讨论。
v sin v r sin
联立求解上列三个方程，即得
u m2 m1 m2 1 v r cos
v
2 m 1 m 2 m 2 m 1 m 2
cos
2
vr
m2 1 tan tan m1
§11-2 动量定理
§10-2 动量定理
动量定理
dp x dt
dp dt
e
e F
F
dp y dt
x

F
e
y
dpz dt

F
e
z
三、动量守恒定理
e 1、如果在上式中 F 0 ，则有
p p0 常矢量
结 论
其中：p0 为质点系初始瞬时的动量
讨论
m2 tan tan 1 m1
例10-2
由上式可见，v 与 vr 方向不同，

当 m1>>m2 时， 。 但在军舰或车上时，应该考虑修正 量 m2 m1
§10-3 质心运动定理
一、质量中心(质心)
rC mi ri mi ri M
等于零。即：
Fi
(i )
0; mO ( Fi
(i )
) 0
或 m x ( Fi
(i )
) 0 。
第十章 动量定理
几个实际问题
第十章 动量定理
几个实际问题
§10-1 动量与冲量
一、动 量
单位 kg m / s
1、动量的定义 （1）质点的动量
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质 点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。 （2）质点系的动量
§10-1 动量与冲量
例10-1
p p BD p B p D 2 m 1 m 2 v A
由于动量pOA的方向也与vA的 方向一致，所以整个椭圆机构 的动量方向与vA相同，而大小 等于
p p OA p 1 2 1 2 m 1 l 2 m 1 m 2 l
§10-1 动量与冲量
例10-1
例10-1：椭圆规尺BD的质量为2m1；曲柄OA的质量 为m1；滑块B和D的质量均为m2，已知： OA=BA=AD=l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上； 曲柄绕O轴转动的角速度ω 为常量，试求当曲柄OA与 水平成角 时整个机构的动量。
§10-1 动量与冲量
例10-1
p x m2v cos m1u 0
§10-2 动量定理
p x m2v cos m1u 0
另一方面，对于炮弹应用速度合 成定理，可得 v ve v r
考虑 ve u ，并将上式投影到轴x
例10-2
和 y上，就得到： cos v cos u v r
px py
2 2
1 2
5 m 1 4 m 2 l
py px cos p , x , cos p , y p p
§11-1 动量与冲量
例10-1
曲柄OA的动量
p OA m 1 v E
大小： p OA m 1 v E m 1 l 2 方向：与 vE 方向一致，垂直 于OA并顺着ω 的方向
p x m 1 v E sin 2 m 1 v A sin m 2 v D
m1 l 2
sin 2 m 1 l sin m 2 2 l sin
5 m 1 2 m 2 l sin 2
§10-1 动量与冲量
例如：射出的子弹、船的靠岸
§10-1 动量与冲量
2、质点系动量的简捷求法
质点系的动量
p mv
§10-1 动量与冲量
质点系的质心C的矢径表达式为 m r M rc
rc

mr
M

m M
当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式 两端对时间求导数，即得 m v M vc p 能得到什么结论？