在一般加权Bergman空间上的广义Volterra型算子

第３０卷　第４期广东石油化工学院学报

Ｖｏｌ．３０　Ｎｏ．４２０２０年８月

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

Ａｕｇｕｓｔ２０２０

在一般加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子

罗庆仙

（广东茂名幼儿师范专科学校理学院，广东茂名５２５２００）

摘要：Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的算子理论是函数空间与算子理论的重要内容。利用Ｖｏｌｔｅｒｒａ算子、加权复合算子、微分算子之间的关系，用一种全新的方法简捷地刻画了一般加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间上广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ算子的有界性和紧性，拓展了相关的结论。文中的方法极大地简化了经典的证明，对相关算子的研究有一定的启发。

关键词：Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子；Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ空间；加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间；加权复合算子；有界性；紧性中图分类号：Ｏ１７７．２

文献标识码：Ａ

文章编号：２０９５－２５６２（２０２０）０４－００７０－０４

１　相关研究

令Δ是复平面上的单位开圆盘，在Δ上的所有全纯函数组成的集合记为Ｈ（Δ

）．当ｚ∈Δ，在Δ上的标准Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度记为ｄＡ，其中ｄＡ（ｚ）＝１πｄｘｄｙ＝１

π

ｒｄｒｄθ．若ω∶［０，１）→（

０，∞）在［０，１）可积且０＜ｉｎｆｔ∈［０，１）∫１ｔω（ｓ）ｄｓ（１－ｔ）ω（ｔ）≤ｓ

ｕｐｔ∈［０，１）∫１

ｔ

ω（ｓ）ｄｓ（１－ｔ）ω

（ｔ）＜∞，则称ω是正则权。加权Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度ｄＡω（ｚ）的定义为ｄＡω（

ｚ）＝ω（ｚ）ｄＡ（ｚ）．当０＜ｐ＜∞，ω是正则权时，对于满足‖ｆ‖ｐＤｐω

＝｜ｆ（０）｜ｐ

＋∫

Δ

｜ｆ’

（ｚ）｜ｐ

ｄＡω

（ｚ）＜∞的所有ｆ∈Ｈ（Δ）组成的空间定义为加权Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ空间；满足‖ｆ‖ｐ

Ａｐω

＝∫

Δ

｜ｆ（ｚ）｜ｐ

ｄＡω

（ｚ）＜∞的所有ｆ∈Ｈ（Δ）组成的空间定义为加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间。更多的相关的定义可参考文献［１］。

当 ∈Ｈ（Δ）且 （Δ） Δ时，复合算子Ｃ 的定义为

（Ｃ

ｆ）（ｚ）＝ｆ（ （ｚ）），ｚ∈Δ，ｆ∈Ｈ（Δ），而加权复合算子Ｗφ，

的定义为（Ｗφ，

ｆ）（ｚ）＝φ（ｚ）ｆ（ （ｚ）），ｚ∈Δ，ｆ∈Ｈ（Δ）．对于任意ｇ∈Ｈ（Δ），定义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子Ｔｇ如下：

（Ｔｇ

ｆ）（ｚ）＝∫

０ｚ

ｆ（ｗ）ｇ′（ｗ）ｄｗ，ｚ∈Δ，ｆ∈Ｈ（Δ），与Ｔｇ密切相关的另一个算子，

其定义为（Ｓｇｆ

）（ｚ）＝∫

０ｚ

ｆ′（ｗ）ｇ（ｗ）ｄ（ｗ），ｚ∈Δ，ｆ∈Ｈ（Δ）．很多学者对Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子的研究充满了兴趣。近几年来，林庆泽研究了加权ｓｈｉｆｔ算子加上Ｖｏｌｔｅｒｒａ

型算子在Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的不变子空间及约化子空间［２］，并且给出了Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子在对数加权Ｂａｎａｃｈ空间之间的有界性和紧性的充要条件［３］。在参考文献［４］、［５］中，Ｌｉｎ等人分别刻画几个具体空间上

Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子的有界性和紧性等。

收稿日期：２０２０－０５－２４；修回日期：２０２０－０６－２４

基金项目：广东茂名幼儿专科学校“十三五”规划课题（２０２０ＧＭＹＳＫＴ０２）

作者简介：罗庆仙（１９７２—），女，广东高州人，本科，讲师，主要研究方向为数学分析与复分析。

广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子定义为下列四种形式：

Ｔ

ｇ＝Ｃ ｏＴｇ，Ｔｇ， ＝ＴｇｏＣ Ｓ ｇ＝Ｃ ｏＳｇ，Ｓｇ， ＝ＳｇｏＣ

广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子由Ｌｉ等人首次提出，并且他们完善了该算子在一些具体空间上的性质［６－９］

。自

从该算子被提出来以后，很多学者不断去完善其性质，其中Ｕｅｋｉ在参考文献［１０］中研究了从加权Ｂｅｒｇ ｍａｎ

空间到β－Ｚｙｇｍｕｎｄ空间的广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子的有界性和紧性，并且还给出其本性范数。而Ｍａｈｙａｒ和Ｒｅｚａｅｉ则刻画了在ＱＫ空间上的广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子的有界性和紧性［１１］，更多的，Ｌｉ和Ｍａ［１２］

给出了广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子在Ｚｙｇｍｕｎｄ型空间到ＱＫ空间上的有界性和紧性的刻画。Ｓ

ａｎａｔｐｏｕｒ［１３］

中讨论了在Ｚｙｇ ｍｕｎｄ型空间上的广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子的本性范数，并且还推广到Ｂｌｏｃｈ型空间等等。

不过到目前为止，作用在一般加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ算子的有界性和紧性尚未刻画，从而，本文将给出其有界性和紧性的刻画。

２　定理的引入及其证明

接下来下文中的引理１和引理２分别给出了加权复合算子在一般的Ｂｅｒｇｍａｎ空间之间的有界性和紧性的刻画。

当ω是任意给定的正则权，ｐ，γ＞０是任意给定的实数时，对于ｚ∈Δ

，令 Ｆｚ，ｐ，γ（ｗ）＝｜１－｜ｚ｜２１－ｚ－

ｗ

｜γ＋１ｐ１（１－｜ｚ｜）２ｐω（ｚ）１ｐ引理１　设ω，μ是正则权，并且１＜ｐ≤ｑ＜∞，令φ， ∈Ｈ（Δ）， （Δ） Δ，则Ｗφ， ：Ａｐω→Ａｑ

μ是有界的当

且仅当对于足够大的γ＞

０，有 ｓｕｐｚ∈Δ∫

Δ

（Ｆｚ，ｐ，γ（ （ｗ）））ｑ｜φ（ｗ）｜ｑｄＡμ

（ｗ）＜∞．而且，Ｗφ， ：Ａｐω→Ａｑμ是紧的当且仅当ｌ

ｉｍ｜ｚ｜→１∫

Δ

（Ｆｚ，ｐ，γ

（ （ｗ）））ｑ｜φ（ｗ）｜ｑ

ｄＡμ

（ｗ）＝０．引理２　设ω，μ是正则权，并且１＜ｑ＜ｐ＜∞，

令 ，φ∈Ｈ（Δ）， （Δ） Δ则下列条件是相互等价的：（１）Ｗφ， ：Ａｐω→Ａｑ

μ是有界的；（２）Ｗφ， ：Ａｐω→Ａｑμ是紧的；（３）对于足够大的γ′＞０，有

∫

Δ

（Ｆｚ，ｐ，γ

（ （ｗ）））ｐ｜φ（ｗ）｜ｑｄＡμ（ｗ）∈Ｌｐ／（ｐ－ｑ）

ω

．为了刻画广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子在广义加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的有界性和紧性，通过等价范数可以得到其有界性和紧性的充要条件。

定理１　设ω，μ是正则权，ｇ， ∈Ｈ（Δ）， （Δ） Δ，（ｇｏ ）′

Δ，则：（１）当１＜ｐ≤ｑ＜∞时，Ｔ ｇ：Ａｐω→Ａｑμ是有界的当且仅当对于足够大的γ＞０，有 ｓｕｐｚ∈Δ

（１－｜ｚ｜２）

ｑ∫

Δ

（Ｆｚ，ｐ，γ

（ （ｗ）））ｑ·｜ｇｏ ′（ｗ）｜ｑ

ｄＡμ

（ｗ）＜∞；而且Ｔ

ｇ：Ａｐω→Ａｑμ是紧的当且仅当对于足够大的γ

＞０，有 ｌｉｍ｜ｚ｜→１

（１－｜ｚ｜２）

ｑ

∫

Δ

（Ｆｚ，ｐ，γ

（ （ｗ）））ｑ·｜ｇｏ ′（ｗ）｜ｑ

ｄＡμ

（ｗ）＝０．（２）当１＜ｑ＜ｐ＜∞时，

下列条件是等价的：①Ｔ

ｇ：Ａｐ

ω→Ａｑ

μ是有界的；②Ｔ ｇ：Ａｐ

ω→Ａｑ

μ是紧的；

③对于足够大的γ＞

０，则有 （１－｜ｚ｜２）

ｑ

∫

Δ

（Ｆｚ，ｐ，γ（ （ｗ）））ｐ｜（ｇｏ ）′（ｗ）｜ｑｄＡμ（ｗ）∈Ｌｐ／（ｐ－ｑ）

ω

．１

７第４期 罗庆仙：在一般加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的广义Ｖｏｌｔｅｒｒａ型算子