一 阶 电 路

例3
电路如图所示， 电路如图所示，试求
iC (0+ ) ，uL (0+ ) 。 uC (0− ) ，i L (0− )
iS
+
解： ① 画出 0 − 电路，求出 电路，
L iL _ + uL
iC
0 电路
iS
−
iL
+ _
K t =0
iS
+ _
R
C
uC
R
uC
_
0+ 电路
uC (0 ) = Ri S V
i L (0 ) = i S A
R − t L
R t L
t≥0
称为一阶RL电路时间常数 称为一阶 电路时间常数
得 i (t ) = I 0 e
= I 0e
−
t
τ
t≥0
能量关系 R
电感不断释放能量被电阻吸收, 电感不断释放能量被电阻吸收, 不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕. 直到全部消耗完毕. +
i
L
uL
–
设iL(0+)=I0
换路发生很长 换路发生很长时间
& & IL、 UC ( U C 、 I L ) 不变
换路刚发生 换路刚 iL 、 uC 随时间变化 随时间变 微分方程组描述电路 微分方程组描述电路
代数方程组描述电路 代数方程组描述电路
§6-2 阶跃函数和冲激函数
一 单位阶跃函数 1. 定义
0 ( t < 0) ε (t ) = 1 ( t > 0)
第六章
一阶电路
重点掌握 基本信号 阶跃函数和冲激函数 零输入响应 零状态响应 全响应
§6-1 概述
一. 什么是电路的过渡过程
t=0
Us
K
i
R + K未动作前 未动作前 C
uC
–
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间 接通电源后很长时间
i
R Us +
uC
–
C
i = 0 , uC= Us
过渡过程： 过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程
② 由换路定律
−
−
uL
iC R
+
RiS
_
uC (0+ ) = uC (0− ) = Ri S V
i L (0+ ) = i L (0− ) = i S A
③ 画出 0 电路，求出 iC (0 电路，
+ +
Ri S iC (0 ) = i S − = 0A R
+
) ，uL (0 )
+
uL (0+ ) = − Ri S V
小结： 小结： 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y( t ) = y(0 + )e
−
t
τ
2. 衰减快慢取决于时间常数τ RC电路 τ = RC , RL电路 电路 电路
τ = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 一阶电路的零输入响应和初始值成正比
ε(t)
1 0
0 ( t < t 0 ) ε (t − t0 ) = 1 ( t > t 0 )
t
2. 单位阶跃函数的延迟 ε(t-t0) 1
t t0 0 3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 f(t) 例1 1 f ( t ) = ε ( t ) − ε ( t − t0 ) 0 t0 t
δ (t-t0)
（1） ） 0 t0 t
4. δ 函数的筛分性
∫
∞
−∞
f ( t )δ ( t )dt = f (0)∫− ∞ δ ( t )dt = f (0)
f(0)δ(t)
∞
同理有： 同理有：
∞
δ(t)
(1) f(0) 0
f(t) t
∫
−∞
f ( t )δ ( t − t 0 )dt = f ( t 0 )
已知 uC (0-)=U0 求 uC和 i . 解
K(t=0)
i
R
+ d uC C uC uC = uR= Ri i = −C dt – d uC RC + uC = 0 dt 特征方程 RCp+1=0 uC ( 0 + ) = U 0
p=− 1 RC
uR
–
+
特征根
uC = Ae pt = Ae 则
磁链守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
三. 电路初始值的确定 (1) 由0-电路求 uC(0-)
例1
+ -
i 10k 40k 10V k iC
+
uC
+ -
10k 10V
+
40k uC(0-)
τ
2τ U0 e -2
3τ U0 e -3
uc = U 0 e
τ
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 τ - 5 τ , 过渡过程结束。 过渡过程结束。
τ：电容电压衰减到原来电压 电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 衰减到原来电压 所需的时间。 所需的时间
的简便计算： 时间常数τ 的简便计算： 例1 + R2 L R2 L R1 R1
τ = L / R等 = L / (R1// R2 )
例2 R等 C
τ = R等C
示例
电压， 闭合后， 已知图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求K闭合后，电容电压和 闭合后 各支路电流随时间变化的规律。 各支路电流随时间变化∫0 ( e )2 Rdt R 2t 2t 2 − − U0 RC RC ∞ RC (− e ) |0 e dt = R 2
2
∞
−
t RC
1 2 = CU0 2
二. RL电路的零输入响应 电路的零输入响应
R1 US R
i
+
i
(0+)
=i
(0-)
US = I0 = R1 + R
−
1 t RC
uc = Ae
U 0 = Ae
−
1 t RC
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0 A=U0 U0 uC t
−
1 t RC
t =0
uc = U0e
−
t RC
= t ≥0
0
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确 说明在动态电路的分析中， 定解答的必需条件。 定解答的必需条件。 令 τ =RC 则uc = U0e
− t RC
= U0e
−
t
τ
t ≥0
称τ为一阶RC电路的时间常数 为一阶 电路的时间常数 电路的
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
τ大 τ小
t
uc 过渡过程时间的长 过渡过程时间的长 过渡过程时间的短 过渡过程时间的短 0 0
− t
U0
τ大 τ小
t 5τ U0 e -5 0.007 U0
A
t≥0
5F
2 利用并联分流， 利用并联分流，得 i2 = i1 = 4e 3 − 1 i3 = i1 = 2e 3
K(t=0) L
uL
–
di L + Ri = 0 dt
特征根 p = −
R L
t ≥ 0
特征方程 Lp+R=0
i ( t ) = Ae pt
定积分常数A 由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A= i(0+)= I0 令 τ = L/R ,
−
得 i ( t ) = I 0 e pt = I 0 e
+ uc -
C
t=
0+时刻
1 uC ( 0 ) = uC (0 ) + C
+ −
∫
0+ 0−
i (ξ )dξ
q
当i(ξ)为有限值时 ξ 为有限值时
(0+)
=q
(0-)
+
0+ ∫0−
i(ξ)d ξ ξ
0+ ∫0 −
i(ξ)d ξ ξ
0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
电感放出能量： 电感放出能量：
1 2 LI0 2
) Rdt
− 2t RC
电阻吸收（消耗）能量： 电阻吸收（消耗）能量：
WR = ∫ i 2 Rdt = ∫ ( I0e 0 0
= I R∫ e
2 0 0 ∞ 2t − L/ R
∞
∞
−
t L/ R 2
L/ R 2 e dt = I0 R(− 2
1 2 ∞ = LI0 ) |0 2
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
1 t iL (t ) = ∫ u (ξ )dξ L −∞
L
1 t 1 0− 1 t iL (t ) = ∫ u (ξ )dξ + ∫ − u (ξ ))dξ = iL ( 0 − ) + ∫0 u(ξ )dξ L L −∞ L 0
§6-4 一阶电路的零输入响应
一阶电路：只有一个动态元件 描述电路的方程是一阶线性微 一阶电路：只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微 分方程。 分方程。 零输入响应：换路后外加激励为零， 零输入响应：换路后外加激励为零，仅由初始储能作用于电路 产生的响应。 产生的响应。
一 RC放电电路 放电电路
−
-
ψ (t ) = ψ (0 ) + ∫ u (ξ )dξ
− 0−
t
t = 0+时刻
1 0+ iL (0 ) = iL (0 ) + ∫ − u (ξ )dξ L 0
+ −
ψ (0 ) = ψ (0 ) + ∫ u (ξ )dξ
+ − 0−
0+
当u为有限值时
iL(0+)= iL(0-)
ψL (0+)= ψL (0-)
* f(t)在 t0 处连续 在
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0换路在 t=0时刻进行 时刻进行 00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值 二. 换路定律 i
1 t uC ( t ) = ∫ i (ξ )dξ C −∞ 1 0− 1 t = ∫ i (ξ )dξ + ∫ − i (ξ )dξ C −∞ C 0 1 t − = uC (0 ) + ∫ − i (ξ )dξ C 0
uL ( 0 + ) = −2 × 4 = −8V uL (0 )
+
10V
2A
-
求初始值的步骤 1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 由换路前电路（稳定状态） 。 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 。 3. 画0+等值电路。 等值电路。 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 电容（电感） 电压源（电流源）替代。 时刻值，方向同原假定的电容电压、 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 电感电流方向。 4. 由0+电路求所需各变量的 +值。 电路求所需各变量的0
-
-
求 iC(0+)
uC(0-)=8V (2) 由换路定律
+
(0-)=8V
i(0+) 10k 10V iC(0+)
+
8V
-
uC
(0+)
= uC
-
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
10 − 8 iC ( 0 ) = = 0.2mA 10
+
0+等效电路 iC(0--)=0 iC(0+)
例2 10V
K
解：本题为求解一阶 RC 电路零输入响应问题 则有
2Ω i1
uC = U 0 e
−
t RC
t ≥0
+
i2
i3
5F
uC
_
3Ω
6Ω
又由已知条件
U 0 = 24V
τ = RC = 4 × 5 = 20 s
⇒ uC = 24 e
− t 20
等效电路 t > 0
V
t 20
t≥0
i1
+
t − 20 t 20
− uC ∴ i1 = = 6e 4
1Ω Ω K
4Ω Ω L iL
+
uL
t = 0时闭合开关 , 求 uL(0+) 时闭合开关k 时闭合开关 (1) 由0-电路求
-
Q uL ( 0 − ) = 0 ∴ uL ( 0 + ) = 0
iL(0-) =2A (2) 由换路定律
×
(3) 由0+等效电路 0+电路 1Ω Ω 4Ω Ω
iL(0+)= iL(0-) =2A +
能量关系
电容不断释放能量被电阻吸收, 电容不断释放能量被电阻吸收, 不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕. 直到全部消耗完毕.
C R uC －
+
设uC(0+)=U0
电容放出能量： 电容放出能量：
1 2 CU0 2
电阻吸收（消耗）能量： 电阻吸收（消耗）能量：
WR = ∫
U = R
2 0
∞
0
∫
∞
二. 过渡过程产生的原因 1. 电路内部含有储能元件 L 、M、 C 2. 电路结构发生变化 换路
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化， ，电路在换路时能量发生变化， 而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 三. 稳态分析和动态分析的区别 稳 态 动 态
2. 单位冲激函数 δ (t) 定义
0 δ (t ) = 0 ( t < 0) ( t > 0)
δ(t) (1) t
∫
∞
−∞
δ ( t )dt = 1
0
3. 单位冲激函数的延迟 δ (t-t0)
δ ( t − t 0 ) = 0 ( t ≠ t 0 ) ∞ ∫− ∞ δ ( t − t 0 )dt = 1