interplot插值

yn y2 y* y1
( x j , y j ), j = 0,1, 2, ..., n
,如图 y*
图中各节点可以 看做由未知函数 y=h(x)产生， 产生， 产生 函数h 的表达式 函数 一般很复杂 甚至无表达式
其中xj互不相同，不妨设 a= x0< x1<...< xn =b
x* ≠ x 处的插值 j
拉格朗日插值多项式应用实例： 已知数据： 0 0.1
shili.m 0.2 1.5 0.3 1.3 0.4 2 0.5 2.4
本节课我们学习一维插值的理论及应用。 常用一维插值方法有如下几类： 1.多项式插值 多项式插值 1.1 拉格朗日插值 1.2 牛顿插值 2.埃尔米特插值 埃尔米特插值 3.分段插值与样条插值 分段插值与样条插值 3.1 分段线性插值 3.2 三次样条插值
继续讨论提出的引例： 除了使用熟知的两 点式方程来构造直线 来计算 130 的值，
XA = Y ,
n n x0 x0 −1 ... 1 an y0 n n −1 an −1 y x1 x1 ... 1 其中:X = ,A= ,Y = A = 1 M M ...... x n x n −1 ... 1 a0 yn n n
在已知数据点较少时，作为数值逼近技术之一的插 值技术在工程实践和科学实验中有着广泛而又十分重要 的应用。例如在信息技术中的三维图像重建、 图像放大 过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值补点，建筑 工程的外观设计，化学工程试验数据与模型分析，天文 观测数据、地理信息数据的处理等方面，插值技术的应 用都是不可或缺的。 下图显示了一维三次样条插值的一个应用。Chazhituli.m
12. 5
11. 44
12
L1( x) 43 11. L2( x) 11. 42 sqr t ( 130) 11. 41
局部放大图
L1( x) L2( x) sqr t ( 130)
11. 5 11 10. 5 10 9. 5 95
11. 4 11. 39 11. 38 11. 37 11. 36 100 105 129. 2 110
y
12
?
直线的两点式方程：
y − 11 x − 121 = 12 − 11 144 − 121
由此计算：
121
130
144
11
x
130 ≈ 11.3913
实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数 函数 概念来刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的 未知的， 未知的 或者函数已知，但形式十分复杂 形式十分复杂。从计算和应用角度看，人们 形式十分复杂 非常希望能近似的表达一个复杂或未知的函数而不追求其完备 的形式，这就是函数近似 函数近似。主要包括三个方面的问题： 函数近似 1.复杂函数能否被简单函数近似表示（存在性）； 2.近似程度如何（误差估计）； 3.如何计算函数的近似表达式（数值逼近）。 通俗点说就是如果能够得到未知函数或复杂函数的某些 已知信息（通常是有限个数据点的值），那我们如何构造这 些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数 值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？ 在实际计算过程中，插值理论与方法就是解决这些问题 的有效工具之一。
Ln ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
可以得到用以确定n+1个系数 a j , j = 0,1, 2,..., n 的方程组为：
(1)
利用约束条件（插值函数必须经过所有节点）： Ln ( x j ) = y j , j = 0,1, 2,..., n
+
+ +
*
+
x0 , x1 ,
x*,
...
xn
x
求解插值问题的基本思路 构造一个(相对简单的)函数y=f (x)通过全部节点, 即使得 f ( x j ) = y j , j = 0,1, 2,..., n 再用近似函数f (x) 计算插值，得 y* ≈ f ( x*) y
yn y2 y* y1
+
比较130的平方根的精确值：11.401754250991… 可以发现二次插值结果优于线性插值.
注意L 的相似性，会在后面拉格朗日插值中作解释。 注意 1(x)和L2(x) 的相似性，会在后面拉格朗日插值中作是由用到 三个已知信息的二次插值而来，其计算精度优 于前一个只用两个已知信息的线性插值的近似 计算结果(如图1)。 kaifang.m
大学数学实验
Experiments in Mathematics
插 值 INTERPOLATION
• 引例： 大家都知道： 100 = 10, 121 = 11, 144 = 12 如果要求你不直接开方计算 130 ，你能怎样得到近似结果？ 可以假设： x 在区间[11,12]内按照线性递增，从而可以利用已 知的 ，如图 130 121 = 11, 构造直线来计算 144 = 12
上面所使用的方法利用了高等数学中以直线代 替曲线的思想，虽然简化了计算，但是事实上这种 方法的误差还是比较大的。为了得到更加精确的计 算结果，根据已知条件可以用二次插值（抛物线插 值）来进行计算：二次插值函数如下：
( x − 121)( x − 144) ( x − 100)( x − 144) L2 ( x) = ×10 + ×11 (100 − 121)(100 − 144) (121 − 100)(121 − 144) ( x − 100)( x − 121) + ×12 可以计算： (144 − 100)(144 − 121) 130 ≈ 11.4032
( xi − x 0 ) L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) L ( xi − x n ) =1, i = 0,1,..., n ( xi − x 0 ) L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) L ( xi − x n )
li ( x i ) =
若 i ≠ j ,不 妨 设 j > i + 1,那 么 ： ( x − x 0 ) L ( x j − xi −1 )( x j − xi +1 ) L ( x j − x j ) L ( x j − x n ) li ( x j ) = j =0 ( xi − x 0 ) L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) L ( xi − x n ) 1, i = j 即 li ( x j ) = , 0, i ≠ j 所 以 Ln ( x j ) = y 0 l0 ( x j ) + y1l1 ( x j ) + ... + y j l j ( x j ) + ... + y n l n ( x j ) = y j
(2)
因为x0,x1,…,xn各不相同，所以系数矩阵X的行列式为范德蒙德行列式， 即det(X)≠0 ，所以方程组 (2) 有唯一解，即插值多项式是存在唯一的。
（2） 拉格朗日插值多项式 ）
上述解方程确定近似多项式系数的方法虽然理论上没有问题，但 在实际计算过程中，往往会出现系数矩阵X为病态矩阵（注：指矩 阵的行列式值过小，使得方程组求解误差较大）的情况，例如： 已知数据：
原始数据
1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 - 0. 2 - 0. 4 - 0. 6 - 0. 8 -1 0 1 2 3 4 5 6
三次样条插值
1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 - 0. 2 - 0. 4 - 0. 6 - 0. 8 -1 0 1 2 3 4 5 6
插值发展简史：早在6世纪，隋朝的天文学家 刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之 后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的 一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理 和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值 微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重 要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导 出的。 随着当代计算机科技和软件的发展，插值方法 在多元函数中的应用越来越多，比如图像处理， 三维物体建模等领域，插值的应用非常广泛。
（2） 拉格朗日插值多项式 ）
上面实例提示我们按照解方程组的形式来确定近似多项式的系数并不 是很方便的手段，下面引入一种计算更加方便的多项式构造方法----拉格 朗日插值多项式。 n
Ln ( x) = ∑ yi li ( x),
i =0
(3)
基函数
其中 li ( x) = 容易验证
( x − x0 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − xn ) , i = 0,1,..., n. ( xi − x0 ) L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L ( xi − xn )
0
0
0
0.0010 0.0100 0.1000 0.0080 0.0400 0.2000 0.0270 0.0900 0.3000 0.0640 0.1600 0.4000 0.1250 0.2500 0.5000
1 1 1 1 1 1
利用Matlab可以计算其行列式为：det(X)=-3.4560*10-11，计算过程中由于计算机 字长的限制会产生舍入误差，影响最后结果的精度，而且求解线性方程组对于手 工计算难度也较大。因而实际计算采用的方法是构造基函数再线性相加，即拉格 拉格 朗日插值。 朗日插值
+
f ( x)
+ +
近似函数的构造 方法有多种，我 们先来学习： 拉格朗日插值
*
x0 , x1 ,
x*,
...