圆与圆的位置关系(解析版)

第50讲：圆与圆的位置关系
一、课程标准
1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系
2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系
设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).
三、自主热身、归纳总结
1、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是( )
A . 内含
B . 相交
C . 外切
D . 外离 【答案】B
【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，∴C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B .
2、圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为( )
A . 2
B . 2 2
C . 3
D . 23 【答案】B
【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，
得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为2
2＝
2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B .
3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A . 内含
B . 相交
C . 外切
D . 外离 【答案】B 【解析】圆
M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴
⎝ ⎛⎭
⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .
4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18
【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得
⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝r 2，
()a ＋52
＋()b ＋52
＝()r±522，a 2
＋()b ＋62
＝r
2
解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.
5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．
【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方
程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.
6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5
【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋1
2＋
m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝
0，解得m ＝－5或m ＝2.
四、例题选讲
考点一、圆与圆的位置关系
例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.
(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？
(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .
(1)
＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.
所以公共弦长为=. 变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．
【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.
从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6， 即14<k<34时，两圆相交．
当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．
方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l
2，半径r 所在线段构成直角三角形，利
用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
考点二 圆与圆的综合问题
例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．
【答案】 9
4
【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得
（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，
即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab 的最大值为9
4.
变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．
【答案】 1
2
【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得
（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，
即(a ＋b)2
＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2
≥（a ＋b ）22＝1
2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12
.
变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0
【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，
得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得
(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，
即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.
变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b
2的最小值为( )
A. 3
B. 8
C. 4
D. 9 【答案】D
【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知
a 2＋4
b 2＝2－1，即
a 2＋4
b 2＝1，则
1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2
b
2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝
2b 2时等号成立．故选D.
变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →
|的取值范围为____． 【答案】[]7，13
【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14
，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||
PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.
变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的
方程．
【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组
⎩
⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，
x 2＋y 2
＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐
标是(－3，3)．
又r ＝
()－4＋32＋32＝
10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.
(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)
同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.
(方法3)(用待定系数法求圆的方程)
同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．
设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，
∴得方程组⎩⎨⎧
()－4－a 2＋b 2＝r 2，
a 2＋()3－
b 2＝r 2，a ＋b ＝0，
解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，
故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.
(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ
1＋λ
)．
∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ
1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程
为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.
方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。

五、优化提升与真题演练
1、.(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：
(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
【答案】B
【解析】法一：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2ay ＝0，
x ＋y ＝0，
得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22，
2 2.
又a ＞0，∴a ＝2.
∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4， 圆心M (0,2)，半径r 1＝2.
又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1，
∴|MN |＝ 2.
∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交． 法二：由题知圆
M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线
x ＋y ＝0的距离d ＝a
2
，所以2
a 2－
a 22
＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．
2、若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )
A ．3
B ．4
C ．2 3
D ．8
【答案】B
【解析】连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2
＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，
sin ∠AO 2O 1＝
55，∴在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝25×5
5
＝2，∴|AB |＝2|AC |＝4.故选B. 3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________． 【答案】 x 2＋y 2＝81
【解析】思路分析 圆C 平分圆C 1等价于：两圆的公共弦是圆C 1的直径．
设圆C 的圆心为C (a,0)，半径为r ，则r 2＝CC 21＋1且r 2＝CC 2
2＋9，即222
222
(4)(8)1(6)69a r a r
⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
r 2＝81.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝81. 4、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 ⎝
⎛⎭⎫－4，4
3 【解析】当直线l 斜率不存在时，l 与两个圆不可能都相交，故不成立；当l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝k(x
－m)，即kx －y －km ＝0，设圆O 、圆C 到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则有：1－d 21＝4－d 22，即d 22－d 21＝3，
所以|4k －km|21＋k 2－|－km|2
1＋k 2
＝3，整理得
16－8m ＝3＋3k 2>3，解得m<138，又直线与圆相交，所以d 1<1，则|－km|21＋k 2
<1，即m 2<1＋k 2k 2，所以m 2<16－8m 3，
即3m 2＋8m －16<0，解得－4<m<4
3
，综上实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，43 . 5、(2019苏北三市期末） 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以
C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________．
【答案】－6
【解析】 思路分析 本题是圆的综合题，对于题目条件x 21－x 22＝y 21－y 21.可以变形为x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2，从而可
从几何和代数两个角度求解．
解法1 由题可得C 1(－m ，2m ＋3)，C 2(－2，3)．
由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2，即OA ＝OB ，故△OAB 为等腰三角形，所以线段AB 的中垂线经
过原点O.又相交两圆的连心线垂直平分公共弦，所以，两圆圆心的连线就是线段AB 的中垂线，即直线C 1C 2过原点O ，所以C 1，C 2，O 三点共线，所以－3m ＝－2(2m ＋3)，解得m ＝－6.
解法2(代数法) 将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)带入圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0中得：x 21＋y 2
2＋2mx 1
－(4m ＋6)y 1－4＝0，x 22＋y 22＋2mx －(4m ＋6)y 2－4＝0，由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2，
从而2mx 1－(4m ＋6)y 1＝2mx 2－(4m ＋6)y 2，所以2m(x 1－x 2)＝(4m ＋6)(y 1－y 2) ①
设圆C 2为半径为r(r>0)，则圆C 2：(x ＋2)2＋(y －3)2＝r 2(r>0)，即x 2＋y 2＋4x －6y ＋13－r 2＝0，再将A(x 1，
y 1)，B(x 2，y 2)代入圆C 2方程中得，x 21＋y 21＋4x 1－6y 1＋13－r 2＝0，x 22＋y 22＋4x 2－6y 2＋13－r 2＝0，
由x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2，从而4x 1－6y 1＝4x 2－6y 2，所以2(x 1－x 2)＝3(y 1－y 2) ②
由①②得2m 2＝4m ＋63
，从而m ＝－6.
6、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足
2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】 [ 思路分析：根据条件可得动点M 的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.
解题过程：设),(y x M ，因为2210,MA MO +≤所以10)2(2222≤+++-y x y x ，化简得0322
2≤--+x y x ，
则圆012:22=-++x y x C 与圆032:2
2'=--+x y x C 有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直
线方程为2
1-
=x ，代入0322
2≤--+x y x 可得2727≤≤-y ，所以点M 的纵坐标的取值范围是
[． 7、已知圆C 经过点A ⎝⎛
⎭⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎫－318
，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2
＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .
(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．
【解析】(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 因为圆C 经过A ，B 两点， 所以⎝⎛⎭⎫742＋⎝⎛⎭⎫174－b 2＝⎝⎛⎭⎫－3182＋⎝⎛⎭⎫338
－b 2
， 即
716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334
b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝⎛
⎭⎫742＋⎝⎛⎭⎫174
－42＝1
2，
所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1
2
.
(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±2
2
，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝⎛⎭⎫22，22，Q ⎝⎛⎭⎫22，－22或P ⎝⎛⎭⎫－22，22，Q ⎝⎛⎭⎫－22
，－2
2，则OP ―→·OQ ―→＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．
当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 2＋y 2＝1，
消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0， 即
1＋k 2＞m 2，则
x 1＋x 2＝－2km
1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2
，
所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝
k 2
m 2－11＋k 2
－2k 2m 2
1＋k 2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2
，
又OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→
＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 2
1＋k 2
＝0， 故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．
因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝1
2相切，
所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝
|m －4|1＋k 2
＝22
， 即m 2－8m ＋16＝1＋k 2
2，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，
故1＋k 2＝8，得k ＝±7. 故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2. 综上，直线l 的方程为x ＝±2
2
或y ＝±7x ＋2.。