北师大版必修一：第二章3函数单调性课件

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是降落的. （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3）x1, x2 取值的任意性.
牛刀小试 例1、画出反比例函数 f (x) = 1 的图像.
x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？用定义证明 你的结论.
增函数的定义. y
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？ y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间A上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
那么就说函数f(x)在区间A上是递增的 （增函数），A称为f(x)的单调增区间.
④判断：根据定义得出结论.
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函数的单 调性
证步 明骤
增函数 增区间 减函数 减区间
单调 区间
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
关 注
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即 函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区 间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪 个区间内.
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (பைடு நூலகம்)
Ox
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (x)
O
x
x
y
f (x)
f (x) x2
xO
x
（-∞，0]上 f (x) 随x的增大而减小; [0，+∞）上 f (x) 随x的增大而增大.
函数图象如图
(1)函数的定义域是(-,0) (0,+).
(2)函数在（ ，0）上和（0， ）上 都是减函数.
【思考交流】
根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说 法是错误的.
函数在（-，0）上单调递减的证明如下：
证明：任取x1, x2 (, 0),且x1 x2 ,
则f
(x1)
f
(x2 )
1 x1
1 x2
x2 x1 . x1x2
由x1,x2∈(-∞,0)得x1x2 > 0;由x1 < x2得x2 - x1 > 0.
所以f(x1)- f(x2)> 0，
即f (x1) f (x2）.
根据函数单调性的定义，函数（f x) 1 在（ ，0）上是减函数. x
【提升总结】
此为证明的关键 点、易错点
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间A上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说函数f(x)在区间A上是递减的 （减函数），A称为f(x)的单调减区间 .
单调区间
【特别提醒】
（1）如果函数 y =f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性.
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:
①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且 x1<x2; ②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)), 并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于
判断差的符号的方向变形;
③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号, 当符号不确定时,可进行分类讨论;
探究一 函数单调性的定义
上升
y y x 1
o
x
降落
y
y x 1
o
x
局部上升或降落 y
y x2
o
x
能用图像上动点P（x，y）的横、纵坐标
关系来说明上升或降落趋势吗？
以f(x)=x2为例说明图像的变化特点：
y
f(x)=x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
y
x
O
§3函数的单调性
学习目标
1.理解函数单调性的定义；（重点） 2.掌握用定义判断函数单调性的方法及步骤；（难点） 3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求
函数的单调区间.
推动新课
探究一 函数单调性的定义 1、画出下列函数的图像
（1）y=x+1; （2）y=-x+1; （3）y=x2;