2020-2021学年广东省深圳市龙华区九年级(上)期末数学试卷(学生版+解析版).docx

2020-2021学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数学试卷一. 选择题（本题具有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1.（3分）若2x=5y,则兰的值是（）
y
A.旦
B. -2 c.旦 D. 2
2 5 2 3
2.（3分）如图是一个机器的零件，则下列说法正确的是（）
A.主视图与左视图相同
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同
D.主视图、左视图与俯视图均不相同
3.（3分）关于反比例函数y= - A,下列说法中正确的是（）
x
A.点（1, 4）在该函数的图象上
B.当x的值增大时，＞的值也增大
C.该函数的图象在一、三象限
D.若点P 3, n）在该函数的图象上，则点Q （-M1, -77）也在该函数的图象上
4.（3分）如图，已知直线h//l2//h,直线AC分别与直线h, h, h,交于A、B、C三点,
直线QF分别与直线Z1, /2,【3交于D、E、F三点，AC与DF交于点0,若BC=2AO=
2OB, 00=1.则OF 的长是（）
A.
对角线相等的四边形是矩形 B.
菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 任意两个矩形一定相似
D. 将抛物线）=■? - 3向右平移2个单位再向上平移3个单位后得到的抛物线为
y=（x+2）
9. （3分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔 离区一面靠长为5m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开.已知整个隔离区塑 料膜总长为12m,如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长,
小明认为：隔离区的最大面积为12所2；小亮认为：隔离区的面积可能为9力2.贝U ：（
）
B. 小明错误，小骨正确
6. 7. 8. B.亚
2
2 （3分）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为 红球的概率是（ ）
D. 1 A . A
B . 2 c. A D . A 9 3 2 3
（3分）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程X 2- 13x+36=0的两个实数根, 那么这个三角形的周长可能是（
） A. 13 B. 18
C. 22
D. 26 （3分）下列命题中是真命题的是（ ） 是（
A.小明正确，小亮错误
C.两人均正确
D.两人均错误
10.（3分）如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE,连接CE、
DE, DE与BC交于点、N, F是CE的中点，连接AF交3。

于点M,连接BF.有如下结论:
① DN=EN；
②△ABFsfCD；
®tanZCE£)=A；
3
④S 四边形BEFM= 2S A CMF.
其中正确的是( )
C.②③④
D.①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填在答题卷相应的表格里）
11.（3分）若关于x的一元二次方程?+3x - k = 0没有实数根，则k的取值范围
12.（3分）如图，小明为了测量树的高度CQ,他在与树根同一水平面上的3处放置一块平
面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶Z）,已知A、B、。

三点在同一直线上，且AB=2m, BC=8m.他的眼睛离地面的高度1.6m,则树的高度CQ为m.
13.(3分)如图，已知抛物线y^ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A ( - 3, - 1), B (0, 3)
两点.则关于x的不等式a）?+bx+c>kx+m的解集是
14.（3分）如图，△A3C中，。

是AC上一点，ZCBD= ZA,匹=2,则虫的值
AC 3 AD
k
15.（3分）如图，己知直线y=kx与双曲线,=里交于A, B两点，将线段AB绕点A沿顺X
时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y = 经过点C,则三L的值
X kn
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16.（5 分）计算：2cos45° - |1 - A/2I+ （A） -1 "
3
17.（6 分）（1）解方程：%2 - 4x- 5=0；
（2）巳知二次函数的图象的顶点是M （ - 1, 4）,且经过点A （ -3, 2）,请求出该二次函数的表达式.
18.（8分）《深圳市生活垃圾分类管理条例》9月1日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综
合执法局网站上搜索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准的图标，制成编号为A、B、C、Q的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是；
（2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回）.再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”
的概率.（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）.
BCD
19.（8分）如图，AB是一座高为60 （3+^3）米的办公大楼，快递小哥在A3上的。

处操作无
人机进行快递业务.这时在另一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与。

在同一水平线上，从A看C的仰角为30°,从B看C的俯角为45° .
（1）请求出。

与。

之间的水平距离CD；
（2）已知Z）处信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围，若无人机以10m/秒的速度沿着AC方向飞到。

处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）
20.（8分）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售
出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%.
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
21.（10 分）己知抛物线y=ax1 - 2ax - 3«（"尹0）.
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含。

的代数式表示）
（2）若a>Q,且F Cm, yi）与Q （5, j2）是该抛物线上的两点，且yi>y2,求所的取值范围；
（3）如图，当a=l时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点。

.点O是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E,设点E
的横坐标为"，记s=四迎，当"为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值.
'△ABE
如图1,已知正方形ABCD中，E■是边AB的延长线上一点，过点C作CFLCE,交AD 于点F.
求证：CE=CF.
(2)尝试应用
如图2,已知正方形的边长为1, M是边A3所在直线上一点.N是边AD所在直
线上一点，且ZMCN=45°.记AM^x, S A MCN=»请直接写出〉与x之间的函数关系
式.
(3)应用拓广如图3,已知菱形ABCD是一个棱长为6切1的森林生态保护区，ZA=60°,沿保护区的边缘AB. AD已修建好道路AP和AQ,现要从保护区外新修建一条道路ECF,将道路
AP. AQ连通，已知ZECF= 120°,求道路ECF的最短路程.
2020-2021学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题具有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是
正确的）
1. （3分）若2x=5y,则兰的值是（)
y
A. A
B. 2
C.旦
D. 2
2 5 2 3
【解答】
V2x=5y,
解:
•兰=旦
"7 2"
故选：A.
2.（3分）如图是一个机器的零件，则下列说法正确的是（）
A.主视图与左视图相同
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同
D.主视图、左视图与俯视图均不相同
【解答】解：该几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层的中间是一个矩形；
俯视图是两个同心圆.
故选：A.
3.（3分）关于反比例函数- A,下列说法中正确的是（）
x
A.点（1, 4）在该函数的图象上
B.当x的值增大时，＞的值也增大
C.该函数的图象在一、三象限
D.若点P 3, n）在该函数的图象上，则点Q （ - m, - n）也在该函数的图象上
【解答】解：..•反比例函数为尸-生
X
「・当x=l日寸,y= - 4,
.••点（1, -4）在该函数的图象上，所以A错误；
••峨=-4V0,图象在二、四象限，当尤＞0时，y随工的增大而增大，所以8、C错误；
.. 4
.y= - —?
x
「・-4=xy,
•・•点F （m, n）在它的图象上，
- 4- = mn,
又,点Q（ - "z，-"）的横纵坐标值的乘积-m又-n） =nm= - 4,
..•点Q也在函数图象上，故Z）正确，
故选：D.
4.（3分）如图，已知直线h//l2//h,直线AC分别与直线h, h, h,交于A、B、C三点、, 直线QF
分别与直线/i, 12, b交于。

、E、F三点、,AC■与ZJF交于点。

，若BC=2AO= 2OB, 00=1.
则。

F 的长是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解答】解：
：.OC=3AO,
•..直线11//12//13,
. AO OD
• •----- —------- ,
OC OF
.AO 0D= 1
• •----- 二------- ------ ,
OC OF 3
・.・OQ=1,
...0F=3,
故选：C.
5.（3分）如图，已知△A8C的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则sinA的值
D. 1
【解答】解：过点8作BMLAC,垂足为
S/\ABC= S 长方形DFCE ~ S/^AFC ~ S/\ADB ~ S/\BCE
= 3X2 - AX2X1 - AxiX3 - 41X2
2 2 2
=§
~2
在RtAAFC 和RtAADB 中，
仙=寸人淀+8。

2=顼瓦=扼，
AC=V A F2+FC2=V1+32=A^-
'：S MBC=^AC'BM,
2
2 2
2
在RtAABM中，
Vio
血=业=军匝.
AB V5 2
解法二：由网格构造直角三角形可得，AC2=12+32=1O, AB2 = l2+22=5, BC2=l2+22= 5, '：AB2=AC2+BC2,
:.AABC是等腰直角三角形,
ZA-= ZC=45° ,
sinA-= sin45°
2
故选：B.
6.（3分）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为
红球的概率是（）
根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种,
两次都摸到红球的概率是2=1；
6 3
故选：D.
7.（3分）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程? - 13x+36=。

的两个实数根,
那么这个三角形的周长可能是（
A. 13
B. 18
C. 22
D. 26
【解答】解：J - 13x+36=0,
(x - 4) (x - 9) =0,
贝！J x - 4=0 或x - 9=0,
解得xi=4, X2=9,
则此三角形第三边的长度需满足5〈第三边长度＜13,
所以此三角形的周长需满足18〈周长＜26,
故选：C.
8.（3分）下列命题中是真命题的是（）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形
C.任意两个矩形一定相似
D.将抛物线卜二%2 - 3向右平移2个单位再向上平移3个单位后得到的抛物线为
y=（x+2）
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题；
3、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项说法是真命题；
C、任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项说法是假命题；
D、将抛物线向右平移2个单位再向上平移3个单位后得到的抛物线为y= (x -2) 2,故本选项说
法是假命题；
故选：B.
9.(3分)如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区
一面靠长为5所的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开.己知整个隔离区塑料膜总长为12〃z,如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12/772;小亮认为：隔离区的面积可能为9M?.则：( )
A.小明正确，小亮错误
B.小明错误，小亮正确
C.两人均正确
D.两人均错误
【解答】解：设隔离区靠近墙的长度为xm (0<x^5),隔离区的面积为S%2,由题意得:
S= 12-x xx
3
=--1^;2+4X,
3
4
.I对称轴为》= ------- =6,
,：0<x^5,抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
.•.当x=5时，S有最大值：
Sg= - A X52+4X5
3
=-葵+20
3
=35
T'
V9<^§.<12, 3
小明错误；
令S=9 得：9= - -kjr+4x,
3
解得：xi=9 （舍），X2—3,
x=3时，S=9.
隔离区的面积可能为9机2.
故选：B.
10.（3分）如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE,连接CE、
DE, DE与BC交于点、N, F是CE的中点，连接AF交3。

于点连接8F.有如下结论：
①DN=EN；
②、ABFsZCD；
③tanZCEZ）=A；
3
④S四ii® BEFM= IS^CMF.
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
【解答】解：..•四边形豳CD为正方形，AB=BE,
:.AB=CD^BE, AB//CD,
：.4NCDs4NBE,
. ND-CD-, • • ' - —1 ,
NE BE
：.DN=EN,故①结论正确；
VZCBE=90° , BC=BE, F 是CE 的中点，
/.ZBC£=45° , BF=、CE=J^BE, FB=FE, BFLEC,
2 2
・・・ZBCE=90° +45° =135° , ZFBE=45° ,
A ZABF= 135° ,
・•・ ZABF=ZECD,
..DC=V^ BE=V^
•——，——，
CE 2 AB 2
• DC = BE ；
"'CE AB ，
AABF^AECD,故②结论正确;
作 FG±AE 于 G,则 FG=BG=GE,
FG_ 1 ------- —9
AG 3
tan ZFBG=^-=—,
AG 3
△ABFsZCD,
ZCED=ZFBG,
tanZCE£>=—,故③结论正确;
3
tan ZFBG=—,
3
S A FBM=—S A FCM, 2
F 是CE 的中点,
S^FBC —S^FBE,
S 四边形BEFM=2S&CMF,故④结论正确;
故选：D.
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填在答题卷相应的表格里）
11. （3分）若关于x 的一元二次方程/+3x -k=Q 没有实数根,则A 的取值范围是kJ 当
BMABBMMC
【解答】解：.••关于X的一元二次方程^+3x - k=0没有实数根,
.\A = 32 - 4X1X ( - k) =9+4k<0,
解得：k< -—.
4
故答案为：k<-里
4
12.(3分)如图，小明为了测量树的高度CD,他在与树根同一水平面上的3处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶Z),已知A、3、C三点在同一直线上，且
AB=2m, BC=8n 他的眼睛离地面的高度1.6e 则树的高度CZ)为6.4
【解答】解：由题意可得：ZEBA=ZDBC, ZEAB=/DCB,
故左EABs^DCB,
则里=鲤",
DC BC
9CAB—2m, BC=8m, AE=1.6m,
. 1. 6_ 2
• •--
DC 8
解得：DC=6.4,
13.(3分)如图，已知抛物线y=ajc+bx+c与直线y=kx+m交于A (-3, - 1), B (0, 3)
两点.则关于x的不等式co?+bx+c>kx+m的解集是-3<x<0m.
D
B C 故答案为：6.4.
【解答】解：,抛物线y=cu^+bx+c与直线y=kx+m交于A ( - 3, - 1), B (0, 3)两
点，
•L 不等式ax^+bx+c>kx+m的解集是-3<x<0.
故答案为：-3VxV0.
14.(3分)如图，△A3。

中，£>是AC上一点，ZCB3=)A,丝=2,则孩的值是A .
AC 3 AD 一5一
【解答】解：•..ZCBD=ZA, /C=1C,
:.AABC^ABDC,
.BC CD_ 2
• •------ 二------ —----- f
AC BC 3
.•.设CD=2x, BC=3x,
. . BC _ 2 ・ - —，
AC 3
.'.AC=^-x,
2
:.AD=AC- CD=^x,
2
. CD — 2x 4
AD M 5
2
故答案为：1.
5
15.(3分)如图，已知直线y=kx与双曲线 >=兰L交于A, B两点，将线段AB绕点A沿顺
X
时针方向旋转60°后，点8落在点。

处，双曲线尸电经过点C,则旦的值是—
x ^2 3
【解答】解：连接OC、BC,作BMLx轴于M, CNLx轴于N,
'：AB=AC, ZBAC= 60 ° ,
.•.△ABC是等边三角形，
•.,直线y=kx与双曲线 >=生~交于A, B两点，
x
：.OA=OB,
:.COLAB, ZBCO=A Z ACB=30°,2
. 0B-V3
• • ,
0C 3
VZBOC=90° ,
:.ZBOM+ZCON=9Q° ,
'：ZBOM+ZMBO=90° ,
:.ZCON=ZMBO,
'：ZBMO= ZONC=9G° ,
：.4B0Ms/0CN,
.S AB0M ( OB)2=1,
^ACON °C 3
S^BOM——\ki\= - —ki, S^CON——|FO|=—ki,
2 2 2 2
•k l__ 1
••-—,
k2 3
故答案为-1.
3
三、解答题(本题共7小题，共55分)
16.(5 分)计算：2cos45° - |1 - V2I+(；)1 - ^27«
3
【解答】解：原式=2X 均-(折-1)+3-3
2
=柄-V2+1
=1.
17.(6 分)(1)解方程：%2 - 4x- 5=0；
(2)已知二次函数的图象的顶点是M ( - 1, 4),且经过点A ( - 3, 2),请求出该二次函数的表达式.
【解答】解：(1) ?-4.r-5=0,
(x - 5) (x+1) =0,
x - 5=0 或％+1=0,
解得：XI =5, X2= - 1；
(2)・.•二次函数的图象的顶点是M ( - 1, 4),
.•.设二次函数的表达式是y=a (x+1) 2+4,
.••函数图形经过点A ( -3, 2),
：.2=a ( - 3+1) 2+4,
解得：a=-―,
2
.'.y= - -1 (x+1) 2+4= - —X2 - x+-L,
2 2 2
即该二次函数的表达式是_y= - - 了+§.
18.(8分)《深圳市生活垃圾分类管理条例》9月1日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合
执法局网站上搜索到生活垃圾(可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾)分类标准的图标，制成编号为A、B、C、Q的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是1；
一4一（2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回）.再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”
的概率.（这四张卡片分别用它们的编号A、B、。

、。

表示）.
BCD
【解答】解：（1）...有可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，共四张卡片,
，.•小张从中随机抽取一张卡片是"可回收物”的概率是
4
故答案为：A；
4
BCD A C D ABD ABC
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的结果数为2,
..•抽到的两张卡片恰好是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率=_%=■!.
12 6
19.（8分）如图，AB是一座高为60 （3+^/3）米的办公大楼，快递小哥在上的£＞处操作无人
机进行快递业务.这时在另一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与。

在同一水平线上，从A看C的仰角为30°,从B看C的俯角为45° .
（1）请求出。

与。

之间的水平距离CD；
（2）已知Z）处信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围，若无人机以10m/秒的速度沿
着AC方向飞到。

处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）
【解答】解：(1)由已知得，ZZ)AC=60° , ZDBC=45° , ZAZ)C=90° ,
设AD=xm,
在RtAADC 中，VtanZZ)AC=^_,
AD
CD—ADtan Z DAC=x X tan60 ° =
在RtABCD 中，
V ZBCD=90° - ZDBC=45° = ZDBC,
BD=CD=，
*：AB=AD+BD,
60 (3+如)，
解得x=60妪,
・・・CQ=J§x=180 (m),
答：。

与。

之间的水平距离CD为180/77；
(2)过点。

作DE1AC于点E,
设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险,
VsinZZ)AC=^-, cosZZ)AC=-^-, AD AD
DE~ADsin Z DAC— 60-\/3sin60° =90 Cm),
AE=ADcosZDAC=60^3cos60° =30^3 (m),
在RtADEF中，根据勾股定理，得
£F=V D F2-DE2=V1502-902=12°S），
:.AF^AE+EF^ （30A/3+120）m,
:./= 30>/3+120 =（3^3+12）秒.
10 10
答：当无人机飞行（3^+12）秒后会出现接收不到信号的危险.
20.（8分）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售
出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%.
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设第一次加价的增长率为x,由题意得：
10 （1+x）（l+x+10%） =24,
解得：xi=0.5=50%, xi— - 2.6 （不合题意，舍）.
...第一次加价的增长率为50%.
（2）设当销售单价为m元/个时，获得的利润为〉元，由题意得：
y= （w - 10） [100+10 （24 - m）]
=-10/n2+440m - 3400
=-10 3 - 22） 2+1440,
V - 10<0,
当〃z=22时，y取得最大值为1440.
•••当销售单价为22元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元. 21.（10 分）已知抛物线y—ax2 - 2ax - 3a（a#0）.
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示）
（2）若">0,且P S, yi）与Q （5, ,2）是该抛物线上的两点，且yi>y2,求m的取值范围；（3）如图，当a=l时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点8的左侧，与y轴交于点C.点。

是直线BCT方抛物线上的一个动点，AD交BC于点、E,设点E
的横坐标为"，记s=四迎，当"为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值.
'△ABE
【解答】解：(1) •.•y=or2 - 2ox - 3a=a (x2 - 2x+l - 1) - 3a—a (x - 1) 2 - 4a, ，•.顶点坐标(1, -4”)，对称轴x=\.
(2) Vtz>0,抛物线的对称轴x=l,
.•.当xNl时，y随x的值的增大而增大，
当点F (m, yi)在对称轴的右侧，
'：yi>y2,
当P (m, yi)在对称轴的左侧时，即m<l时,
作点P关于对称轴的对称点Q (2 -m, ^1),
.*.2 - m>5,
解得m< - 3,
综上所述，m的取值范围为mV-3或m>5.
(3)。

=1 时，抛物线y=x^ - 2x - 3,
由y=0，得x2 - 2x - 3=0,解得x=3或-1,
「•A ( - 1, 0), B (3, 0), 由x=0,得到y= - 3, :.C (0, - 3),
直线BC 的解析式为y=x - 3,
过点A 作AF//y 轴交BC 于F,过点D 作DHA.X 轴于H,交;y 轴于G.则左DEG^/\AEF, 如图1,已知正方形ABCD 中，E ■是边A3的延长线上一点，过点C 作CFLCE,交AD 于点F.
.s= S^BDE = DE = DG
'△ABE 提 AF
?A ( - 1, 0),
'.F ( - 1, -4),
•.AF=4,
设 D (x, x 2-2x- 3),则 G (x, x - 3),
'.DG=x - 3 - (x 2 - 2r - 3) = - ^+3x, o
•.S=-x +3x= -l (x .3_)2+_9_,
4 4 2
16
.•- A<o,
4
,•x=l 时，S 取得最大值为e, 2
16
此时Q 为（旦，-巨）， 2 4
/.直线AD 的解析式为y=-ljc-l, 2
2 3 X=T 4，
y=~5 由， 3 3
y=x-3
故当
-3
-—,
5 〃=旦时，S 取得最大值，最大值为旦.
22. （10分）（1）基础巩固
求证：CE=CF.
(2)尝试应用
如图2,已知正方形ABCD的边长为1, M是边所在直线上一点.N是边AD所在直线上一点，且ZMCN—45°.记AM—x, S^MCN—y.请直接写出〉与x之间的函数关系式.
(3)应用拓广
如图3,已知菱形ABCD是一个棱长为6饥的森林生态保护区，ZA=60°,沿保护区的边缘AB. AD 已修建好道路AP和AQ,现要从保护区外新修建一条道路ECF,将道路AP, AQ连通，已知ZECF= 120°,求道路ECF的最短路程.
【解答】证明：..•四边形ABCD为正方形，
：.BC=CD, ZDCB=ZCBE=90° ,
'：CF±CE,
:.ZFCE=90° ,
ZDCF= ZBCE,
.'.△DCF竺2CE (ASA)
:.CE=CF；
(2)过点C作CELCN,交AB的延长线于E,如图1,
图1
•： /DCN+/NCB=90° , ZBCE+/NCB=90° ,
・.・ ZDCN= ZNCB,
在△CAN 与ZXCBE■中，
<ZDCN=ZNCB
< CD=CB ，
ZCDA=ZCBE
：.4CDN#4CBE (ASA),
:・CE=CN,
•'CELCN,
:.ZECN=90° ,
V ZMCN=45° ,
:.ZECM=90° -45° =45° ,
.；CN=CE, /ECM=ZMCN=45° , CM=CM,
L4NCM竺4ECM (SAS),
S.MCN=S MME,
•「S」BCE=SmCN,
S^MCN= S △CMB+S 4CDN=y,
S^AMN= 1 - S AMCN -S A CMB-S A CDN= 1 - 2y,
设DN=z, BM= 1 - X,
在RtZXAMN 中，x2+ (1 - z) 2= (1 - x+z) 2,
Aj^+z2 - 2Z+1=X2+Z2+1-2x+2z - 2xz,
4z - 2xz=2x,
1 1 1 y Y-Y*
S AMN ^-AM-AN=yx ・(l-z) px (1-不)手
•S/^ANM= 1 2y,
2
•X-X 口
.. ---- =l-2y?
2-x
2
解得：尸；
4-2 x
(3)以CD为边作ZDCG= 120°,交射线AP于点G,过点C作CH±PA于点H,如图2,
/ ZECF= 120° ,
.・ZDCF=ZECG,
.•四边形ABCD是菱形，
•.CD=CB, CD//AB,
:ZA=60° ,
\ZFDC= ZA=60° , ZADC= 180°- ZA=120° ,
..匕CGE=360°- ZA - ZADC- ZDCG=60° ,
:CB//AD,
\ZCBG=ZA=6Q° ,
.・4CBG是等边三角形，
.. CG=CB,
,qCDF2\CGE (AAS),
•.CE=CF,
.•道路ECF的长度=2CE,
..当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短, :ZCBG=60° , CB=6,
・・・CH=3归
即道路ECF的最短路程是。