天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式综述

第十五章电路方程的矩阵形式内容总结
——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。

关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。

回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。

2、重点和难点
(1)关联矩阵
(2) 结点电压方程的矩阵形式
(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法
(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法
.三种主要关联矩阵形式：
①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。

设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；
a jk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；
a jk= 0，表示结点j与支路k不关联；
②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。

设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：
lⅹb
其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；
b jk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；
b jk= 0，表示回路j与支路k相不关联；
③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。

设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；
q jk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；
q jk= 0，表示割集j与支路k相不关联；
注意：
★对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。

u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。

★对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = B T i l；i =[i i i2i3……i b]T。

i l=[i l i i l2i l3……i ll]T 基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u2u3……u b]T。

★对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i2i3……i b]T。

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=Q f T u t；u =[u i u2u3……u b]T。

u t=[u t i u t2u t3……u t(n-1)]T。

④三种矩阵之间的关系（略）
2. 三种分析方法的方程的矩阵形式
①回路电流方程的矩阵形式（略）
②割集电压方程的矩阵形式（略）
③结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。

u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。

结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。

为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。

复合支路即第k 条支路如下：
由基尔霍夫电流定律得：
所以：
对该式进行讨论，目的是得出一般规律。

⑴复合支路中无受控源时：
由KCL得：
变成将代入得：
又所以
Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。

同理可以分析一下两种情况
⑵复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：
⑶复合支路中含有受控源时：
第二步：写出A、Y、I S、U S等矩阵；
第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。

电路如图15.1（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b）是它的有向图。

写出结点电压方程的矩阵形式。

图15.1（a）图15.1（b）
解：由图15.1（b）得节点关联矩阵A,
节点电压的列向量，
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。

电路如图15.2（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。

图15.2（a）图15.2（b）
解：方法1直观法
KVL：
KCL ：
；
消去：；；
代入上式：
然后整理成矩阵形式（略）。

方法2系统法
选图（b）中支路1 、 3 、 4 、 6 为树支
含电感单连支回路的KVL ：
含电容单树支割集的KCL ：
【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。

图15.3解：设u c ,i1，i2为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
图15.4所示图G 的关联矩阵A =________________________。

图15.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------⎡⎣⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥1234511
1
00000000
1
1
1
000
000011110010010001
0010010
(每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。

【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： 答（ ）
A.3个，3个；
B.3个，4个；
C.4个，3个；
D.4个，4个。

图15.5
【题3】：图15.6所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）
图15.6
【题4】：图15.7所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）
图15.7
【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Y b为：答（）
图15.8
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[][][][][][][]
=-时，标准支路的形式为图15.9
Y U A Y U A I
n n b S S
中所示的：答（）
图15.9
【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。

（直接写出无分）
图15.10
【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1.有向图;（编号按元件参数下标）
2.出所需的各矩阵;
3.出节点电压方程的矩阵公式;
4.出节点电压方程的矩阵形式。

图15.11
【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。

图15.12
【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。

图15.13
【题11】：图15.14所示电路中，R=5 ；C1=2F；C2=1F；L=2H.。

求该电路的状态方程。

图15.14
【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。

图15.15
【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。

图15.16
【题14】：图15.17所示电路中，R1=1000Ω；R2=3000Ω；C=250μF；L=0.1mH.。

试建立电路的状态方程。

图15.17
【题15】：图15.18所示电路中，R1=1000Ω；R2=30Ω；R3=10Ω；C=4000μF；L=5mH.。

试建立电路的状态方程。

图15.18
第十五章电路方程的矩阵形式答案
题1
()1)5
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分)
题2：（C）
题3：（D）
题4：（C）
题5：（C）
题6：（A）
题7：
题8：
题9：
题10：
d d d d d d S i t i t u t i i u u C C 121212************⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥=------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥
⎥ 题11：
d d u t C 1=-+0505..S i i L d d u t C 2=-+022.u i C L d d i t L =-050512..u u C C 题12：
题13：
题14：
d d u t C
=--+u i u C L 1000S d d i t L =-⨯+250075001075003u i u C L S 题15：。