基本初等函数公式与导数运算法则
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如何求?
导数运算法则
1 . f x g x ' f' x g ' x ; 2 . f x • g x ' f ' x g x f x g ' x ; 3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算 法则,求函数 y=x3-2x+3的导数.
解: p(t)=1.05tln1.05,
p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年
头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?
当p0=5时,p(t)=5×1.05t 求p关于t导数可以看成求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.
解: y=(x3-2x+3)＝(x3)－(2x)＋(3)
＝3x2－2, 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y=3x2-2.
堂上练习
求下列函数的导数：
1 y 2 x 4 2x 2 0 4x 0 1
2y32x4x25x31x4
6
3 y (2 x 3 1 )3 x (2 x )
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为
7.若 fxloax g ,则 f'xxl1n a; 8.若 fxlnx,则 f'x1;
x
例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,
物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t) = p0(1+5%)t,
其中 P 0为t=0时的物价.假定某种商品的 P 0 =1,那么在第 10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确 到0.01)?
yx 2
1 (1x2)
(1x2)x
x . 1 x2
达标练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
课堂小结
导数的四则运算法则
推论 1 推论 2 推论 3
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2Hale Waihona Puke Baidu
(v 0).
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2).
许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到
y=(2x+3)2
y=u2 u=2x+3 复合
y=sin(2x+5)
y=sin u u=2x+5 复合
对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表 示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的 复合函数,记作y=f (g(x))
4u
8x12
(2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(x+) 可
以看作函数 y=sinu 和
u=x+的复合函数.根
据复合函数求导法则有
yx'yu'•ux'
e u '• 0 .0x 5 1 '
0.05eu 0.0e50.05 x1
yx'yu'•ux'
siun '•x '
co us co xs
例 6 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
cx528480x100
100x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%;
(2) 98%.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
c'x 5284'
100x
5
2 ' 1 80 4x0 521 80 4x0 ' 10 x0 2
010 10 x0 5 0 x22 841
5284
100 x
2
1因c为 '90 1502 9 08 0 245.8 2,4
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
2因c为 '98150209882413,21
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.
如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢?
令 u=x+2 (x>-2),则y=lnu. y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x>-2)复合得到. y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x)
基本初等函数的导数公式
1 .若 fx c ,则 f'x 0 ;
2 . 若 f x x n n N * , 则 f ' x n n 1 ;x
3 .若 fx sx i ,则 n f'x cx o ; s 4 .若 fx cx o ,则 f' s x sx i ;n 5 .若 fx a x ,则 f'x a x la n ; 6 .若 fx e x ,则 f'x e x ;
yu(u2)2u, ux(sx i)ncox.s
所以
y x y u u x 2 u cx o 2 s sx ic n x o . s
例 7 设y 1x2, 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u)1 1 也 在 心 中 运 算 . 2u 2(1x2)
这样可以直接写出下式
(u)v u w v w u v w uw v
u(1x)
u(x) u2(x).
堂上练习 课本第18页练习2
小结 基本初等函数的导数公式 导数运算法则 复合函数的导数
作业
课本第18页习题1.2A组题4,5,6,8
谢谢
且 yx=yu•ux
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数:
1y2x32;
2ye0.05 x1;
3ysin x其中 ,均为常数
解: (1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和
u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有
yx'yu'•ux'
u2'• 2 x 3 '
基本初等函数公式与 导数运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
教学重难点
教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
知识链接 基本初等函数的导数公式
导数运算法则
1 . f x g x ' f' x g ' x ; 2 . f x • g x ' f ' x g x f x g ' x ; 3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算 法则,求函数 y=x3-2x+3的导数.
解: p(t)=1.05tln1.05,
p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年
头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?
当p0=5时,p(t)=5×1.05t 求p关于t导数可以看成求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.
解: y=(x3-2x+3)＝(x3)－(2x)＋(3)
＝3x2－2, 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y=3x2-2.
堂上练习
求下列函数的导数：
1 y 2 x 4 2x 2 0 4x 0 1
2y32x4x25x31x4
6
3 y (2 x 3 1 )3 x (2 x )
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为
7.若 fxloax g ,则 f'xxl1n a; 8.若 fxlnx,则 f'x1;
x
例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,
物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t) = p0(1+5%)t,
其中 P 0为t=0时的物价.假定某种商品的 P 0 =1,那么在第 10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确 到0.01)?
yx 2
1 (1x2)
(1x2)x
x . 1 x2
达标练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
课堂小结
导数的四则运算法则
推论 1 推论 2 推论 3
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2Hale Waihona Puke Baidu
(v 0).
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2).
许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到
y=(2x+3)2
y=u2 u=2x+3 复合
y=sin(2x+5)
y=sin u u=2x+5 复合
对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表 示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的 复合函数,记作y=f (g(x))
4u
8x12
(2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(x+) 可
以看作函数 y=sinu 和
u=x+的复合函数.根
据复合函数求导法则有
yx'yu'•ux'
e u '• 0 .0x 5 1 '
0.05eu 0.0e50.05 x1
yx'yu'•ux'
siun '•x '
co us co xs
例 6 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
cx528480x100
100x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%;
(2) 98%.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
c'x 5284'
100x
5
2 ' 1 80 4x0 521 80 4x0 ' 10 x0 2
010 10 x0 5 0 x22 841
5284
100 x
2
1因c为 '90 1502 9 08 0 245.8 2,4
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
2因c为 '98150209882413,21
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.
如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢?
令 u=x+2 (x>-2),则y=lnu. y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x>-2)复合得到. y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x)
基本初等函数的导数公式
1 .若 fx c ,则 f'x 0 ;
2 . 若 f x x n n N * , 则 f ' x n n 1 ;x
3 .若 fx sx i ,则 n f'x cx o ; s 4 .若 fx cx o ,则 f' s x sx i ;n 5 .若 fx a x ,则 f'x a x la n ; 6 .若 fx e x ,则 f'x e x ;
yu(u2)2u, ux(sx i)ncox.s
所以
y x y u u x 2 u cx o 2 s sx ic n x o . s
例 7 设y 1x2, 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u)1 1 也 在 心 中 运 算 . 2u 2(1x2)
这样可以直接写出下式
(u)v u w v w u v w uw v
u(1x)
u(x) u2(x).
堂上练习 课本第18页练习2
小结 基本初等函数的导数公式 导数运算法则 复合函数的导数
作业
课本第18页习题1.2A组题4,5,6,8
谢谢
且 yx=yu•ux
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数:
1y2x32;
2ye0.05 x1;
3ysin x其中 ,均为常数
解: (1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和
u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有
yx'yu'•ux'
u2'• 2 x 3 '
基本初等函数公式与 导数运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
教学重难点
教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
知识链接 基本初等函数的导数公式