物不知数——中国剩余定理

“物不知数”——孙子定理
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理.
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为：
70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式：70a+21b+15c-105n
关键是找出70 21 15
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答.明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法.意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案.比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.
又例今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4.试问这类数中最小的正整数是多少？
35+63+60-105=53
53
第一步：在 5,7的公倍数中找出“除以3余数是2”的数；35
第二步：在 3,7的公倍数中找出“除以5余数是3”的数；21,42, 63
第三步：在 3,5的公倍数中找出“除以7余数是4”的数，15,30,45, 60
35+63+60=158,158肯定是符合“除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4”的，但不一定最小，
去掉若干个3,5,7的最小公倍数，使之变成最小的正整数。

[3，5,7]=105， 35+63+60-105=53
53就是所要求的符合条件的数。

练习1 有一类数，除以7余2，除以8余4，除以9余3。

问这类数中最小的正整数是多少？
练习2 有一类自然数，其中每个数与3的和都是5的倍数，与4的差都是7的倍数。

问这个数最小是多少？
练习3 （变式练）有三个吉利数字，888，518，666，用他们分别除以一个相同的自然数，所得的余数为a，a+7，a+10.试问这个自然数是多少？
答案1 72+252+336-504=156
答案2 除以5余2；除以7余4，加上3后是3和5的共同的倍数， 32
答案3 29。