2019届全国新高考考前模拟密卷(七)数学(文)试题

2019届全国新高考考前模拟密卷（七）
文科数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则集合（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
表示出集合N，利用并集概念求解。

【详解】因为，
所以，
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题。

2.已知某公司按照工作年限发放年终奖并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5-10年的员工400人，工作0-5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5-10年的员工代表有（）
A. 8人
B. 16人
C. 4人
D. 24人
【答案】B
【解析】
依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作5~10年、工作0~5年的员工人数之比为1∶4∶2，故工作5~10年的员工代表有人，
故选：B．
3.已知复数，则复数的共轭复数虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
依题意得，，故，则
，故复数的虚部为，
故选：C．
4.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的实数，，当时，
，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得函数的周期为4，将转化成，再结合函数是定义在上的
奇函数即可求解。

【详解】函数对任意的实数满足：，
所以是周期为4的函数，
所以，
又函数是定义在上的奇函数，所以==.
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数周期性及奇偶性的应用，属于基础题。

5.在中，，，为的中点，将向量绕点按逆时针方向旋转得向量，则向量在向量方向上的投影为（）
A. -1
B. 1
C.
D.
【答案】C
【解析】
如图，以为轴建立平面直角坐标系，
则，且，
所以向量在向量方向上的投影为.
本题选择C选项.
6.已知圆的弦的中点为，直线交轴于点，则（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
求出直线的方程，从而求得点的坐标，利用圆的性质求解即可。

【详解】可化为
所以圆的圆心坐标为,半径为
它与坐标轴的交点分别为，所以
因为弦的中点为，所以，
，所以,
所以直线的方程为：，即，
所以点的坐标为,它与原点重合。

由圆的性质可得：
所以 5
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆的弦中点性质及圆的性质，还考查了相互垂直的两直线的斜率关系，属于基础题。

7.若，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
对变形为，利用即可判断。

【详解】因为，所以，
所以，即，
当时，，但是，
所以，
所以是的充分不必要条件。

故选：A
【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，考查转化能力，属于基础题。

8.函数在上单调递增，则的最小值为（）
A. 4
B. 16
C. 20
D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数在上单调递增得：在上恒成立，转化成，结合线性规划知识求解即可
【详解】因为函数在上单调递增，
所以
=在上恒成立。

又，
所以在上恒成立。

记，
则，
整理得：，
把横坐标看作轴，纵坐标看作轴，作出不等式组表示的区域如下图，
令，则，
抛物线恰好过图中点，由线性规划知识可得：
当抛物线过点时，最小，此时取得最小值。

所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了单调性与导数的关系，还考查了恒成立问题及线性规划求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

9.在三棱锥中，面，，，，，则三棱锥的外接球表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由面，，得到，由，，得到，由此可得三棱锥是长方体中的一个三棱锥，求长方体的外接球半径即可解决问题。

【详解】因为面，所以，又，，
解得：，又，，满足，所以.
由此可得三棱锥是长方体中的一个几何体,如下图：
长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
长方体的体对角线长就是外接球的直径，即，
所以三棱锥的外接球表面积是：
故选：A
【点睛】本题主要考查了球的表面积计算、转化思想，考查观察能力及计算能力、空间思维能力，属于基础题。

10.正项等比数列，满足，且，若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可得，，计算出，由此整理得，解方程即可。

【详解】正项等比数列，满足，则，，当时，
所以可化为：
，
当时，，解得：，
当时，无解。

【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及观察能力，考查函数的性质及计算能力，属于基础题。

11.，若所有零点记为，且，则
的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的对称轴，并求出在内有30条对称轴，所以在内有31个零点。

根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案
【详解】令，得，
即的对称轴方程为：
又，
所以在内有30条对称轴，
所以在内有31个零点。

且，，
，…，，将以上各式相加得：
=
=
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的对称性及对称轴，还考查了转化能力及等差数列求和知识，考查计算能力，属于中档题。

12.已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于、两点，若存在点使得为等边三角形，则（）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
【答案】C
【分析】
设，，联立直线与抛物线方程，表示出MN的中点为P的坐标，利用为等边三角形求出直线PQ的方程，从而求表示出Q的横坐标
利用为等边三角形列方程，整理得，利用弦长公式即可求解
【详解】：如图，依题作出图像，设，，MN的中点为P，
因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，
所以，所以抛物线：
联立直线与抛物线方程得：，整理得：，
由韦达定理得:, ,所以,
所以MN的中点为，
因为存在点使得为等边三角形，
当时，不为等边三角形，所以，
由为等边三角形得：，直线的方程为：
令，解得：，所以，
由为等边三角形得：,
即：，
将, 代入上式，整理得：，
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查了中点坐标公式，韦达定理及等边三角形中的垂直关系，还考查弦长公式及两点距离公式，考查计算能力，属于中档题。

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知菱形中，，，分别以、、、为圆心，1为半径作圆，得到的图形如下图所示，若往菱形内投掷10000个点，则落在阴影部分内的点约有___________个．（取1.8）
【答案】1000
【解析】
【分析】
求出菱形的面积，再求出阴影部分的面积，利用概率模拟列方程即可求解。

【详解】菱形中，，，
所以菱形的面积为,
阴影部分的面积为
设落在阴影部分内的点约有个，
则，解得：。

【点睛】本题主要考查了概率模拟应用及菱形面积、扇形面积计算，属于基础题。

14.设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】
由整理得，即，将变形，利用基本不等式即可求解。

【详解】正项等差数列的前项和为，设首项为，
因为，所以，整理得：，
又，所以，
所以=
=
所以的最小值为4.
【点睛】本题主要考查了等差数列求和公式及等差数列的性质，考查了基本不等式及转化思想，计算能力，属于中档题。

15.将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若
的图像关于轴对称，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
合并为，由函数图像向左平移求出函数
=，利用的图像关于轴对称列方程即可求解。

【详解】函数可化为，
将它的图像向左平移个单位长度后得到函数= ，
因为的图像关于轴对称，所以，解得：
所以，又，
所以的最小值为。

【点睛】本题主要考查了两角和差公式及平移变换，还考查了三角函数的性质及计算能力，属于基础题。

16.在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：，过直线上点作圆的
切线，，切点分别为，，若存在点使得，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出图像，如下图：
求出的长，利用直线上存在点使得可转化为：直线上存在点使得，列不等式即可求解。

【详解】如图，过直线上的点P作圆的切线，切点分别为A,B，连接AB交OP于点M，则点M 是线段AB的中点，且AB OP，
所以=，又，
所以，
设，则，在中，由射影定理可得：
，即，
在中，由得：，解得：，
所以，
直线上存在点使得可转化为：直线上存在点使得，
又点O到直线的最短距离，所以即，
解得：.
【点睛】本题主要考查了圆的性质及直角三角形射影定理，考查转化思想及点到直线距离公式，属于中档题。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知中，，，.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由求得：，在中利用余弦定理即可求解。

（2）由求得，在中由正弦定理得，在中由正弦定理得，代入即可得解。

【详解】（1）由，
在中，由余弦定理可得：
（2）由，在中，由正弦定理可知
在中，由正弦定理可知
故
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理及正弦定理，考查计算能力及转化能力，属于基础题。

18.如图所示，四棱锥，已知平面平面，，,，
，且.
（1）求证：；
（2）求到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）中用余弦定理得，由边的关系即可证得：，再由平面
平面即可证得平面，问题得证。

（2）利用，解方程即可。

【详解】（1）中，利用余弦定理得，
解得，所以，所以.
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）设到平面的距离，
因为，且.
所以，即：
解得：
【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质及线线垂直，考查转化能力及空间思维能力，还考查了等体积法求高，属于基础题。

19.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程
（2）由题意可设直线的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.
【详解】解：（1）抛物线的焦点是
，，又椭圆的离心率为，即
，，则
故椭圆的方程为.
（2）由题意得直线的方程为
由消去得.
由，解得.
又，.
设，，则，.
.
，，
若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，即，
解得.又，.
即存在使以线段为直径的圆经过点.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.
20.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
表（1）
并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表（2）所示.
表（2）
（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（Ⅱ）现从表（2）中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.
附参考公式及参考数据：，其中.
【答案】（Ⅰ）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（Ⅱ）. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）完善表格，利用公式求出，对比参考数据即可判断。

（Ⅱ）对2人成功完成时间恰好在同一组内分类，分别计算出基本事件个数为6,1，再计算出6名男生中任意抽取2人共15种结果，问题得解。

【详解】（Ⅰ）
由表中数据可得，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关.
（Ⅱ）6名男生中任意抽取2人共：15种结果.
2人成功完成时间恰好在同一组内分为两种情形：完成时间都在或都在
完成时间都在共有6种结果，完成时间都在有1种结果，
2人成功完成时间恰好在同一组内的概率为：.
【点睛】本题主要考查了独立性检验及古典概型概率计算，还考查了分类思想，属于基础题。

21.已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，令，若，是的两个极值点，且，求
正实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）t .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出，对的正负分类即可求解。

（Ⅱ）整理并求出，由有两个极值点可得，又，是的两个极值点可得或；整理并换元得，把问题转化为成立问题，其中，分类后利用函数的单调性即可解决问题。

【详解】（Ⅰ）由，，则
当时，则，故在上单调递减；
当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ），
故，当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个极值点，故。

令，得,，
又有两个极值点；故有两个根。

故且或；
且为极小值点，为极大值点。

故
令，由或得
令，
当时，，则在上单调递增，故
，则时成立；
当时，，则在上单调递增，故，则
时；
综上所述：
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性、分类思想，还考查了一元二次方程根与系数的关系及转化思想，利用导数求函数的最值，考查计算能力及函数思想，属于难题。

选做题（以下两道选做题任选一道，若两道都做按第一道给分）
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是
.
（1）当时，直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，当面积最大时，求直线的普通方程.
【答案】(Ⅰ)的普通方程为.的直角坐标方程为.(Ⅱ). 【解析】
试题分析：
（Ⅰ）当时，消去参数可得直线的普通方程为.极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由题意可得.满足题意时，△ABC为等腰直角三角形，则点到直线的距离为，结合点到直线距离公式可得直线的斜率，直线的普通方程为.
试题解析：
（Ⅰ）当时，直线的参数方程为，
消去得直线的普通方程为.
曲线的极坐标方程是，两边乘以为，由得：
，
所以曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）曲线是以为圆心，2为半径的圆，
.
当时面积最大.此时点到直线的距离为，所以，解得：
，
所以直线的普通方程为.
23.已知函数
（1）解不等式：；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）由题意，得，因此只须解不等式，然
后再分，和进行讨论即可求出结果；（2）由题意得
即可证明结果.
试题解析：解：（1）由题意，得，
因此只须解不等式
当时，原不式等价于，即；
当时，原不式等价于，即；
当时，原不式等价于，即
综上,原不等式的解集为
（2）由题意得
=
所以成立考点：绝对值函数.。