2021中考数学 尖子生专项复习：二次函数的图象及其性质 (含答案)

2021中考数学 尖子生专项复习：二次函数的图
象及其性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 抛物线
y ＝－3x 2＋4的顶点坐标是( )
A ．(0，4)
B ．(0，－4)
C ．(－3，4)
D ．(3，4)
2.
将抛物线y ＝－5x 2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A ．y ＝－5(x ＋1)2－1 B ．y ＝－5(x －1)2－1 C ．y ＝－5(x ＋1)2＋3
D ．y ＝－5(x －1)2＋3
3. 二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如所示，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是(
)
A ．－1＜x ＜3
B ．x ＜－1
C ．x ＞3
D ．x ＜－1或x ＞3
4. 若二次函数
y ＝x 2－6x ＋c 的图象过A (－1，y 1)，B (2，y 2)，C (3＋2，y 3)三点，
则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＞y 3＞y 2 C ．y 2＞y 1＞y 3 D ．y 3＞y 1＞y 2
5. (2019•成都)如图，二次函数2
y ax bx c =++的图象经过点1,0A
，()5,0B ，下
列说法正确的是
A ．0c <
B ．240b ac -<
C ．0a b c -+<
D ．图象的对称轴是直线3x =
6. （2020·新疆）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与
反比例函数c
y x
=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ················ （ ）
7. 关于二次函数)0(542
≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有
m x +=21与m x -=22对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则134-≤<-
a 或3
4
1<≤a ；③若抛物线与x 轴交于不同两点A,B ，且AB≤6，则45
-<a 或1≥a .其中正确的结论是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
8. （2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，
234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图
象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，（ ） A ．若12M =，22M =，则30M = B ．若11M =，20M =，则30M =
C ．若10M =，22M =，则30M =
D ．若10M =，20M =，则30M = 9. （2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝l ，结合图象给出下列结论： ①ac ＜0； ②4a ﹣2b +c ＞0；
③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；
④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：
①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=;当1<x<2时，y随x的增大而(填写“增大”或“减小”).
12. 某个函数具有性质：当x>0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可)．
13. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．
14. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为______________．
15. 如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的解析式为__________________．
16. 将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________________．
17. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，
0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)，有下列结论：
①abc＞0；
②3a＋c＜0；
③a(m－1)＋2b＞0；
④a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为________．
18. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
三、解答题（本大题共5道小题）
19. 把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT－4所示的二次函数的图象．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M
的坐标．
20. 已知函数
y=x 2+bx+c (b ，c 为常数)的图象经过点(-2，4).
(1)求b ，c 满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m ，n )，当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值.
21. 已知平面直角坐标系
xOy ，一次函数334
y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M
在正比例函数32
y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数
y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334
y x =+的图
象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．
22. 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为
A (0, 1)、
B (2, 0)、
O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ． （1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式； （2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
23. 如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．
,
2021中考数学尖子生专项复习：二次函数的图
象及其性质-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A
2. 【答案】 A [解析] 已知原抛物线的顶点坐标为(0，1)，平移后的顶点坐标是(－1，－1)，因此平移后的抛物线的解析式为y＝－5(x＋1)2－1.故选A.
3. 【答案】A[解析] 在抛物线y＝x2－2x－3上，y＜0的所有点在x轴的下方，这些点对应的x值为－1＜x＜3，所以自变量x的取值范围为－1＜x＜3.
4. 【答案】B
[解析] 解法一：y ＝x 2－6x ＋c ＝(x －3)2－9＋c ，其大致图象如图，
对称轴为直线x ＝3，由图可得y 1>y 3>y 2.
解法二：把A ，B ，C 三点的坐标分别代入解析式并化简，得y 1＝7＋c ，y 2＝－8＋c ，y 3＝－7＋c ，所以y 1>y 3>y 2.故选B.
5. 【答案】D
【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，15
32
x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．
6. 【答案】D
【解析】本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向
下知a ＞0，因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，所以2b
a -
＞0，因为a ＞0，所以b
＜0．因为抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，所以c ＞0．因为a ＞0，b ＜0，所以一次函数y ax b =+经过第一、三、四象限．因为c ＞0，所以反比例函数c y x
=
经过第一、三象限，因此本题选D ． 7. 【答案】D
【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x ＝
422a
a
-=，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x =3时y =-3a -5，x =4时y =-5,所以y 要有4个整式值，则-9
＜-3a -5≤-8,或-2≤-3a -5＜-1，所以134-≤<-
a 或34
1<
≤a ，
故②正确；因为AB≤6，则21212212124)()x -(x |x -x |x x x x -+===2(5)2044166a
a
--⨯=+≤，则
4
5
-<a 或1≥a .所以③正确.故选D.
8. 【答案】B 9. 【答案】 C
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x 轴y 轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a ＞0，与y 轴交于负半轴，因此c ＜0，故ac ＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x ＝1，与x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a ﹣2b +c ＝0，所以②不正确；
x ＞1时，y 随x 的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x 轴有两个不同交点，因此关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C ．
10. 【答案】C
[解析] ①∵抛物线开口向上，∴a ＞0.
∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴b ＜0. ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c<0
，
∴abc>0，所以①错误．
②当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0. ∵－b
2a ＝1，∴b ＝－2a.
把b ＝－2a 代入a －b ＋c ＞0中，得3a ＋c ＞0，所以②正确． ③当x ＝1时，y ＜0，∴a ＋b ＋c ＜0.
当x ＝－1时，y>0，∴a －b ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)<0， 即(a ＋c)2－b 2＜0，所以③正确． ④∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴x ＝1时，函数的最小值为a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c≤am 2＋bm ＋c(m 为实数)， 即a ＋b≤m(am ＋b)，所以④正确． 故选C.
二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】-1 增大 [解析]把y=0代入y=x 2+2x +1，得x 2+2x +1=0，解得x 1=x 2=-1， 当x>-1时，y 随x 的增大而增大， ∴当1<x<2时，y 随x 的增大而增大.
12. 【答案】答案不唯一，如
y ＝x 2
13. 【答案】±10
14. 【答案】x 1＝2，x 2＝4
[解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的图象的对称轴为直
线x ＝2，∴－b
2＝2，∴b ＝－4，∴原方程化为x 2－4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.
15. 【答案】
y ＝－x2＋2x ＋3
16. 【答案】y ＝2(x ＋1)2－2
17. 【答案】②③
[解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x
＝m －12＝－b 2a ， ∴－b
a ＝m －1. ∵1＜m ＜3，∴a
b ＜0.
画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.
把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，
∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－b
a ＝m －1，∴a(m －1)＋2
b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确． 当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋
c ， ∴P(b 2，b ＋1＋b 2
4)．
若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b
2＋1，∴b ＝－2或b ＝0. ∵b ＞0，
∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.
18. 【答案】③④
[解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.
又∵对称轴为直线x ＝－b
2a ＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确； ∵当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；
根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；
∵4ac －b 2
4a ＝－2，c ＝－1，∴b 2＝4a ，∴结论④正确． 综上，正确的结论是③④.
三、解答题（本大题共5道小题）
19. 【答案】
解：(1)此二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x2＋2x －3.
(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，
∴AB ＝4.
设点M 的坐标为(m ，n)． ∵△ABM 的面积为20， ∴1
2AB·|n|＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m2＋2m －3＝10， 解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，
∴点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)； 当n ＝－10时，m2＋2m －3＝－10，此方程无解． 故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．
20. 【答案】
解:(1)将(-2，4)代入y=x 2+bx +c ， 得4=(-2)2-2b +c ，∴c=2b ， ∴b ，c 满足的关系式是c=2b. (2)把c=2b 代入y=x 2+bx +c ， 得y=x 2+bx +2b ， ∵顶点坐标是(m ，n )， ∴n=m 2+bm +2b ， 且m=-，即b=-2m ，
∴n=-m 2-4m. ∴n 关于m 的函数解析式为n=-m 2-4m. (3)由(2)的结论，画出函数y=x 2+bx +c 和函数y=-x 2-4x 的图象. ∵函数y=x 2+bx +c 的图象不经过第三象限， ∴-4≤-≤0.
①当-4≤-≤-2，即4≤b ≤8时，如图①所示，
当x=1时，函数取到最大值y=1+3b ，当x=-时，函数取到最小值y=，
∴(1+3b )-=16，
即b 2+4b -60=0，∴b 1=6，b 2=-10(舍去); ②当-2<-≤0，即0≤b<4时，如图②所示，
当x=-5时，函数取到最大值y=25-3b ，当x=-时，函数取到最小值y=，
∴(25-3b )-=16，
即b 2-20b +36=0， ∴b 1=2，b 2=18(舍去). 综上所述，b 的值为2或6.
21. 【答案】
（1）当x ＝0时，3334
y x =+=，所以点A 的坐标为(0，3)，OA ＝3．
如图2，因为MO ＝MA ，所以点M 在OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为32
．将
3
2y =
代入32y x =，得x ＝1．所以点M 的坐标为3(1,)2
．因此13AM = （2）因为抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过A (0，3)、M 3(1,)2，所以3,3
1.
2c b c =⎧⎪⎨
++=⎪⎩
解得5
2
b =-，3
c =．所以二次函数的解析式为25
32y x x =-+．
（3）如图3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ．
因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )．将点C(4m ，3－2m )代入2532
y x x =-+，
得23216103m m m -=-+．解得12
m =或者m ＝0（舍去）．
因此点C 的坐标为（2，2）．
图2 图3
考点伸展
如果第（3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况： 如图4，点C 的坐标为727(,)416
．
图4
22. 【答案】
（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．
因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．
所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．
如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．
232'1111
(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =
+=-++=-++梯形． 2321113
(2)(2)22222
PDB
S DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+．
所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1． 所以点P 的坐标为(1，2)．
图2 图3 图4
（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 考点伸展
第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．
'11
'222PB O P S B O x x x ∆=
⋅=⨯=． 2211
2(2)222
PBO P S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++．
所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形． 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：
作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．
而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．
23. 【答案】
（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为
)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2
1
-=a ．所以抛物线的解
析式为22
5
21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．
（2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1
,(---x x x ．
①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2
1
---=x x PM ，x AM -=4．
如果2==CO AO PM AM ，那么24)
4)(1(21
=----x
x x ．解得5=x 不合题意．
如果21
==CO AO PM AM ，那么214)
4)(1(21
=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，)4
)(
1
(
2
1
-
-
=x
x
PM，4
-
=x
AM．
解方程2
4
)4
)(
1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得5
=
x．此时点P的坐标为)2
,5(-．
解方程
2
1
4
)4
)(
1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得2
=
x不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，)4
)(
1
(
2
1
-
-
=x
x
PM，x
AM-
=4．
解方程2
4
)4
)(
1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得3
-
=
x．此时点P的坐标为)
14
,3
(-
-．
解方程
2
1
4
)4
)(
1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得0
=
x．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)
14
,3
(-
-或)2
,5(-．
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为2
2
1
-
=x
y．设点D的横坐标为m)4
1(<
<m，那么点D的坐标为)2
2
5
2
1
,
(2-
+
-m
m
m，点E
的坐标为)2
2
1
,
(-
m
m．所以)2
2
1
(
)2
2
5
2
1
(2-
-
-
+
-
=m
m
m
DE m
m2
2
1
2+
-
=．
因此4
)
2
2
1
(
2
1
2⨯
+
-
=
∆
m
m
S
DAC
m
m4
2+
-
=4
)2
(2+
-
-
=m．
当2
=
m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6。