动态电路分析方法

第四章动态电路分析方法 (66)
4.1 一阶电路的分析 (66)
4.1.1 一阶电路的零输入响应 (66)
4.1.2 一阶电路的零状态响应 (70)
4.1.3 一阶电路的完全响应 (74)
4.2 二阶电路的分析 (79)
4.2.1 LC电路中的自由振荡 (79)
4.2.2 二阶电路的零输入响应描述 (81)
4.2.3 二阶电路的零输入响应—非振荡情况 (83)
4.2.4 二阶电路的零输入响应—振荡情况 (86)
习题 (89)
第四章动态电路分析方法
前面介绍了线性电阻电路的分析方法。

由于电阻元件的伏安特性为代数关系，所以在分析电阻电路时，只需求解一组代数方程，如网孔分析法、节点分析法等。

但在本章所讨论的电路中，除了含有电源和电阻以外，还将含有电容和电感元件。

电容和电感元件的伏安特性为微分或积分关系，故称为动态元件（dynamic element）（参见1.4.3）。

包含动态元件的电路叫做动态电路。

动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关，这是和电阻性电路完全不同的。

例如，一个动态电路，尽管输入已不再作用了，但仍然可以有输出，因为输入曾经作用过。

因此，动态电路是具有“记忆”（memory）的特点，这完全是由动态元件的性能所决定的。

4.1 一阶电路的分析
不论是电阻性电路还是动态电路，各支路电流与各支路电压都受到基尔霍夫定律的约束，只是在动态电路中，来自元件性质的约束，除了电阻元件的欧姆定律，还有电容、电感的电压、电流关系，这些关系已在1.4.3中讨论过，需要微分（或积分）的形式来表示。

因此，线性动态电路不能用线性代数方程，而需用线性微分方程来描述。

用解析方法求解动态电路的问题就是求解微分方程的问题。

在实际工作中经常遇到只包含一个动态元件的线性电路，这种电路是用线性常系数一阶常微分方程来描述的，故称一阶电路或一阶网络（first order network）。

本节讨论这类网络的解法。

以电容元件为例，这类网络可以用图4-1(a)来概括，图中所示的方框部分只有电阻和电源组成电路，可以用戴维南等效电路或诺顿等效电路来代替。

因此，这类网络的分析问题可归结为图4-1(b)或(c)所示电路的分析问题。

本节着重分析的也就是这种简单的RC和RL电路。

4.1.1 一阶电路的零输入响应
动态网络中包含贮能元件，因此，图4-1所示网络的响应，例如电容电压u c(t)等，不仅取决于R、C的数值和输入u s(t)或i s(t)的形式，而且还取决于激励刚作用瞬间电容中的贮能情况——初始状态。

电路的响应与后一因素有关是一个新的概念，以前学过的电阻性网络只是对输入信号有响应。

因此，在分析动态网络时将区分：（1）零输入响应（zero-input response）——无信号作用，由初始时刻的贮能所产生的响应；（2）零状态
响应（zero-state response ）——初始时刻无贮能，由初始时刻施加于网络的输入信号所产生响应。

下面对零输入响应进行描述：图4-2所示的
电路中电容已被电压源充电到电压U 0。

在t=0时，开关K 1打开时，开关K 2同时闭合。

这样通过换路，在t=0时，被充电的电容就与电压源脱离而与电阻相联接。

由于电容电压不能跃变，此时电容虽与电压源脱离，但仍具有初始电压U 0，这也就是电阻R 两端的电压。

因此在换路瞬间电流将
由零一跃而为U 0/R 。

在换路后，电容通过R 放电，电压逐渐减小，最后为零，电流也相应从U 0/R 值逐渐下降，最后也为零。

在这个过程中，初始时刻电容由于具有U 0的电压而贮存的电场能量逐渐为电阻所消耗，转化为热能。

因此，在t ≥0时，电路中并无电源作用，电路中的物理过程是由非零初始状态产生的，这就是零输入响应的一个例子。

下面对一阶零输入响应进行数学分析。

为了分析的方便，将t ≥0时的RC 电路重绘如图4-3所示。

根据基尔霍夫电压定律可得
00
≥=−t u u R C
u c (0)=U C
图4-3 RC 电路u c (0)=U 0
又
Ri u R = 0)0(U u dt
du C
i C C
=−=及
电容关系式中出现负号是因为i 与u C 的参考方向不一致。

应注意的还有电容电压的初始值也要一起写上，否则电容状态的说明就不完全。

在以上的三个方程中包含三个未知量i 、u C 、u R ，所以可以利用此三个方程解出任何一个未知量。

如我们求解电容电压u C (t )，则从以上三个式子可得
00≥=+t dt
du
RC u C C （4-1）
及 u C (0)=U o (4-2)
∫
−=dt RC
u du C C 1
∫
(4-3) 解此方程得 t RC
C ke
t u 1
)(−=
这里的k 是满足初始条件的常数，即当t =0时有
00)0(U k ke u C ===
故得
0)(10≥=−
t e
U t u t RC
C （4-4）
注意，在t =0时，即在开关换路时，u C 是连续的，没有跃变。

u C 求得后，电流可以立即求得为
0)(1
0≥=−=−t e R
U dt du C t i t
RC
C （4-5）
注意，在t =0时，电流由零跃变而为U 0/R ，这正是由电容电压不能跃变所决定的。

由此可见，RC 电路的零输入响应是随时间衰减的指数曲线。

当C 用法拉、R 用欧姆为单位时，RC 的单位为秒，这是因为：欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=欧·秒/欧=秒。

因此（-t /RC ）是无量纲的，令τ=RC ，我们称之为时间常数(time constant )。

电压、电流衰减的快慢，取决于时间常数τ的大小。

以电压为例，当t =τ时，u C (τ)=U 0e -1=0.368U 0；当t=4τ时，u C (4τ)=U 0e -4=0.0184U 0，经过4个时间常数，电容电压下降到原电压的 1.8%，一般可认为已衰减到零（从理论上说，t →∞时，才衰减到零）。

因此，时间常数τ越小，电压电流衰减越快；反之，则越慢。

RC 电路的零输入响应由电容的初始电压U 0和时间常数τ=RC 所确定。

R (t ) - 图4-7 RL 电路，i L =I 0
另一种典型的一阶电路是RL 电路。

现在来讨论它的零输入响应。

设在t <0时电路如图4-6所示，开关K 1与b 端连接，K 2打开，电感L 由电流源I 0供电。

设在t =0时，K 1迅速投向c 端，K 2同时闭合。

这样电感L 便与电阻相连接，由于电感电流不能跃变，电感虽已与电流源脱离，但仍具有初始电流I 0，这电流将在RL 回路中逐渐下降，最后
为零。

在这一过程中，初始时刻电感由于具有I 0的电流而贮存的磁场能量逐渐为电阻所消耗，转化为热能。

为求得零输入响应，我们把t ≥0时的电路重绘如图4-7所示，并列出
00≥=+t Ri dt
di L
L L
（4-6）
及 i 0)0(I L = （4-7）
解得
（4-8）
0)(/0≥=−t e I t i t L τ
其中τ=L/R 为电路时间常数。

电感电压u L 则为 0)/(0≥−==−t e RI dt
di L
u t L R L
L （4-9） 电流i L 及电压u L 的波形图如图4-8所示，它们是随时间衰减的指数曲线。

从以上分析可知：零输入响应是在零输入时由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路特性。

因此，在求解这一响应时，首先必须掌握电容电压或电感电流的初始值。

至于电路的特性，对一阶电路来说，则是通过时间常数τ来体现的。

不论是RC 电路还是RL 电路，零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，这是因为在没有外施电源的条件下，原有的贮能总是要衰减到零的。

在RC 电路中，电容电压u C 总是由初始值u C (0)单调地衰减到零的，其时间常数τ=RC ；在RL 电路中，电感电流i L 总是由初始值i L (0)单调地衰减到零的，其时间常数τ=L/R 。

掌握了u C (t )、i L (t )后，根据电路中电压、电流的约束关系就可以进一步求出其他各个电压和电流。

注意：电路中所有的电压和电流都是随时间按指数规律衰减的，具有相同的时间常数，只是初始值各不相同而已。

这是因为各元件的电压和电流或者是受代数关系的约束（电阻），或者是受微分、积分关系
的约束（电感和电容），而一个指数函数ke -t /τ的导数或积分仍然是一个指数函数k ’e -t /τ
，其中k ’等于-k /τ或-τk 。

时间常数体现了电路的固有性质。

由于时间倒数具有频率的量纲，因此把-1/τ（即-1/RC 和-L/R ）称为RC 电路或RL 电路的固有频率（natural frequency ）。

最后应指出，线性一阶网络零输入响应与初始状态具有线性关系。

初始状态是电路的激励，若初始状态增大A 倍，则零输入响应也相应地增大A 倍。

这关系称为零输入线性。

例4-1 电路如图4-9所示，在t =0时，开关闭合，在闭合的前一瞬间电容电压为2V ，试求t ≥0时的i (t )。

解：作出t ≥0
时的电路图，如图
4-10所示，其中u C (0)=2V ，系根据
电容电压不能跃变
而确定的。

10V 及6Ω串联支路被开
关短路，对右边电路不起作用。

自电容两端来看，电路其余部分的等效电阻为两个2Ω电阻的并联值，即1Ω。

故电路的时间常数τ=RC =1×2=2s 。

根据（4-4）式，
u
02)(2
/≥=−t e t
t C 根据u C (t )可分别求得i C (t )及i 1(t )为 02)(2/≥−==−t e dt du C
t t C
C i 02
)
()(2
/1≥==−t e t u t t C i
∴ i 0)()()(2
/1≥−=+=−t e t i t i t t C
4.1.2 一阶电路的零状态响应
零状态响应即为初始状态为零时的响应。

换句话说，在零初始状态下，在初始时刻由施加于电路的输入所产生的响应。

这一响应与输入有关。

输入的最简单形式就是恒定的电流或电压。

如图4-11所示电路，在开关打开以前，电
流源产生的电流只在短路线中流动（注意：这里为什么要短路呢？其主要目的是保证电容的初始电压为零）。

在t =0时开关打开，电流源即与RC 电路接通。

显然，t ≥0时，三个元件是
并联连接，因此，电压是一样的，以u C 表示这电压并作为我们感兴趣的响应。

根据基尔霍夫电流定律我们可以得到用u C 来表示的方程
0)(1
≥==+t I t i u R
dt du C s s C C （4-10） 其中I s 为常量。

因为初始状态为零，由此的微分方程的初始条件
u C (0)=0 (4-11) 求解方程（4-10）式便可得到u C (t )。

下面我们从物理概念上定性的阐述开关打开后u C 变化的趋势。

为了便于叙述，用t =0+表示刚要换路后的瞬间，t =0_表示刚要换路前的瞬间。

由于电容电压不能跃变，在t =0_时电容电压既然为零，那么在t =0+时电容电压仍然为零，这就决定了在t =0+时电阻电流必然为零，因为电阻的电压与电容的电压是相等的。

因此，在t =0+时电流源的全部电流将流向电容，使电容充电。

这时电容电压的变化率，从（4-10）式可知应为
C
I dt
du s
C =
+
0 以后，随着电容电压的逐渐增长，流过电阻的电流R
u C
也在逐渐增长，但流过电容的电流却逐渐减少，因为电流源提供恒定电流总是一定的。

到后来几乎所有的电流都流
过电阻，电容如同开路，充电停止，电容电压几乎不再变化，0≈dt
du
C 。

这时电容电压
u C ≈RI s
电路达到了稳态（steady state ）。

图4-12表明了电
容电压在初始时刻以及到最后的情况，至于整个过程按怎样的规律变化，则要通过以下数学分析才能解决。

式（4-10）是一阶非齐次微分方程（说明：方程
)()()(2
2
x f y x q dx dy
x p dx
y d =++是一个二阶微分方程，当f(x)≡0时，方程叫做齐次方程；否则，方程叫做非齐次方程），它的完全解由两部分组成，即
cp ch C u u u += （4-12） 其中u ch 为对应的齐次微分方程的解答—齐次解（homogeneous solution ）
、u cp 为非齐次微分方程的任一特解（particular solution ）。

对应的齐次微分方程，即式（4-10）中输入I s 为零所得的方程
01
=+C C u R
dt du C
（4-13） 或写作
c c u RC
dt du 1
−
= （4-14） 由（4-3）式的解可知
01≥=−
t ke
t RC
ch u
式中的常数k 应根据初始条件u c (0)，由完全解（4-12）式来确定。

为此，应先确定特解u cp 。

特解可以认为具有和外施激励函数相同的形式。

由于（4-10）式的激励函数为常量I s ，因此，也可认为特解也为常量。

令此常量为A ，则
u cp =A
将它代入（4-10）式，可得
s I A R
=1
故知特解为
u cp =RI s t ≥0 （4-10）式的完全解为
0)(1≥+=+=−t RI ke
u u t s
t RC
cp ch C u （4-15）
为了满足（4-11）式的初始条件，令（4-15）式中t =0，且将（4-11）式代入，得 u c (0)=k +RI s =0 (4-16) 因此
k =-RI s （因为u c (0)=0）
所以，在零初始状态时电容电压的完全解，亦即零状态解为 0)
1()(11≥−=+−=−
−t e
RI RI e
RI t t RC s s t RC
s C u （4-17）
画出该函数波形如图4-13所示，在t =4τ时，电容电压与其稳定值相差仅为稳态值RI s 的1.8%，一般可认为充电已基本完毕。

因此，τ越小，电容电压达到稳态值就越快。

对于图4-14所示的RL 电路，其电
流的零状态响应也有类似的分析。

设开关在t =0时闭合，由于电感电流不能跃变，所以在t =0+时电流仍然为零，电阻
的电压也为零，此时全部外施电压U s 出现于电感两端，因此电流的变化率必须适应
s L
U dt
di L =+
亦即
L
U dt
di s
L =
+
0 这说明电流是要上升的。

随着电流的逐渐上升，电阻电压也逐渐增大，因而电感电压应逐渐减少，因为总电压是一定的。

电感电压减小，意味着电流的变化率
dt
di L
的减小，因此电流的上升将越来越缓慢，到后来0≈dt
di
L ，电感电压几乎为零，电感如同短路。

这时，全
部电源电压将施加于电阻两端，电流应为
(t ) 图4-14 电压源与RL 电路相接
R
U
i s L ≈
电流几乎不再变化，电路到达稳态。

类似以上R -C 电路的零状态响应的求解步骤我们可求得
0)
1()(≥−=−t e R
U t i t L R
s
L （4-18）
零状态响应是由零值开始按指数规律上升趋向于稳态值U s /R 的。

例4-2 图4-15所示电路，开关K 在t=0时闭合。

用示波器观测电流波形。

测得电流的初始值为10mA 。

电流在0.1秒时接近于零。

试求（1）R 的值；（2）C 的值；（3）i (t )。

设
开关闭合前电容电压为零。

解：由于电容电压不能跃变，u C =(0+)=0。

因此，在t =0+
时，电阻电压为100V ，电流的初始值应为R
100。

或将电压源
与电阻串联支路化为等效电流源与电阻并联电路，可直接利用图（4-11）电路的分析结果（参见4-17式），即
0)
1()1()(1
1
≥−=−×=−−t e U e R R
U t u t RC s t RC s
C （4-19）
0)(1≥==−t e R
U dt du C t i t
RC
s C （4-20）
得R
R U e R U s s 100)0(0===
i
已知i (0)为10mA ，故得
31010100
−×=R
即 Ω=410R 又，一般可认为在t =4τ时，电流已衰减到零，故得 4τ=0.1
s 025.04
1
.0==τ
由此可得
F F R µτ5.2105.210025.06
4
=×===−C
010)(40≥==−−t mA e e R
U t t t
s τ
i
例4-3 图4-16所示电路在t =0时开关闭合，已知u C (0)=0。

求t ≥0时的u C (t )及u O (t )。

解：运用戴维南定理把t
≥0时的电路就电容支路两端
（图中“╳”表示从此断开）看进去的部分进行化简，得电
路如图4-17的等效电路。

则由（4-19）式可知
0)1(31
)(/≥−=−t V e t u t C τ
其中s 3
4
232=×=τ。

又从原
电路可得
03
13231
311)
()()(//≥+=+−=−=−−t e e t u t u t u t t C S O ττ
4.1.3 一阶电路的完全响应
当电路的初始值贮能不为零，且有独立源激励时，两者共同作用下产生的响应称为完全响应(complete response )。

下面讨论在直流电源激励下计算一阶电路完全响应的三要素方法。

计算电路完全响应与计算零状态响应一样，都可通过求解电路的微分方程解决。

在两种情况下，电路微分方程相同，解的表达式也相同，只是电路的初始条件不同，方程解中待定常数A 值不同而已。

若用y (t )表示方程变量，则完全响应可表示为
τ
t
h p Ae
y t y t y t y −+∞=+=)()
()()( （4-21）
在直流电源激励下，该式中微分方程特解y p (t )为常量，是t →∞时电路达到稳态时的响应值，称为稳态值，记为y (∞)，齐次解y h (t )是含待定常数的指数函数。

设完全响应的初始值为y (0+)，则由（4-21）式可得
0)()0(Ae y y +∞=+所以
)()0(∞−=+y y A 将A 代入（4-21）式，得 0)]()0([)()(≥∞−+∞=−+t e
y y y t y t
τ
（4-22）
该式是一阶电路在直流电源作用下计算完全响应的一般公式。

公式中的初始值y (0+)、稳态值y (∞)和时间常数τ称为三要素，故式（4-22）也称为三要素公式，应用三要素公式求电路的响应方法称为三要素法。

响应的初始值y (0+)可以利用0+等效电路求出。

当t →∞时，电路已达稳态，电容可视为开路，电感可视为短路，可将原一阶电路等效为直流电路，计算该电路的稳态值y (∞)。

时间常数τ=R 0C （一阶RC 电路），或者τ=L /R 0（一阶RL 电路）。

这里的R 0是电路断开动态元件后，所得有源二端网络的戴维南或诺顿等效电路中的等效电阻。

下面通过例题说明如何应用三要素公式求解电路响应。

例4-4 图4-18(a )所示的RC 电路，当K 1开关打开、K 2开关闭合时，电路已处于稳态。

在t =0时，K 1开关闭合、K 2开关打开，此时电容电压的初始值u C (0+)=U 0，求t ≥0+时的电压u C (t )。

(b )u
U 0-RI
图4-18 RC 电路的完全响应
解：当K 1开关闭合，同时K 2开关打开后，电容电压u C 由电流源I s 和电容的初始状态共同作用产生，故为完全响应。

由于初始值u C (0+)=U 0，稳态值u C (∞)=RI s 和时间常数τ=RC ，代入三要素公式求得完全响应
{0
)()]()0([)(0≥−+=∞−+∞=−
−
t e RI U RI e u u u u t
s S t
C C C C 443
4421暂态响应
稳态响应
τ
τ
此式表明完全响应u C 由两部分组成，其中一部分是电路微分方程的齐次解，它随时
间t 的增加按指数规律衰减，当t →∞时趋近于零，称为暂态响应；第二部分是微分方程的特解，也是t →∞时稳定存在的响应分量，称为稳态响应。

若将上式改写为
+−
−
≥−+=0)
1(0t e RI e U RC
t s RC
t
C 443
442143421零状态响应
零输入响应
u
此式的第一项是独立电源为零时，由初始状态产生的响应，故为零输入响应；第二项初始状态为零时，由独立源激励产生的响应，故为零状态响应。

说明完全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加，这样分解能清楚地看出激励与响应之间的因果关系。

而分解成稳态响应和暂态响应（transient ）则求解方便，同时也体现了电路的不同工作状态。

具体地，在换路后，电路将经历4τ左右时间的暂态过程，然后进入稳态工作状态。

u C 的波形如图4-18(b )所示，图中假设U 0≥RI s 。

例4-5 图4-19(a )所示电路，开关K 在位置1时，电路已处于稳态。

t =0时，开关由位置1切换到位置2。

试求t ≥0+时电压u (t )的零输入响应、零状态响应和完全响应。

(c )
图4-19 例4-5电路
(b )
解：先用三要素法计算零输入响应u x 和零状态响应u f ，然后将u x 、u f 叠加求出完全响应。

（1）零输入响应u x
在t =0_时，电路处于稳态，电感相当于短路，故有
A L 12
1
)10//10(520_)0(=×+=i
画出换路后的零输入电路如图4-19（b ）所示，由于 i L (0+)=i L (0_)=1A
计算u x 的初始值和稳态值为
)(310)0()10//5()0(=∞−=×−=++x L x u V i u
电路的时间常数
s R L 33
0103)
10//5(101040−−×=+×==
τ 利用三要素公式求得u (t )的零输入响应为
3.3)]()0([)(3103≥−=
∞−+∞=−−
+t V
e e u u u u t
t
x x x x τ
（2）零状态响应u f (t )
零状态电路如图4-19（c ）所示，其中电感元件的初始电流i L (0+)= i L (0_)=0（因为计算零状态响应意味着初始状态为0，即i L (0_)=0），即电感支路无电流，电感可视为开路，则u f 的初始值为
V u f 3
70
1010535)0(=×+=
+ 在t →∞时，电路达到新的稳态，电感可视为短路，u f 的稳态值为
V u f 2
35
35)10//10(510//10)(=×+=
∞ 电路时间常数不变，即τ=3×10-3。

由三要素公式可得
8.55.17)]()0([)(3103≥
+=∞−+∞=−−
+t V e e
u u u u t
t
f f f f τ
（3）完全响应u (t )
最后，将零输入与零状态响应叠加求出u(t)的完全响应，即
5.25.17)
8.55.17()
3.3(31031031033
3
≥
+=++−=+=−−
−
t V e e e u u u t
t t f
x
例4-6 含受控源电路如图4-20(a )所示，t <0时开关位于b 处，电路已经稳定。

t =0时，开关由位置b 切换到位置a ，求t ≥0时的电压u C (t )和电流i (t )。

解：（1）化简电路。

为简化计算，将电路中含受控源部分用戴维南电路等效。

对图4-20(b )电路，由KVL 得
12=（2+6）i'+4i' 解得
i'=1A 故开路电压为
u oc =6i'+4i'=10i'=10V
对图4-20(c )电路，由于A i 62
12
"==(a ’、b ’短路)，由受控源、6Ω电阻和短路端构成一回路，其电流值为4i ”/6，所以
A i i sc 10466
"
4"=+=+=i 等效电阻R 0
Ω===
110
10
0sc oc i u R 画出原电路左边的戴维南等效电路并与电路其他部分联接如图4-20(d )所示。

(d )
图4-20 例4-6电路
（2）计算电压u c (t )。

由图4-20(d )电路，分别求出 u c (0+)=u c (0-)=-5V u c (∞)=10V
τ=R 0C =1×0.1=0.1s 利用三要素公式，电压u C 为
()
1510)105(10)(1010≥−=−−+=−−t V
e e t u t t
C （3）回到原电路4-20(a )，求出电流i 为 ()
05.712
12)(10≥+=−=
−t A e u t i t C
画出u C (t )和i (t )的波形如图4-21所示
4.2 二阶电路的分析
用二阶线性微分方程来描述的网络称为二阶网络（或二阶电路），只包含一个电容和一个电感的线性电路是这类网络中的一个典型的例子。

本节将对这一典型的电路进行分析。

和一阶电路不同，这类电路的响应可能出现周期性振荡的形式。

在实际工作中，要获得周期性波形时，就可利用二阶电路的这一特点。

为了突出二阶电路的这一重要特点，先从物理概念上阐述LC 电路的零输入响应—自由振荡。

然后，着重分析RLC 串联电路的零输入响应，得出响应的几种可能形式。

4.2.1 LC 电路中的自由振荡
前面讨论的一阶网络中，在电路中只涉及到一种贮能元件—电容或电感，即一种贮能形式—或电场能量或磁场能量，如果一个网络中既能贮存电场能量又能贮存磁场能量，这样的网络会有什么特点呢？为了突出问题的实质，下面研究一个只有电容和电感组成的电路的零输入响应。

设电容的初始电压为U 0，电感的初始电流为零。

显然在初始时刻，能量全部贮存于电容中，电感中是没有贮能的。

这时电路的电流虽然为零，但是电流的变化率却不为零，这是因为电感电压必须等于电容电压，由于电容电压不为零，所以电感电压也就不为零，而电感电压的存在，意味着
0≠dt
di。

因此，
电流将开始增长，原来贮存在电容中的能量，将发生转移。

图4-22(a )表示了初始时刻的情况。

此后，随着电流的增长、电容的放电，能量逐渐转移到电感的磁场中。

当电容电
压下降到零的瞬间，电感电压也为零，因而
0=dt
di
，电流达到最大值I ，如图4-22(b )所示，此时贮能全部转入到电感。

由于电感电流不能跃变，电路中的电流将从I 逐渐减小，电容在这电流的作用下又被充电，只是电压的极性与以前不同。

当电感中电流下降到零的瞬间，能量又再度全部贮于电容之中，电容电压又达到了U 0，只是极性相反而已，如图4-22(c )所示。

尔后，电容又开始放电，电流方向和开始时电容放电的方向相反，当电容电压再次下降到零的瞬间，能量又全部贮于电感之中，电流数值又达到了最大值I ，方向相反，如图4-22(d )所示。

接着电容又在电流的作用下充电，当电流为零的瞬间，能量全部返回到电容，电容电压的大小和极性又同初始时刻一样，如图4-22(e )所示。

电路电能恢复到初始时刻的情况。

LC 振荡电路就是如此周而复始地重复着上述过程。

(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
图4-22 LC 电路中能量的振荡
由此可见，在电容和电感两种不同的贮能元件构成的电路中，随着贮能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的振荡。

仅由初始贮能维持的振荡，叫做自由振荡(free oscillation )。

不难想象，如果电路中存在电阻，那么，贮能终将被电阻消耗殆尽，自由振荡就不可能是等幅的，而将是减幅的，即幅度将逐渐减小而趋于零。

这种自由振荡叫做阻尼振荡(damped oscillation )或衰减振荡。

如果电阻较大，贮能在初次转移时它的大部分就可能被电阻所消耗，因而不可能发生贮能在电场与磁场间的往返转移现象，电流、电压就衰减为零，电路不会产生振荡。

这就是既能贮存电场能量又能贮存磁场能量电路的特点。

下面我们对LC 振荡回路中自由振荡的变化方式作一简
单的分析。

设LC 回路如图4-23所示，L =1H 、C =1F ，u C (0)=1V 、
I L =0。

C
图4-23 LC 振荡回路 根据动态元件电压和电流的关系，可得
C L u dt
di = （4-23）
L C
i dt
du −= （4-24） 这两个式子表明：电压的存在要求有电流的变化，而电流的存在又要求有电压的变
化，因此，电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。

结合初始条件
u C (0)=1 (4-25) i L (0)=0 (4-26)
根据以上分析的变化规律和数学表达式，推测到（也可以通过求解线性微分方程得出此结论）
t t u C cos )(= (4-27) (4-28)
t t i L sin )(=因为这两个式子显然符合初始条件，而且在t ≥0时满足（4-23）、（4-24）两式，即
)(cos sin )(t u t t dt d
dt t di C L === )(sin cos )(t i t t dt
d dt t du L C −=−=
因此，LC 回路中的自由振荡是按正弦方式随时间变化的等幅振荡。

4.2.2 二阶电路的零输入响应描述
图4-24给出了RLC 串联电路。

对于每个元件，我们可以写出电压、电流的关系为
+ u
-+u - u C
图4-24 RLC 串联电路
dt
du C
i C
= （4-29） dt
du
RC Ri u C R == （4-30）
2
2dt u d LC dt di
L u C L == （4-31）
根据基尔霍夫电压定律可得
)(2
2t u u dt du RC dt
u d LC s C C
C =++ （4-32） 这是一个线性二阶常系数微分方程，未知量为u C 。

为求出解答，必须知道两个初始条件，即u C (0)以及
)
(=t C dt t du 。

u C (0)即电容的初始状态，那么另一个初始条件该如何确
定呢？由式（4-29）可知
C
i C t i dt t du t t C )
0()()(00==== （4-33）
如果知道了i (0)就可以确定
)
(=t C dt t du ，而i (0)就是i L (0)，即电感的初始状态。

不难
看出，根据电路的初始状态u C (0)及i L (0)和电路的激励u s (t )(t ≥0)，就完全可以确定t ≥0时的u C (t )。

下面讨论图4-24电路的零输入响应，也就是u s (t )=0时电路的响应。

使方程（4-32）式中的u s (t )=0，得齐次方程
02
2=++C C
C u dt du RC
dt u d LC （4-34） 其中u C (t )为齐次方程的待定函数，由二阶常系数齐次线性微分方程的求解过程可
知，可设u C (t )=ke st ，其中k 和s 是需要进一步确定的，将其代回（4-34）式，可得
( （4-35） 0)12=++st ke RCs LCs 由于，为了使上式对所有t 都满足，要求0≠st e
（4-36） 012=++RCs LCs 这个式子为（4-34）式的特征方程(characteristic equation )，以上的s 二次方程有两个根，即
LC L R L R LC LC RC RC s 12224)(2
22
,1−
±−=−±−= （4-37）
由此可见，齐次方程的解答应包含具有形式的两项，即t s t s e k e k 2121及 u （4-38） t s t s C e k e k t 2121)(+=s 1和s 2称为电路的固有频率。

k 1和k 2可以由初始条件确定。

由（4-38）式可得t =0时
u 21)0(k k C += （4-39） 对（4-38）式求导数，可得t =0时
C i s k s k dt t du L t C )
0()(22110
=+== （4-40）
由（4-39）和（4-40）两个方程可解得k 1和k 2，得
−−=
C i u s s s k L C )0()0(12121 （4-41）
−−=
C i u s s s k L C )0()0(112
12 （4-42） 将k 1和k 2代入（4-38）就可得到用电路初始状态来表示的电容电压零输入解。

电感
电流i L （t ）可由下式求得
t s t s C
L e s Ck e s Ck dt
du C
t i t i 212211)()(+=== (4-43) 由于电路参数R 、L 、C 之间的关系不同，从（4-37）式可知，固有频率s 1和s 2将出现三种可能的情况：
（1）当LC L R 122
>
时，s 1、s 2为不相等的负实数； （2）当LC L R 122
=
时，s 1、s 2为相等的负实数； （3）当LC L R 122<
时，s 1、s 2为共轭复数。

下面根据固有频率的三种可能分别进行讨论。

其中前两种情况为非振荡情况，而后
一种为振荡情况。

4.2.3 二阶电路的零输入响应—非振荡情况
当LC L R 122
>
时，亦即时，固有频率s C L R /42>1、s 2为不相等的负实数，可表示为
2
21
1αα−=−=s s （4-44）
其中 LC L R L R 1222
2
,1−
=m α （4-45） 将（4-45）式代入（4-41）和（4-42）两式，根据（4-38）式可得。