高中数学 学业分层测评14 向量的加法(含解析)新人教B版必修4

学业分层测评(十四) 向量的加法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 【答案】 A
2.如图2­1­15所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →
＝( )
图2­1­15
A.CD →
B.OC →
C.DA →
D.CO →
【解析】 OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →
. 【答案】 B
3.如图2­1­16所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( )
图2­1­16
A.OH →
B.OG →
C.FO →
D.EO →
【解析】 设a ＝OP →＋OQ →
，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →
.
【答案】 C
4.下列结论中，正确结论的个数为( )
【导学号：72010044】
①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →
＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】 当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，
C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.
【答案】 B
5.在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →
|，则四边形ABCD 是( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形
D.不确定
【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →
|， |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →
|，∴▱ABCD 是矩形. 【答案】 B 二、填空题
6.若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________.
【解析】 如图所示，作OA →＝a ，AB →
＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →
. 所以|a ＋b |＝|OB →
| ＝82
＋82
＝82(km)，
因为∠AOB ＝45°，
所以a ＋b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向
7.(2016·济南高一检测)当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角.
【解析】 当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角.
【答案】 |a|＝|b| 三、解答题
8.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →
|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 【解】 如图，∵|OA →|＝|OB →
|＝3，
∴四边形OACB 为菱形.
连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . ∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →
|＝3， ∴在Rt △BDC 中，CD ＝33
2，
∴|OC →
|＝|a ＋b |＝33
2
×2＝3 3.
9.如图2­1­17，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点.求证：AD →＋BE →
＋CF →
＝0.
图2­1­17
【证明】 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →
. 由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝FA →
.
∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →
)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →
＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →
＝0.
[能力提升]
1.在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →
|等于( ) A.1 B.2 C.3
D.4
【解析】 如图，∵AB →＋FE →＋CD →
＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，
∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →| ＝2|AB →
|＝2.故选B. 【答案】 B
2.如图2­1­18，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.
图2­1­18
【解】 如图，作▱OACB ，
使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，
则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°. 设向量OA →，OB →
分别表示两根绳子的拉力， 则CO →表示物体的重力，且|OC →
|＝300(N)， ∴|OA →|＝|OC →
|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →
|cos 60°＝150(N).
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。