【湘教版】九年级数学上册：第二章 一元二次方程 单元检测(含解答)

湘教版九年级数学上册
第二章《一元二次方程》单元检测
一.选择题（共10小题）
1.下列方程是一元二次方程的是（）
A.x2+=3
B.x2+x=y
C.（x﹣4）（x+2）=3
D.3x﹣2y=0
2.若（a﹣3）x+4x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（）
A.3
B.﹣3
C.±3
D.无法确定
3.把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a.b.c分别为（）
A.2.3.﹣1
B.2.﹣3.﹣1
C.2.﹣3.1
D.2.3.1
4.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）
A.1
B.﹣1
C.1或﹣1
D.1
2
5.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（）
A.（x+2）2=1
B.（x+2）2=7
C.（x+2）2=13
D.（x+2）2=19
6.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根
恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A.10
B.14
C.10或14
D.8或10
7.若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A.k＜5
B.k＜5，且k≠1
C.k≤5，且k≠1
D.k＞5
8.已知x1.x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（）
A. B.8
3 C. D.4
3
9.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则
下列方程中符合题意的是（）
A.1
2x（x﹣1）=45 B.1
2
x（x+1）=45
C.x（x﹣1）=45
D.x（x+1）=45
10.已知M=2
9a﹣1，N=a2﹣7
9
a（a为任意实数），则M.N的大小关系为（）
A.M＜N
B.M=N
C.M＞N
D.不能确定
二.填空题（共8小题）
11.已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m= .
12.方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=6x﹣5的一般形式是.
13.若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n= .
14.将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则
ab= .
15.用换元法解（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0，设x2﹣1=y，则原方程变形成y的形式为.
16.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为.
17.已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1.x2，则
x12+x1x2+x22= .
18.某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100
个，若2.3月份的平均月增长率为x，则可列方程为.
三.解答题（共10小题）
19.用适当的方法解方程：
①（2x+3）2﹣25=0 ②x2+6x+7=0（用配方法解）
③3x2+1=4x. ④2（x﹣3）2=x2﹣9.
20.关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
21.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根.
22.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
23.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50 60 70 80 …
销售量y（千克）…100 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
24.如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成.为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门.
（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？
25.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值.
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4.
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成.如图，设AB=x （m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
一.选择题（共10小题）
1. C.
2. B.
3. B.
4. B.
5. B.
6. B.
7. B.
8. D.
9. A. 10. A
二.填空题（共8小题）
11. ﹣1 . 12. x2﹣4=0 . 13. ﹣1 . 14. 12 .
且a≠1. 17. 13 .
15. y2﹣2y﹣3=0 . 16. a≤5
4
18. 100+100（1+x）+100（1+x）2=364 .
三.解答题（共10小题）
19.用适当的方法解方程：
①x1=1，x2=﹣4. ②x1=﹣，x2=﹣3；
. ④x1=3，x2=9.
③ x1=1，x2=1
3
20.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，
解得：m＞﹣5
.
4
（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，
即x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=﹣3.
21.解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得a=1
；
2
方程为x 2+12x ﹣32
=0，即2x 2+x ﹣3=0， 设另一根为x 1，则 1•x 1=﹣32
， 解得x 1=﹣3
2
.
22.解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x %， 依题意得：400×（1﹣x %）2=324， 解得：x =10，或x =190（舍去）. 答：该种商品每次降价的百分率为10%.
（2）设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m ）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）. 依题意得：60m +24×（100﹣m ）=36m +2400≥3210， 解得：m ≥22.5. ∴m ≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元.第一次降价后至少要售出该种商品23件.
23.解：（1）设y 与x 的函数关系式为y =kx +b （k ≠0），根据题意得
501506090k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得1
150k b =-⎧⎨=⎩
. 故y 与x 的函数关系式为y =﹣x +150（0≤x ≤90）； （2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）.
答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元.
24.解：（1）设BC的长为xm，则AB的长为1
2
（25+1﹣x）m.
依题意得：1
2
（25+1﹣x）x=80，
化简，得x2﹣26x+160=0，
解得：x1=10，x2=16（舍去），
答：矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长为10m；
（2）依题意得：
()
1
251
2
012
x x
x
⎧
≥+-
⎪
⎨
⎪<≤
⎩
，
解得26
3
≤x≤12，
所以x最小=26
3
.
答：若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC
边至少应为26
3
米.
25.解：（1）m2+m+4=（m+1
2）2+15
4
，
∵（m+1
2
）2≥0，
∴（m+1
2）2+15
4
≥15
4
，
则m2+m+4的最小值是15
4
；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2.。