第十三届地方初赛9年级A卷

第十三届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛
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考生须知：
1. 每位考生将获得一份试卷。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，
共50分。

3. 请将答案写在试卷上。

考试完毕时，试卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。

九年级地方晋级赛初赛A 卷
（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）
一、选择题。

（每小题4分，共40分）
1.要使式2+a 在实数范围内有意义，则字母a 的取值范围是（ ）。

A.a ＞2 B.a ≥－2 C.a ＞－2 D.a ＜2
2.一元二次方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根是3，则这个方程的另一个根是（ ）。

A.2 B.－2 C.－6 D.6
3.①2.19.06.1=⨯；②69
4
322
=÷；③36362=⨯，其中正确的有（ ）个。

A.0
B.1
C.2
D.3
4.袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，任意摸出一个是红球的概率为（ ）。

A.
52 B.53 C.32 D.2
1 5.方程x 2－2x ＝6的根的情况为（ ）。

A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根 6.两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，……，那么六条直线最多有（ ）。

A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点
7.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b | ，则P 、Q 的大小关系为（ ）。

A. P ＜Q
B. P ＞Q
C. P ＝Q
D.无法确定
第7题图 第8题图 第10题图
8.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 为
半径作圆切AB 于E ，交AC 于F ，则AF 的长为（ ）。

A.1 B.2 C.
32 D.21
9.下列图案是黄陂木兰余家大湾窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个
图中所贴剪纸“○”的个数为（ ）。

……
A.3n ＋1
B.3n ＋2
C.2n ＋1
D.3n －1
10.如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 都是圆的切线，C 、D 、E 是切点，若∠CED ＝x 度，∠ECD ＝y 度，⊙B 的半径为R ，则⌒DE 的长度是（ ）。

A.
()90
90R
x -π B.
()180
180R
y -π C.
()180180R
x -π D.
()9090R
y -π
二、填空题。

（每小题5分，共30分）
11.关于x 的方程x 2－2x －2＝0的解是 。

12.在2015年的体能测验中，某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28。

这组数据的众数是 。

13.直线y ＝2x ＋b 经过点（3，5），则关于x 的不等式2x ＋b ≥0的解集是 。

14.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回。

设开始出发x 秒后两车间的距离为y 米，y 关于x 的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/秒。

15.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B 两点的坐标分别是（－1，0），
（0，2），C 、D 两点在反比例函数y =
x k
(x ＜0)的图象上，则k 的值等于 。

16.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF 。

连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H 。

若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 。

第14题图 第15题图 第16题图
三、解答题。

（共5小题，共50分）
17.先化简，再求值：（a＋b）2＋（a－b）（2a＋b）－3a2，其中a=－2－3，b =3－2。

（8
分）
18.如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C。

求证：∠A＝∠D。

（10分）
19.商场举办一次迎元旦抽大奖的酬宾活动，在两个密闭的箱子里分别放入1个红球，2个黄球，3个蓝球，由顾客从两个箱子里各随机摸出一个球，若两个球颜色相同，即可获得奖品。

（1）请用树形图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率；（3分）
（2）为了增强活动的趣味性，商场在两个箱子里分别放入同样多的白球若干。

小明对顾客抽取的结果中出现中奖（两个球颜色相同）的次数做了大量的统计，统计数据如下表：
30 50 100 150 200 250 300 400
出现中奖的次数8 14 27 45 58 70 90 120
出现中奖的频率0.27 0.28 0.27 0.30 0.29 0.28 0.30 0.30
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现中奖的频率将稳定在它的概率附近，试估计抽取一次中奖的概率(精确到0.01)；（3分）
（3）设商场在两个箱子里分别放入白球x个，根据（2）求出x的值。

（4分）
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是⌒
AB的中点，连
接P A，PB，PC。

（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC=3AP；（5分）
（2）如图②，若
25
24
sin=
∠BPC，求PAB
∠
tan的值。

（5分）
图①图②21.已知直线AB：4
2+
+
=k
kx
y与抛物线2
2
1
x
y=交于A、B两点。

则
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；（3分）
（2）当
2
1
-
=
k时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（4分）（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离。

（5分）。