【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 含解析

2.2椭圆
2.2.1椭圆及其标准方程
课时过关·能力提升
基础巩固
1a=6,c=1的椭圆的标准方程是()
A.x 2
36+y2
35
=1
B.y 2
36+x2
35
=1
C.x 2
36+y2
1
=1
D.x 2
36+y2
35
=1或y
2
36
+x2
35
=1
2椭圆x 2
25
+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.8
a2=25,∴a=5,2a=10.
设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.
3如果方程x 2
a2+y2
a+6
=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()
A.a>3
B.a<-2
C.a>3或a<-2
D.a>3或-6<a<-2
4已知椭圆x 2
25+y2
9
=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,
那么线段ON的长是()
A.2
B.4
C.8
D.3
2
5若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为√3,则这个椭圆的方程为( ) A.x 212+y 29=1
B.x 29
+y 212=1 C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1
D.以上都不对
6椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .
|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.
在△PF 1F 2中,
cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12
. 故∠F 1PF 2=120°.
120°
7已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2
的面积为9,则b= .
,有{|PF 1|+|PF 2|=2a ,
|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,
解得4c 2+36=4a 2,
即a 2-c 2=9,故b=3.
8已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(52,-32
),求它的标准方程.
椭圆的焦点在x 轴上,
∴可设标准方程为x 2a 2
+y 2b 2=1(a>b>0). ∵2a=√(5+2)2+(-3)2+√(5-2)2+(-3)2
=2√10,
∴a=√10,a 2=10.
∵c=2,∴c 2=4,∴b 2=a 2-c 2=6.
故椭圆方程为x 210+y 26=1.
9已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点
为P ,求|PF 2|的长.
F 1的坐标为(-√3,0).
设P (-√3,y ),把P (-√3,y )代入椭圆的方程中,
得|y|=12,即|PF 1|=1
2.
根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,
故|PF 2|=4-|PF 1|=4-1
2=72. 能力提升
1已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等,则a 的值为( )
A.9或917
B.34或32
C.9或34
D.917或32
椭圆9x 2+25y 2=100的标准方程为
x 21009+y 24=1, ∴焦点在x 轴上,且c 2=
1009-4=649, ∴c=8
3. 又∵椭圆ax 2+y 2=8的标准方程为x 28a +
y 28
=1, ∴8a -8=649或8-8a =
649, 解得a=917或a=9.
2已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 到x 轴的距离为
( )
A.2√3
B.2√6
C.√3
D.√3
3若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为
( ) A.2 B.3 C.6 D.8
,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),
则y 02=3(1-x 02
4), OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02
=x 02+x 0+3(1-x 024)=1
4(x 0+2)2+2, 当x 0=2时,OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为6.
4已知F 1,F 2是椭圆
x 224+y 249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积等于
( ) A.24 B.26 C.22√2 D.24√2
a 2=49,a=7,
所以|PF 1|+|PF 2|=2a=14.
又因为|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,
所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.
又因为|F 1F 2|=2c=2√49-24=10,
所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,
所以PF 1⊥PF 2.
故△PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.
5已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F 2A|+|F 2B|=12,则|AB|= .
,知|F 2A|+|F 1A|+|F 2B|+|F 1B|=4a=20,
则|F 1A|+|F 1B|=|AB|=20-12=8.
6若方程x 2a +ay 2=1表示椭圆,则实数a 满足的条件是 . 将x 2a +ay 2=1化为x 2a +
y 21a =1. 由题意,得a>0,且a ≠1a ,解得a>0,且a ≠1.
0,且a ≠1
7F 1,F 2
分别是椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M ,N 分别为其短轴的两个端点,且四边形
MF 1NF 2的周长为4,设过F 1的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且|AB|=43,则|AF 2|·|BF 2|的最大值为 .
8求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)过点A (√63,√3)和B (2√23
,1)的椭圆; (2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.
设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).
∵椭圆过点A (√63,√3)和B (
2√23,1), ∴{ m ·(√63)2+n ·(√3)2=1,m ·(2√23
)2+n ·12=1, 解得m=1,n=1
9
. ∴所求椭圆的标准方程为
x 2+y 2=1. (2)∵已知椭圆x 2+y 2=1中a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.
∴设所求椭圆方程为x 2
a '2+y 2
a '2-5
=1. ∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴
9a '2+4a '2-5=1.
∴a'2=15. ∴所求椭圆方程为x 2+y 2
=1.
★9已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP'垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P',并且M 为线段PP'的中点,求点P 的轨迹方程.
P (x ,y ),点M 坐标为(x 0,y 0).
∵点M 在椭圆x 236+y 29=1上,∴x 0236+y 029=1.
∵M 是线段PP'的中点,∴{x 0=x ,y 0=y 2
. 把{x 0=x ,y 0=y 2
代入x 0236+y 029=1,得x 236+y 236=1, 即x 2+y 2=36.
故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=36.。