人教新课标版数学高二选修1-1导学案 函数的极值与导数

3.3.2函数的极值与导数

（结合配套课件、作业使用，效果更佳）

【学习目标】

1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.

2.掌握函数极值的判定及求法.

3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

重点：掌握函数极值的判定及求法；

难点：函数的极值与导数的关系.

【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.

【自主学习】

知识点一函数的极值点和极值

思考1观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．

思考2导数为0的点一定是极值点吗？

(1)极小值点与极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，就把叫做函数y＝f(x)的极小值点，叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，就把叫做函数y＝f(x)的极大值点，叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

知识点二函数的极值的求法

思考1极大值一定比极小值大吗？

思考2函数的极值与单调性有什么联系？

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是

(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是

【合作探究】

类型一 求函数的极值点和极值

例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图：

(1)f (x )＝(x 2－1)3＋1； (2)f (x )＝ln x x

.

跟踪训练1 (1)设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )

A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)

B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)

C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)

D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)

(2)函数f (x )＝13

x 3－4x ＋4的极大值与极小值之和为( ) A ．8 B.263

C ．10

D ．12

类型二 已知函数极值求参数

例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.

(2)若函数f (x )＝13

x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________． 跟踪训练2 (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与直线y ＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.

①求a ，b ，c 的值；

②求函数的递减区间．

(2)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间(a ，a ＋12

)(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．

(3)已知函数f (x )＝13x 3＋12

(a －1)x 2＋ax (a ∈R )在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围．

类型三 函数极值的综合应用

例3 (1)函数f (x )＝13

x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．

(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13

f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．

跟踪训练3若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．

【学生展示】探究点一、二、

【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题

【当堂检测】

1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()

A．－1<a<2 B．－3<a<6

C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6

3．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．

【小结作业】

小结：

作业：①限时练；

②预习导学案