2.2几种常见变换——反射变换

2.2几种常见的平面变换
反射变换
三维目标
1.知识与技能
掌握反射变换的矩阵表示与几何意义
从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明M (λ1α＋λ2β)＝λ1M α＋λ2M β.
2.过程与方法
通过实例，借助几何图形来研究平面图形的几何变换，让学生感到生动. 3.情感、态度与价值观
将新旧知识结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点 反射变换 教学难点
证明M (λ1α＋λ2β)＝λ1M α＋λ2M β 教学过程
一、情境设置
已知在平面直角坐标系的第一象限有一张汽车图片F ，将它做关于x 轴、y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到图片F 1，F 2，F 3.
这些变换能用矩阵来表示吗？
二、学生活动
在图片F 上任取一个P(x,y)，假设三个变换分别为T 1，T 2，T 3，对应的矩阵分别记为M 1，M 2，M 3，则有
⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:'
'
1M y x y x y x T ， ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:'
'
1M y x y x y x T
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:'
'
1M y x y x y x T 三、建构数学
1.反射变换 像⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-10
01
,10
01,10
01这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.相应地，
前者叫做轴反射，后者称为中心反射，其中的定直线称为反射轴，定点称做反射点.
探究
已知格子纸上有一面小旗（如图），请在格纸上画出它关于x 轴、关于y 轴和关于原点对称的图形.
四、数学应用
例 求直线y ＝4x 在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡0110
作用下变换所得的图形. 解：设P(x 0,y 0)为直线y ＝4x 上的任一点，
它在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡01
10
作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'001
10x y y x y x 故⎪⎩⎪⎨⎧=='
0'00y x x y '
0'0004,4y x x y =∴= 从而直线y ＝4x 在矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡0110
作用下变成直线
.41
x y =
例 求曲线y 2
＝4x 在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡01
10
作用下变换所得的图形. 解：设P(x 0,y 0)为曲线y 2
＝4x 上的任一点，它在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡0110作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'00110
x y y x y x ，故⎪⎩⎪⎨⎧=='00
'00y x x y '
02'00204,4y x x y =∴= 从而曲线y 2
＝4x 在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡01
10
作用下变成曲线y x 42= 例 二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线. 证明：假设矩阵M ＝⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡d c
b a
(a,b,c,d 不全为零)对应的变换把平面上的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)变成平面上的点P 1′(x 1′,y 1′),P 2′(x 2′,y 2′)，令
α＝,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x β＝⎥⎦⎤
⎢⎣⎡22y x ，M α＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'1'1y x ，M β＝⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡'2'2y x ，故
说明：
⑴把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换（平面上的线性变换都可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的线性变换）.
⑵当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡00
00把平面上的所有点都变换到坐标原点（0,0），此时为线性变换的退化情况，因此在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图
形时，只需考察顶（端）点的变化结果即可.
想一想：曲线y ＝f(x)在矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-1001,10
01,10
01作用下变换所得图形的方程分别是什么？
)()(10
01x f y x f y -=−−−−→−=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
)()(1001x f y x f y -=−−−−→−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡- )()(10
01x f y x f y --=−−−−→−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--
五、回顾反思
1.知识点：反射变换，线性变换
2.思想方法：数形结合，类比 六、作业 见数学教学案 教学后记。