2021-2022学年河北省石家庄市八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年河北省石家庄市八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题
1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．下列是无理数的是（）
A．0.666…B．C．D．﹣2.6
3．﹣8的立方根是（）
A．2B．﹣2C．﹣4D．8
4．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝35°，则∠BAD＝（）
A．110°B．70°C．55°D．35°
5．当x＞1时，下列式子中无意义的是（）
A．B．C．D．
6．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）
A．＝B．+80＝
C．＝﹣80D．＝
7．下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（）
A．B．C．D．
8．下列计算中，正确的是（）
A．＝2B．﹣＝
C．＝x+y D．
9．化简的结果是（）
A．x+1B．x﹣1C．﹣x D．x
10．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）
A．已知两边及夹角B．已知三边
C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
11．若方程﹣2＝会产生增根，则k的值为（）
A．6﹣x B．x﹣6C．﹣3D．3
12．如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论正确的有（）
①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设．
14．当x满足时，二次根式有意义．
15．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”
直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：．
16．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是．
17．为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通过计算可得+1．（填“＞”或“＜”
或“＝”）
18．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝．
19．如图长方形内两相邻正方形的面积分别是8和3，则长方形内阴影部分的面积是．
20．计算：＝．
三、解答题（本大题共5个小题，解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤，将答案写在答题纸上）
21．计算．
（1）﹣2；（2）（）（﹣）．
22．在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
23．若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，求满足条件的正整数m的值．
24．如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称．
（1）直接写出△ABC的面积；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m．
（3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB 的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）求证：△ACF是等腰三角形．
2021-2022学年河北省石家庄市八年级（上）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A.0.666…是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D．﹣2.6是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．【分析】根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．
4．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余
的性质解答．
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
5．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：A、∵x＞1，∴有意义，故此选项错误；
B、∵x＞1，∴1﹣x＜0，∴无意义，故此选项正确；
C、∵x＞1，∴有意义，故此选项错误；
D、∵x＞1，∴有意义，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．6．【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．【分析】先化简各二次根式，再根据同类二次根式的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A、＝与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、＝与是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；
C、＝3与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．8．【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A.＝，故此选项不合题意；
B.﹣＝3﹣2＝，故此选项符合题意；
C.无法化简，故此选项不合题意；
D.＝﹣2，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
9．【分析】先通分：将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分．
【解答】解：＝﹣
＝
＝
＝x，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
10．【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，求出x 的值代入整式方程即可求出k的值．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝k，
根据题意得：x﹣3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：k＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：因为直线PO与AB交于点O，且PA＝PB，
所以P在线段AB的垂直平分线上，
故选：A．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段的垂直平分线的性质解答．二、填空题
13．【分析】熟记反证法的步骤，直接得出题设的反面即可．
【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角．
故答案为：等腰三角形的两底都是直角或钝角．
【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键．
14．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3+2x≥0，
解得：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．15．【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：BC＝EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，题目比较典型，难度适中．
16．【分析】要求正方形的边长求AE，EB即可，其中AE已知，要求BE求证△ABE≌△BCF 即可，即BE＝CF，根据AE，CF可以求得AB的值．
【解答】解：∵∠CBF+∠FCB＝90°，
∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠FCB，同理∠BAE＝∠FBC，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴BE＝CF，
在直角△ABE中，AE＝1，BE＝2，
∴AB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形各边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ABE≌△BCF是解题的关键．
17．【分析】依据勾股定理即可得到AD＝＝，AB＝＝，BD+AD＝+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．
18．【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB＝OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC＝∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，
∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．19．【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是2和，由图知，矩形的长和宽分别为2+，2，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵长方形内两相邻正方形的面积分别是8和3，
∴两相邻正方形的边长分别是2和，
∴矩形的长和宽分别为2+，2，
∴矩形的面积＝8+2，
∴长方形内阴影部分的面积＝8+2﹣8﹣3＝2﹣3，
故答案为：2﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的应用，实数的运算，本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．
20．【分析】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后加减．
【解答】解：原式＝﹣1+5﹣5
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤，将答案写在答题纸上）
21．【分析】（1）先计算除法，再化简二次根式，最后计算减法即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝2﹣2
＝0．
（2）原式＝
＝7﹣5
＝2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
22．【分析】设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的解，且符合题意．
则x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．【分析】根据分式方程的一般解法得到方程＝2﹣的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；
根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得答案．【解答】解：∵＝2﹣，
∴＝2+，
＝2，
x﹣m＝2（x﹣2），
解得x＝4﹣m．
∵原分式方程的解为正数，
∴x＞0且x≠2，
即4﹣m＞0且4﹣m≠2，
∴m的取值范围为m＜4且m≠2．
∵m为正整数，
∴m的值为1，3．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．24．【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（2）利用网格特点作BB′、CC′的垂直平分线得到对称轴m；
（3）平移AB使B点与C点重合，则A点的对应点为D点．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5；
故答案为5；
（2）如图，直线m为所作；
（3）如图，△DCB为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了全等三角形的判定．
25．【分析】（1）设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD ＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；
（2）依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC ＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【解答】解：（1）设∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中点，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．。